2019版高考数学复习专题检测(二十一)“选填”压轴小题的4大抢分策略理(普通生,含解析)

1、专题检测（二十一）“选填”压轴小题的4大抢分策略1 .若 sin a + sin 3 =A.A组一一选择题解题技法专练3 - cos a ) , a , 36(0,兀)，则 a 3 的值为()B 工B,3C.f解析:1仁=-cos a ? tan 3*万 一 -»选D令3 =丁，则有sin6所以a2.已知 0<a<b<1,则 ab, log ba,b 一.A. 一 log ab<a <log babC. log ba< log ab<alog ab的大小关系是（B . 一 log ab<log ba<aD . ab< log

2、 ab<log ba解析：选A显然，直接找这三个数的大小关系不容易，但对a,取某些特殊的值,log ab= - log 42<0,log ba= log 24 = 2, ，,11其大小关系就非常明显了.如令a=4, b=2,则有一3.b a =4 = 1,由此可得选A.若不等式 X2 log aX<0在I。,1 , , 2 1内恒成立，则a的取值范围是（A.B.16'D.解析：选A因为xC g, 2 i:,1 2一 一；当a =16时，显然x<logax恒成立.一，.1 ,111又当x2时，由4<log a2? a花;当x一0时，可推得 a<1,故选

3、 A.4.双曲线x2-y2= 1的左焦点为F,点P为左支下半支异于顶点A的任意一点，则直线PF斜率的变化范围是（）A.(巴1)u (1 ,+8)B .(巴 0)C. ( 8, 0) U(1 , +OO)解析：选C如图所示，当Pf A时,PF的斜率kf0.当PFL x轴时，PF的斜率不存在，即k 一 ±00.当P在无穷远处时，PF的斜率k-1.结合四个备选项得 C项正确.5.已知0 0 ,兀)，若对任意的+ x>0恒成立，则0的取值范围是(A.。*解析：选A令x= 1,不等式令x = 0,不等式化为 sin 0 >0.xC 1,0,不等式 x2cos 0 +(x+ 1)2s

4、in0 +x2)B. 一d.三专cos 0 >0;兀又 0W 0 < Tt ,所以 0< 0 <.当一1<x<0 时，不等式化为I-xrcos 0 +JT7+sin 0 >0.十1,x十15 x，设 xrr = t(t<0)，则 12cos 0 + t + sin 0 >0 对 t <0 恒成立.2cos ( j+sin 0 4cos 9 '设 f (t) = 12cos 0 +1 + sin 0 = cos 0 4 +贝U f(t)min = sin 0 ->0,即 sin 2 0 >. 4cos 02又 0&l

5、t;2。<兀,所以 y<2 0 <56,故 12< 0工.6.在对角线 AC=6的正方体 ABCDA1BGD中，正方形 BCGB所在平面内的动点 P到直 线DC, DC的距离之和为4,则同 PC)的取值范围是()A 2,1B . 0,1C. -1,1D. 1-2, 41解析：选A 法一：依题意可知 CC= 2。3,点P到点G与C的距离之和为4,从而可得点P在以GC为y轴，C1C的中点为原点的椭圆 4x2+y2=4上.设P(x。，y。)， 则1 PC? = (xc, yc-/3) (xc, y0+#) = x0+y03=g y2 2( -2< yc<2).由此

6、可得2W 同 - P(J W1,故选 A.法二：由四个备选项可知，B、C、D都是A的子集.于是，由“若 A则B把A抛,A, B同真都去掉”可知，应着重考查“一 2与“1”的 值能否取到.又由条件易知，点 P在以GC为y轴，CC的中点为原点的椭圆 4x2 + y2=4上. ,一 ， , 一 ，由此可得，当y= 0时，PC PC可取到一2,当x = 0时，PC - PC可取到1.故选A.7 .如图所示，A是函数f(x) = 2x的图象上的动点，过点 A作直线平里丹六二行于x轴，交函数g(x) =2x+2的图象于点B,若函数f(x)=2'的图象上存在点C使得AB8等边三角形，则称 A为函数f

