相似三角形的判定性质经典例题分析

1、WORD格式.分享精品.资料、比例性质1 .基本性质2 .反比性质:3.合比性质相似形（一）板块一、课前回顾a c .一=一二ad =bc （两外项的积等于两内项积）b da=9Ub =-（把比的前项、后项交换）b d a ca=_c= 亘m =c三-（分子加（减）分母，分母不变） b d b d4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变 .）如果a =b= m(b +d + f + +n =0),那么 nace- mb d f 标一二 n谈重点：（1）此性质的证明运用了 “设 k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.（2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.（3） 可利用分式

2、性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.5.黄金分割:尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾:例题1.已知a、b、c是非零实数，且 一a=b一=一c一=d一 = k ,求k的值. b c d a c d bad a b c一 .111 y x例题2.已知一 +=,求+一的值。x y x y x y板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念概念：具有相同形状的图形叫 卜目似图形.谈重点：相似图形强调图形 形状相同，与它们的位置、颜色、大小 无关.相似图形不仅仅 指平面图形，也包括 立体图形相似 的情况.我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由

3、另一个图形放大或缩小 得到的.若两个图形 形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例，口识点二、平行线分线段成比例定理一定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1 / l 2 / l 3。ABBCDEEFABACDEDFBCEFACDF推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边。C4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边（或其延长线），那么所截得的三角形与原三角形相似.推论。4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：:DEE

4、/ BC, . ABSADE知识点三、相似三角形的判定判定定理1:两角对应相等，两三角形相似.符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。例题精讲【重难点高效突破】 例题1.如图，直线 DE分别与 ABC的边AB AC的反向延长线相交于 H E,由ED/ BC可以推出AD AE=吗？请说明理由。（用两种方法说明）BD CE例题2.(射影定理) 已知：如图，在 ABC中，/ BAC=90 , AD± BC于D. 222求证：(1) AB =BD BC ; (2) AD =BD CD; (3) AC = CD CB例题3

5、.如图，AD是RtAABC斜边BC上的高，DE! DF,且DE和DF分别交ARAC于E、F.则空=些 吗？说AD BD4说你的理由.例题4.如图，在平行四边形ABCD43,已知过点 B作BH CD于E,连接AE, F为AE上一点，且/ BFE' C(1)求证： ABF EAD(2)若 AB=4, / BAE=30 ,求AE的长；(3)在（1） （2）条件下，若AD=3求BF的长。【即时训练一、选择题1 .如图， ABC经平移彳#到4 DEF, AG DE交于点G则图中共有相似三角形（）A. 3对 B . 4对 C . 5对 D .6对2 .如图，已知 DE/ BC, EF/ AB,则下

6、列比例式中错误的是（）A ADAECEEA DEADEFCFA.BCDABACCFFB BCBDABCB3 .在矩形ABCD43, E、F分别是CD BC上的点，若/ AEF=90° ,则一定有（）A. AADaAAEF B. AECDAAEF C. A ADE A ECF D. A AEM A ABF4、如图，直线 l i / l 2, AF： FB=2 : 3, BC： CD=2： 1 ,贝U AE： EC是(A.5 ： 2B.4： 1C.2： 1D.3: 25.如图，E是平行四边形 ABCM边BC的延长线上的一点，连结AE交CD F,则图中共有相似三角形A.1对 B.2 对 C

7、.3 对 D.4 对1,那么DE： BC等于（D.3: 26 . A ABC中，DE/ BC,且 AD： DB=2：A.2 ： 1B.1： 2C.2： 3ABC相似,7 .如图，P是RtAABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截A ABC使截得的三角形与A 满足这样条件的直线共有（）A.1条 B.2 条 C.3 条 D.4 条8 .如图，已知 DE/ BC, EF/ AB,则下列比例式中错误的是（）八 ADAECEEAn DEADEFCFA.B.C.D.ABACCFFBBCBDABCB9 .下列说法：其中正确的是 （）10 有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有等腰直角三

