乘法公式(练习加强版)

1、专题学习：乘法公式（练习加强版）平方差公式(a b)( a b) a 2b 2公式描述：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。公式特点：公式的一边是两个多项式相乘，其中有两项是相同的，有两项是相反的；另一边就等于相同项的平方减去相反项的平方。特点利用：利用上述特点，首先可以判断一个式子可否用平方差公式计算，如果可以，就找出相同项与相反项，再平方后相减就可以了。例：( ab)(ab) ，观察可知 b 是相同项， a 是相反项（不用管符号） ，所以就等于 b2a 2 。完全平方公式(ab) 2a22ab b 2公式描述：两数和（或差）的平方等于这两个数的平方和再加上（或减去）它们的积

2、的两倍。公式特点： 公式的一边是一个和或差的平方，另一边就先将这两项平方相加（总是平方相加，不会出现差的形式），再加或减这两项积的 2 倍； 如果完全平方公式底数中的两项同号，就用只含加号的公式；异号则用含减号的公式。即：(ab)2(ab) 2 ， (ab) 2( ab)2(ba) 2【知识点一】直接套用公式进行运算例 (2a b)(2ab) ( 2a)2b 24a2b 2(3x2y) 2(3x) 22 3x2y(2 y) 29x212xy 4 y2练习 根据乘法公式直接写出答案： (2a1) 2 (32x)(3 2x) (m 3n) 2 ( 2a3b)(2a3b) ( x 22)( x 22

3、) ( 2x 3y) 2 ( 3a 2b)2 ( x41)(x 21)( x1)( x1) ( x1)( x 1)( x 21)( x 41)( x81) ( x641) 利用乘法公式进行因式分解： x29 y 2 4x 225 y 2 x2 y 21 ( a b)2c 2 x 41 x24xy 4 y 2 16 8(x y) (x y)2 4(a) 220(ab)25 4(ab)29(ab)2b【知识点二】辨别两个多项式相乘要选用哪一种乘法公式要点 两个多项式相乘，如果既有相同项又有相反项，那么一定是用平方差公式；如果全是相同项或全是相反项，那么就要用完全平方公式。 如果两个多项式互为相反数

4、，就等于其中一个多项式的平方的相反数。例：(ab)( ab)( a b) 2练习 ( 2m 3n)(2m 3n) (m35n)(5nm3 ) (1 xy )( xy 1) (0.2x2y)( 2 y0.2x) 【知识点三】了解乘法公式的几何意义平方差公式的几何意义如图 1，在边长为 a 的正方形中截去一个边长为b 的正方形，再通过割补法拼成如图 2 形状；分别用代数式表示两图面积为：图 1： a 2b 2图 2： (a b)(ab)两个图形面积相等，则有平方差公式。完全平方公式的几何意义图 1图 2图 3 中，用两种方式表示大正方形的面积：1 等于边长的平方：(ab)2 等于图中4 个小图形的

5、面积和：a2b 22ab所以有第一个完全平方公式；图 4试根据图 4 说明第二个完全平方公式：图 3练习 如图5，将边长为 a 的正方形截去一个边长为 b 的正方形，沿虚线剪开，再如图6 拼成一个梯形，根据这两个图形的面积关系可证得公式。 如图 7 是一个长为2m，宽为2n 的长方形，沿虚线图 5图 6剪开，拼成如图8 所示的正方形；则可以用两种方法表示图 8 中的阴影部分面积：由此可得公式：（参知识点五）【知识点四】了解完全平方式，掌握配方法图 7图 8要点 诸如 a 22abb2 的代数式称为完全平方式，它可以写成 (ab) 2 ； 要了解完全平方式的特点，它有两个平方项，还有一项是两个平