7、(x)=2x的图象上的/ /“好位置点”，则函数f(x) =2、的图象上的“好位置点”的个数为一t()A. 0B . 1C. 2D . 3解析：选B 设A(x, 2x), B(x-2,2 x),若 ABg等边三角形，则 Qx1,2xT),且AC = AB= 2,即2x2xT 2 =2,即2"-2=3,又y =唆2单调递增，所以方程有唯一解 x =02空+ 1,即函数f(x) =2x的图象上的“好位置点”的个数为 1.8 .函数f(x)的定义域为R,若f (x+1)与f(x1)都是奇函数，则()A. f(x)是偶函数B . f(x)是奇函数C. f(x)=f(x + 2)D . f(x

8、 + 3)是奇函数解析：选D法一：因为f (x+1)是奇函数，所以 f(x) = f(x- 1 + 1)=-f -(x-1) + 1 =- f (-x+2),又因为 f (x1)是奇函数，则一f(-x+2)=-f( -x+3)-1 = f(x-3-1)=f(x- 4),所以 f(x) = f(x-4).所以f (x+3) =f (x+3 4) =f (x 1)是奇函数，因而选 D.法二：令 f (x) = sin Tt x,则 f(x+1)=sin兀(x+1) =sin u x,f (x 1) = sin兀(x1)=sin it x.所以，当f(x+1), f(x1)都是奇函数时，f(x)不是

9、偶函数，排除 A.人TT一令 f (x) = cos "2"x,则f(x+1)=cos 份 x+1= sin,f(x-1)=cos .2 x- L sin -2x,且 f (x+2) = cos 2- x+2L cos-2x,所以，当f(x+1), f (x1)都是奇函数时，f (x)不是奇函数,且f(x)wf(x+2),排除 日C,故选D.9.已知函数 f (x) =x(1 +a|x|)、一，一一 二11，若关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A,且2, 2? A,则实数a的取值范围是()解析：选 A 由题意得(x+a)(1 + a| x+ a|)<

10、x(1 + a| x|).当 a=2, x=。时, 有(02)(1 2|02|) =6<0X (12X0)不成立，故 D错.11 一11 八22，不成立当 a = 2，x = 2时,1+！+2 1= 1 X -<- 11 + _x _2 2 2 J 2 21 ? cr 1- 31一当 a = -2, x = 2时,3丫-2+1-即9z3 <2!53 i,显然，此式成立,故 B不对.所以选A.10.已知函数 f(x)=ex+e2若关于x的不等式f(x) 2-af(x)<0恰有3个整数解,则实数a的最小值为()A.C.e2+ 13个整数解可转化为0V象如图所示，结合图象分析

11、易知原不等式有解析：选C因为f(x) = e+ e2 x>0,所以由f (x) 2- af (x) <0 可2得0v f (x) w a.令t = ex,则g(t) =t + |"(t >0),画出函数g(t)的大致图g(t)wa的3个解分别为1, e, e2.又当t = ex的值分别为1, e, e2时，x= 0,1,2.画出直线 y= e2+ 1,故结合函数图象可知a的最小值为e2+ 1.故选C.X2211.设F为双曲线-y2=1的左焦点，在点 F右侧的x轴上有一点 A以FA为直径的 3圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为 M N,则1T 才M的值为()|

12、 FAA. I3B.穹C*D.产解析：选A 法一：如图，取点 A为右焦点F',则 | FA = | FF' |.由对称性知|FM = |F' N,|FN-|FM |FN|F' N 2a 也所以=-| FA| FF I2c 2 .法二：由已知得F(2,0),如图，设 A(m 0)( n>/3) , Mxi, yi), N(X2, y# ,则以AF为直径的圆的方程为(xm)( x+2)+y2= 0."x- mx+2 +y2 = 0,由 Sx22 .3-y =i,消去 y,得 gx2(m- 2)x-2m- 1 = 0.3所以 xi + x2= 3( m