8、角形都相似；所有的直角三角形都相似.A. B. C. D. WORD格式.分享、解答题1、如图，A ABC中，BD是角平分线，过 D作DE/ AB交BC于点E, AB=5cm BE=3cm求EC的长.精品.资料DE2 .如图，在梯形 ABCD43, AD± BC / BAD=90 ,对角线 BD± DC. AABC与A DCBt目似吗？请说明理由.(2)如果 AD=4 BC=9,求BD的长.3 .已知：如图，在正方形 ABCD43, P是BC上的点，且 BP=3PCQ是CD的中点.AADQ与A QC混否相似？为什么？4 .如图，已知AD为4ABC的角平分线，AD的垂直平分线

9、交 BC的延长线于点 E,交AB与F,试判定 BAE与 ACE是否相似，并说明理由。1分钟可到达B点；动6.已知：如图所示,中项吗？请说明理由.5 .如图，在矩形 ABCD43, AB=5cm BC=10cm 动点P在AB边上由A向B作匀速运动, 点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问 经过多长时间，恰好有PQL BD?D是AC上一点，BE/ AC AE分另1J交BQ BC于点F、G / 1=/25U BF是FG EF的比例WORD格式.分享8.如图，AD是Rt A ABC斜边BC上的高，DEI DF,且DE和DF分另交 AB 你的理由.相似形（二）板块二

10、、新课讲解知识点1.相似三角形的判定判定定理（2）:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理（3）:三边对应成比例，两二角形相似.知识点2.直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.»AC于E、F.则”=些吗？说说 AD BDBD C7.如图，CD是Rt A ABC的斜边 AB上的高，/ BAC的平分线分别交 BC CD于点E、F.AC? AE=AF? AB吗？说明理由知识点3. 相似三角形中的基本图形 AAB 2s 工 cb/A型，X型交错型且山隹例题精讲【重难点高效突破】例题1.如图在4>4的止方形方格中，ABC DEF的顶点

11、都在长为（1）填空：/ ABC= BC=:（2）判定 ABC与4DEF是否相似？并说明理由。例题2.如图，在 ABC中，已知 BQ CE是4ABC的高，求证：C。旋转型母子形二二1的小止方形顶点上.c D_N臧支FE八AADEAABCE/ 精品.资料B例题3.如图，已知 ABL BD, CD± BD, AB=6cmg CD=4cm BD=14cmg点P在BD上由B点向D点移动，当 BP等于多少时， ABP与4CPD相似?例题4.已知：如图，在ABC中，/C= 90° ,P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作P已AB交AC于E, 点E不与点C重合，若AB= 10, AC

12、= 8,设A2x,四边形PECB勺周长为y,求y与x的函数关系式.例题5.在三角形 ABC中，AB=AC AD!BC于点D, D已AC于点E, M为DE的中点，AM与BE相交于点N,延长AM交BC于点G AD与BE相交于点F, 求证：（1）DE=AD;CE CD（2） BCEA ADM（3） AML BE.【随堂演练】A组1 .下列命题中正确的是（）三边对应成比例的两个三角形相似二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似一个锐角对应相等的两个直角三角形相似一个角对应相等的两个等腰三角形相似A B 、 C 、 D 、2 .如图，D E分别是AR AC上两点，CD与BE相交于点 O,下列条件中

13、不能使A ABE和A ACD相似的是（）A. / B=Z CB. / ADCh AEBC. BE=CD, AB=ACD. AD : AC=AE： AB3 .如图，在正方形网格上有 6个斜三角形： A ABCA BCDA BDEA BFGA FGHAEFK.其中 中，与三角形相似的是（）（A）（B）（C）（D）AB/一，4 .如图，DE与BC不平行，当 =时，A ABdA AD耕目似。AC 一5 .如图，平行四边形 ABCD中，AB=10, AD=6, E是AD的中点，在 AB上取一点F,使CBFCDE贝U BF的（3题图）（4题图）（5题图）5.如图，四边形 ABCD平行四边形，AE±