6、方项的底数的乘积的2 倍； 给出完全平方式的任意两项，要能根据其特点推出第三个项。例 1 9x 212 xy + ( 3x )2方法说明：先将9x2 项改写成 (3x) 2 ，将 12xy 项提出一个2 和 3x写成 2(3x)，则此空上应是2 y ，再将其平方就是所求答案；所以第一空填4 y 2 ，第二空填 2 y 。例 24 x2mxy9y 2 是完全平方式，则m 方法说明：先将两个平方项的底数写出：4x 2(2x)2 ， 9 y 2(3y)2 ，则中间项为± 22x 3 y ± 12 xy所以 m ± 12. 注意，中间项都要考虑±两种情况，只在一

7、种情况下只有一种符号，如：若 4x 2mxy9 y 2 (2x3y) 2 ，则 m 12 x 2 +9 y2 =( x +)练习 4x24x=()22 x 2mx9是完全平方式，则m 的值为；a22a1(a1) 2； 4a212a 10(2 a +)2+； 若 ( x2) 26 ，则 x24x 7； 利用配方法分解因式：x26x5 x 26x（ x + )2 已知 x 2y22x4 y50 ，求 ( xy)2013 的值。（提示：配成两个平方式的和） 求代数式 a25b24ab2b100 的最小值。（提示：配成两个平方式的和加一个常数） 添加一个单项式，使x21成为一个完全平方式。 （提示：答

8、案不止一个，请尽量找完全）2【知识点五】特殊的完全平方公式及变形要点 ( a1 ) 2a 212 ，此类常见题型见例1；aa 2 在 a b 或 (a b)2 、 ab 或 (a b) 2 、 ab 、 a 2b2 这四个代数式中，已知其中任意两个的值，可求出其余两个的值；相关公式变形有：( ab) 2a 2b2ab(a例 1：已知 x 例 2：已知 x( ab) 24ab 或 (ab) 2(ab)24ab ；(ab)22ab(ab) 22ab( ab)2(a b)2；2b) 2(ab) 2 (ab) 2( a2b 2 ) 等等；（可参考数学专页第32 期第 4 版文章）421 7，则 x21

9、 ( x1 ) 22 49 247xx2xy5， xy6，则 x2y2 ( x y) 22xy =25 12=13练习 已知 x 已知 x 已知 a 已知 a 已知 a121已知 x5，则 x2 xxy 6 ， xy=3，则 x 2y2 1 3，则 x21 ， x 4xx 2b 5， ab 6，则 a 2b2 b 3， a 2b2 5，则 ab b 5， ab 1，则 a 2b2 41， x4 ；x， ( xy) 2 ；1x4 ；若 ab 7， a2b2 25，则 ab ；若 ab 3， ab 5，则 ab ；若 ab 1， ab 12，则 a 2b 2 ；【知识点六】完全平方公式、平方差公式

10、的综合运算 运用乘法公式进行计算：( xy) 2( xy)2(m3n) 2 (m3n) 2(2a3b) 2(2a3b)2 (2a 3b)(4a 29b 2 )(2a 3b) a 4(1 a)(1 a)(1 a 2 ) (3x1)(13x)( 19x 2 )224 运用乘法公式进行因式分解： x 22xy y 21 a42a21 x 2 (x y)29( y x) 2【知识点七】利用乘法公式进行简便运算例： 302298(3002)(3002)300 22 2900004 899961982( 2002)220022200 22240000800 439204练习 运用乘法公式进行计算： 92&

11、#215; 88 60159 2 9822012 2133201320113 5124922000 219992001 (40 1)29.98 22 (11)(11)(11)(11)(11)1（提示：用“借一还一”法）2222 428216231 利用乘法公式进行因式分解计算： 992198 1 76275276 150 992982 25 101299 225 9 11 101 10001 (112 )(112 )(112 )(112 )(112 )(112 )234520122013【知识点八】超出两项的乘法公式要点 两个三项式相乘的平方差公式，解法参例1；底数为三项的完全平方公式：等于每一项的平方和再加上每两项的乘积的2倍，如：( abc) 2a 2b 2c 22ab2ac2bc例 1：计算 (abc)( abc)解法 1：将两个相反的项添加括号：原式a(bc) a(bc) a2(bc) 2 a2b 2c 22bc解法 2：观察得相同项为a ，相反项为