13、- 2).4所以-rx2+ 3| FN| | FM 止3 二7T3xi-|FAm-24mK2二+ 2,3=*12.在我们学过的函数中有这样一类函数：“对任意一个三角形，只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内，就有函数值f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长”. 下 面四个函数：f (x)=也(x>0); f (x) = x2( x>0);f(x) = sin x(0<x<7t);f(x) = cos x 0<x<.属于这一类函数的有()A. 1个C. 3个D . 4个解析：选 B 设 0<aw bw c,a+b>c,a+

14、b+ 2yab>c,(/a+/b)2>c,乖+木>正,即 f(a)+f(b)>f(c), - f (x)=而(x>0)属于这一类函数；举反例：若 a= 3, b=3, c=5,则 a2+b2<c2,即 f (a) + f ( b)<f (c) ,f (x) = x2(x>0)不属于这一类函数；举反例：若 a=：-, b=5T7L, c = 5T7L,贝U sin a= sin b+sin c, 266.11即 f (a) =f (b) + f(c)=尹2= 1,.f (x) = sin x(0<x< k )不属于这一类函数；设 0&l

15、t;a< b< c<,cos a>cos b>cos c>， . f ( b) + f (c) =cos b+cos c>J2,而 cos a<1,即 f (b)+f (c)>f (a) ,，f(x) = cos x10<x<-4" 同于这一类函数.综上，属于这一类函数的有2个，故选B.B组一一填空题解题技法专练1 一 一 1 .在ABC43,角A,B, C的对边分别是 a,b,c,右 b-2c=acosC,且 4(b+ c)=3bc, a=2$,则ABC勺面积 S=.1解析：由正弦te理得sin B , sin C=

16、 sin Acos C, = sin B= sin( A+ C),1 . . sin( A+。sin C= sin Acos C,1 .即 cos Asin C= sin C1又 sin Cw0, cos A=又A是ABC勺内角，.二A= 60°,a2= b2 + c2 2bccos A= b2+ c2- bc= (b + c)2- 3bc,2(b+c) 4( b+c) = 12,得 b + c= 6,bc= 8,1.1 1 S 2 bcsin.1 cA= /8X-23=2 3.答案：2 32.已知函数f(x)是定义在(0, +8)上的可导函数，f ' (x)为其导函数，当x

17、>0且xwi2f x + xf I x 4时，xi>0,若曲线y=f(x)在x=i处的切线的斜率为一则f(i)=2f x + xf x解析：因为当x>0且xwi时，>0,x- 1所以当 x>1 时,2f (x) + xf ' ( x)>0 ;当 0<x<1 时，2f (x) + xf' (x)<0.令 g(x) = x2f (x) , x (0 , +8),则 g' (x) = 2xf (x)+x2f ' (x) =x2 f (x)+xf ' (x),所以当x>1时，g' (x)>

18、0,函数g(x) =x2f (x)单调递增；当 0Vx<1 时，g' (x)<0,函数 g(x) = x2f (x)单调递减，所以函数g(x) =x2f (x)在x=1处取得极值，所以 g' (1) = 2f (1) +f' (1) = 0. , 4因为曲线y = f(x)在x=1处的切线的斜率为一5所以 f' (1) = 4,所以 f(1) =1X 4=|. 52 5 52答案：25ax+1, x<0,3.已知函数f(x)=，当1<a<2时，关于x的方程ff(x) =a实数解|ln x| , x>0,的个数为.解析：当1&l

19、t;a<2时，作出函数f(x)的图象如图所示，令 u = f(x),则f(u)=a.,由f(x)的图象可知，若u满足u<0,此时f(x)=u无解，若u>0,解得e2<u<e<1 一一斗 'J I i) 一， 11或2<e<u<e ,显然，当x<0时，不可能使得f(x)=u有解，当x>0,-i<u<- e e<1 时，f(x) = u有2 个解，当 x>0,2<e< u<e2 时，f (x) = u 也有 2 个解.因此 ff(x)=a有4个实数解.答案：44 . (2019届高三