14、; BC于E, AF±CD于F.亲精品.资料/WORD格式.分享6ABC的矩形呢?BC的中点21CBD32AFEDBCAD OCCDi±圆心资料CF交AB于E相似，请证明；若不相似，请说明理由(1) AABE与A ADF相似吗？说明理由.(2) AAEF与A ABC相似吗？说说你的理由如图，在正方形 ABCD43, P是BC上的点5.如图所示BP=3PC Q是CD的中点.A ADQW A QCP否相似？为什E, F分别为1 .如图，正方形 ABC邛7 .如图，在正方形 ABCD43, E为AD的中点，EH EC交AB于F,连接FCABaAE)a 1 A 34 .如图所示，A

15、B是。O的直径，BC是。0的切线，切点为点 B,点D是。O上的一点 求证：AD BC= OB BD2.如图，直线EF交AR AC于点F、E,交BC的延长线于点 D, AC! BC已知AB CD=DE 求证：AE CE=DE EF3.已知：如图，在梯形 ABC珅证:AB CD= BE ECAOAF与DE相交于点 O,则DO2.55WORD格式.分享6 .已知D是BC边延长线上的一点， BC= 3CD DF交AC边于E点，且AE= 2EC试求AF与FB的比.7,已知：如图，在 ABC中，Z BAC= 90° ,AHL BC于H,以AB和AC为边在 RtABC外作等边/ ABCffiAAC

16、E试判断 BDHfAEH否相似，并说明理由.相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.【重难点高效突破】例题1.(1) 两个相似三角形的面积比为 S1 ：S2,与它们对应高之比 hl : h2之间的关系为 (2) 如图，已知 DE/ BC, CD和 BE相交于 Q 若 S&bc : Sob = 9:16 ,则 AD:DB=(3)如图，已知 AB/ CD,BO:OC=1:4，点E、F分别是OC O

17、D勺中点，则 EF:AB的值为(4)如图，已知 DE/ FG/ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3,贝US . ABC : S四边形 DFGE : S四边形 FBCG =()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:366 一(5)梯形 ABCD43, AD/ BC, (AD<BC, AC BD交于点 O,若 Saab =2 S&BCD，则 AODW25 BOC勺周长之比为 。例题2.如图，在 ABC中，DE/ BC,且Sade： S四边形bceL 1:2, BC= 2娓。求DE的长。例题3.如图所示，已知 DE/ BC,且与 ABC的边CA、BA的延长线分别

18、相交于点D E, F、G分别在边AR AC上，且 AF: FB=AG GC 求证： AFGAAED例题4.如图，矩形 EFGH内接于 ABC AD± BC于点D,交EH于点M, BC= 20 cm, AMk 8 cm, 2，一一，一一一S*b= 100 cm。求矩形 EFGH的面积。例题 5. 4ABC中，D为 AB上一点，若/ ABC4 ACD AD=8cm, DB=6cm,求 AC的长。例题6.已知，如图 ABC中，/ BAC=90, AB=AC=1,D为BC上一动点(不与 B,C重合)，/ ADE=45(1)求证 ABDADCE(2)设BD=x,AE=y，求y与x的函数关系式(

19、3)若 ADE为等腰直角三角形时，求 AE的长例题7、如图，在等腰梯形 ABCD43 ,AD / BC,AD=3cm, BC=7cm, / B=60°尸为下底BC上一点(不与 B、C重合)， 连结AP,过P点作PE交DC于E,使得/ APE=Z B.(1)求证： ABFA PCE(2)求等腰梯形的腰 AB的长；(3)在底边BC上是否存在一点 P,使得DE： EC=5： 3,如果存在，求出BP的长，如果不存在，请说明理由.【随堂演练】A组1 .两个相似三角形的面积比为4: 9,那么它们周长的比为 精品.资料2 .若 x： v： z=3: 5: 7, 3x+2y 4z= 9 则 x + y+z 的值为.3 .如图，/ APD= 90° , AP= PB= BC= CD则下列结论成立的是()BC= 10,A . A PAN A PCAB.