20、武汉调研)过抛物线C: y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点，与准线交于点 M且FM=3FP,则| FP| =.解析：过点P作PP垂直准线于 R,由屈=3-FP ,得 1PM = 2|PF|,又由抛物线的定义知| PF = | PP| ,所以| PM = 2| PP|.,八八，/口 | PP| MP 2由三角形相似得2瞽=器=3,所以| PP| =4,所以|言| =4. 33答案：435 .已知函数 f (x) = 口 x+3+mX+nx(n<0, n<0),且 f(x)在0,1上的最小值为一31, 2 16则f(x)在 1,0上的最大值为 .解析：令 g(x) =

21、mx*+nx( n<0, n<0),则 g' ( x) = 3itiX+n,因为 n<0, n<0,所以 g' (x)<0 ,所以g(x)为减函数.又 y= g/3为减函数，所以f(x)为减函数.当 xC 0,1时，f ( x) min 21311=f (1) = m n+16= 16,得 m n=2,当 xC1,0时，f (x) max= f ( - 1) = - mr n+4 =答案：46 .已知向量 a, b, c 满足|a| =y12, |b| =a - b=3,若(c 2a) (2 b3c) = 0,则 |bc|的最大值是.解析：设a与b

22、的夹角为。，则a b= |a|b|cos 0 ,. ab 321 cos 0 I II u.i 一厂 一1a11b12X3 2设"OA =a, aB =b, c=(x, y),建立如图所示的平面直角坐标系.则 A(1,1) , B(3,0),2 .c-2a=(x-2, y-2), 2b-3c=(6 -3x, - 3y),. (c -2a) - (2 b-3c) =0,. .(x 2)(6 3x)+ (y2)( 3y) = 0.即(x 2)2+ (y-1)2= 1. b c= (3 x, y), |b - c| = yj x3 2+ y之w Q 3 2 二0 1' + 1 =

23、22. + 1,即 |b 一 c| 的最大值为小+ 1.答案：姆+17. （2018 开封高三定位考试）已知正三角形 ABC勺边长为2,将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为®此时四面体ABCD勺外接球的表面积为解析：如图，在正三角形 ABC, AB= BC= AC= 2,则BD= DC= 1, AD= 3,在翻折 后所得的几何体中，如图，ADL BD AD± CD则ADL平面BCD三锥A-BCD勺外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，球心到截面BCDW距离d = 2AD=坐 在BCD中，BC= ®则由余弦定理，得 cos/ BDC=BD2 DC BC 12 12；

24、13 22BD- DC2X1X11 -,、一2,所以/ BDC= 120°.设球的半径为 R BCM外接圆半径为r,则由正弦定理，得2r =BCsin /BDCsin 120=2,解得r = 1 ,则球的半径R= Rd2+ r2i+12 = ¥，故球的表面积S= 4 Tt R2 =4兀x7 2 厂7兀.图答案：7兀8.（2018 湘中名校联考）一块边长为 a cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积的最大值是一一 ，一、一_ x解析：如图，设 AB= x, OF= 2,一 a,一EF= 2(0<x

25、<a),所以EO=-x2.4x6(0<x<a).所以 V(x)=5S正方形 abcd- EO= ；x/a2-x2= 36 1令 y = a2x4- x6(0<x<a),贝U y，= 4a2x3 6x5= 2x3(2 a2 3x2).当y' = 0时，x=乎a.6当 y <0 时，±a<x<a, 36当 y >0 时，0<x<费-a.3所以y=a2x4-x6（0<x<a）在Jo, 36a正是增函数，在所以当x=当2a 时,ymax= a ,6 4 6= 27a，、1即 V( x) max= 663 3

26、27a = 27a .答案：23a39.已知函数 f(x) = sin 1 % x+-4 旨函数 g(x) = cos，兀 7 5 71兀x+7产区间14v的图象交于A, B C三点，则 ABC勺周长为(兀 i, 一，,|兀兀 x + -4 与函数 g(x) =cos 1 Tt x + -1,图象交于 A B, C三点，所以由sin7tTt x+ -尸 cos %x- I, x7 5 71£ 匕，4，1,0,1 ，不妨设a'-1,乎1 b'o,乎 i Ci,-2 t所以 AB =二22j /小 AC = 2 , BC =所以 ABC勺周长为 AB+ AO BC= 2+

27、2.3.答案：2+2aJ310.（2019届高三昆明调研）将数列an中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:记数阵中的第1列数a1, a2, a4,构成的数列为bn, S为数列bn的前n项和.若S1 = 2bn 1 ,则 a56= .解析：当 n>2 时，: S=2bn1, . . S i = 2bn 11,-，- - IT- 一 *、 . bn= 2bn 2bn i, . bn= 2bn i( n>2 且 n N),bi = 2bi 1,bi = 1,.数列bn是首项为1,公比为2的等比数列，.bn=2n.设ai,a2,a4,a7,aii,的下标 1,2,4,7,11

28、,构成数列cn,则C2ci=1,C3C2=2, C4 C3= 3, C5 C4= 4,，Cn Cn i = n 1,累加得，Cn ci=1 + 2+3+4+ + ( n 1),Cn =2+1, 由 Cn=2 + 1 = 56, 得 n = 11, '- a56= bii = 21°= 1 024.答案：1 024 2211 . (2018 郑州第一次质量测试)已知双曲线C:，一、=1的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为M交另一条渐近线于 N,若2前 =TN,则双曲线的渐近线方程为.解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y=±bx, F(c, 0),则|

29、MF = b,a由2前="FN ,可得僵=2,所以|FN=2b.在RtAOMF,由勾股定理，得| OM= M OF2-1 MF2 = a,|OM I MF 1-因为/ MOF= / FON所以由角平分线定理可得 扁=局 =2，|ON=2a,| ON I FN 2在RkOMNh由 |OM2+| MN2=| ON2,可得a2+(3b)2=(2a)2,9b2=3a2,即与=；a 3所以b= 兴所以双曲线C的渐近线方程为y=±*x.答案：土,3 V12 .已知 O是 ABC勺外心，取/ C= 45°,若正=mTOOA + n_OB(m n R),则 m n 的 取值范围是

30、.解析：因为/ C= 45。，所以/AO990°.由已知，不妨设 ABC的外接圆半径为1,并设"OA =i , "OB=j ,则C(m n),点C的轨迹是以原点为圆心，1为半径的3圆弧(不含端点)，如图所示.设 rn n=t,则直线x+y=t与此4圆弧有公共点，故一 2<t<1,即mn的取值范围是42, 1).注：也可设 m= cos 0 , n= sin 0-2< 0 <2兀 j,则 mm- n = gsin 1 04j因为?<e+冲所以一1 wsin 10 + -4 <¥，所以*vm n<1.答案:-小，1)

31、13 .设点(1,2)在抛物线y=ax2上，直线l与抛物线交于 A, B两点，直线11是线段AB 的垂直平分线.若直线1 1的斜率为2,则1 1在y轴上截距的取值范围为 .解析：由点(1,2)在抛物线y=ax2上，得a=2,即抛物线方程为 y = 2x2.设直线11在y1轴上的截距为t,依题意得11的方程为y=2x+1.直线1的方程可设为y= x+b,设A(X1,y1), Rx2, y2),联立2、" 消去 y 可得 2x2+?xb=0,则 x+x2= ； A =c 224!y=2x ,1+ 8b>0,即 b> 一三.设 AB的中点 P(x0, y0),则 x0=1(x1

32、 + x2)=-1, y()= Jx0+b= + 43228216b.由点P在直线11上,得上+ b= ； + t，于是t =卷+ b>"-=W 故11在y轴上截距的1641616 32 32，9取值氾围为32，+°0 .9答案：9+814 . (2019届高三广州调研)在平面直角坐标系 xOy中，直线x + &y2加=0与椭x2 y2c圆C：孑+1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c, 0)关于直线1：y = bx的对称点E在椭圆C上，则 OEF勺面积为.4+g-2巾=0,解析：联立版2 y2消去 x,化简得(a2+2b2) y2 8b2y + b2(8 a2)=后十口1，0,由A = 0,得2b2 + a28=0.设F'为椭圆C的左焦点,连接F' E,易知F