2018年高考数学二轮复习专题15圆锥曲线的综合应用教学案文

1、专题 15 圆锥曲线的综合应用 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题 的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变 形能力、计算能力有较高要求. 高频考点突破 考点一圆锥曲线中的最值、范围 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题 (以所求式子或参数为函数值 )，或者利用 式子的几何意义求解. 例 1、如图所示，设抛物线 y2= 2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点 A到y轴的距离等于|AF| 1. tr (1) 求p的值； (2) 若直线AF交抛物线于另一点 B,过B与x轴平行的

2、直线和过 F与AB垂直的直线交于点 N AN与 x 轴交于点M求M的横坐标的取值范围. 解:(I)由题青可得,抛物线上点A到焦点F的距禽等于点需到直线-1 的距克, 由抛物线的定义得即尸工 由抛物线方程为沪二化 0), 可设虫厲 20, /#),评 L 故直线册的斜率为-告円 从而得直线FN:厂一尹 1),直线尸-召所以-剳 (2)设过点A的动直线I与E相交于P, Q两点，当 OPC的面积最大时，求I的方程. 解：设F( c, 0)，由条件知，2 = 233 得c=3. C 3 又=身，所以 a= 2, b2= a2 c2= 1. a 2 x 2 故E的方程为丁 + y = 1. Q 1 丄工

3、轴 fl 寸不合题意 故设 W y=foc-2；刊环 yi)yi)? ? 0(d yi)- 将 7=転一 2 代入十严=1, 得(1 + 4 4 砂一 16& +120. 当=(4*23*6 又点 O 到直线PQPQ的距离d=r=d=r=- - 所以OPQ 的面积 恥沪陀二4蛊f J 设寸 4 4 呑- -3=13=1则尸二七 因为 r+細 当且仅当 U2,即匸期寸等号成立，且满足 J0_ 所以当OP(2 的面积最大时，/的方程为尸或尸-2 考点二 定点、定值问题探究 直线AF的斜率为233, O为坐标原点. 3 (1)求E的方程； 1由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式: y

4、 yo= k(x xo)，则直线必过定点(xo, yo)； 4 若得到了直线方程的斜截式： y = kx + m则直线必过定点(0, m). 2 解析几何中的定值问题是指某些几何量 (线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等 )的大 小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值. a2+ b2 =1( ab0)的离心率为 字,A(a, 0) , B(0 , b) , C(0 , 0), OAB勺面积为 1. (1) 求椭圆C的方程； 设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点 M直线PB与x轴交于点N.求证：|AN BM为定值. 所以椭圆 C 的方

5、程为手+护=1- (2 皿明：由知 M(2,耶 5(0, 1). 设理心对贝 当璃幻时， 令工=0,得時-芒? 从而|5 圍二|1 一阔= 直线PBPB的方程为尸士厶+ 1. 令 F=0 得巫=一件 yoyo- -i i 从而側二|2-喇=2+岸* 所以 |AN| I BM例 2、已知椭圆 C: 解: 解得 I 1 + 2yo xo 2 2 2 |xo + 4yo+ 4xoyo 4xo 8yo+ 4 xoyo xo 2yo+ 2 当 Xo= o 时，yo= 1, |BM = 2, | AN = 2, 所以 |AN| I BIM = 4. 综上可知，I AN I BM为定值. 【方法规律】 1.

6、 求定值冋题常见的方法有两种: (1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值. 2. 定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元 r r 丿 (1)求椭圆E的方程; AQ的斜率之和为定值.X0 yo 4xoyo4xo 8yo+ 8 xoyo xo 2yo+ 2 =4. 的方向是非常关键的. 【变式探究】 如图， 椭圆 2 2 x y E： a2+ 1)，且离心率为 经过点(1 , 1)，且斜率为k的直线与椭圆 E交于P, Q (1M：由题设知彳二李 i 结苛朋二护+注，解

7、IB 所以;椭圆的方程为 y+j1 2 L (2ME明：由题设知，直线吃的方程为=竝-1)+1(耳 2),代入号+护=4 得(1 + 2 砂一 4 蚣1 + 20, 设巩饥，H),户)，XUQ#fl, e _4A (fc-1) _2k (Jt-2) 边 i + 2jp he 1 + 2浪 从而直线APf AQ的斜率之和 1 求椭圆C的方程； 2 斜率为k的直线I与椭圆C交于两个不同的点 M N. 若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且 DAL AM点G是x轴上异于点 M的点，且以DN为直径的 圆恒过直线 AN和DG的交点，求证：点 G是定点. 7 4k( k-1) k)2kTr =2k-2

8、(k-1) =2. 故kAP+ kAQ为定值 2. 笃+右=1(ab0)的右顶点为A,直线y=4 与椭圆C交于P, Q两点 a b 3 (P在Q的左边)，Q在 x轴上的射影为 B,且四边形 ABP(是平行四边形.yi +1 y2+ 1 kxi + 2 k kx2 + 2 k 1 1 + = + = 2k +(2 -k) X1 + X； Xi X2 =2k + (2 - k)X+xX= 2k + (2 - 例 3、已知焦距为2 2的椭圆 C: (1)解：设坐标原点为, 因为四边形ABPQABPQ是平行四边形, 所以嗣|=|PQ, 卜 因为m=2m=2 OBOB , ,所以圉|=2|0 叭 则点月

9、的横坐标为% 所以点总的坐标为务 黑代入椭圆的方程得 82, 又以二 2,所以启=4, 即椭圆 C 的方程为才+手=1 (2 涎明：设直线咖的方程为 尸愍+2)g 拘, DALAM,DALAM,所以 D(2, 4A). 整理得(1 +圧) + 8 晟工+朋一 4=債 rl r 8-4 则_加=弃莎 2 2- -4!?4!? i+W 所以沪皿+2)=占巨则必冶*豊 j 设Qt , 0)，贝y t丰一2,若以DN为直径的圆恒过直线 AN和DG勺交点，贝y DGL AN, 所以GD AN= 0 恒成立. f 因为 GD= (2 t, 4k), yy兀+2) 9 所以点G是定点（0 , 0）. 【方法

10、规律】 1 .动直线I过定点冋题，设动直线方程 （斜率存在）为y= kx +1，由题设条件将t用k表示为t = mk, 得y= k（ x+ m，故动直线过定点（m 0）. 2.动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立， 令其系数等于零， 得出定点. f f f 【变式探究】已知两点 A -讥，0），耳述，0），动点P在x轴上的投影是 Q且 2PA- PB= |PQ2. （1） 求动点P的轨迹C的方程； （2） 过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹 C于点G H M N,且&，E2分别是GH MN的中点.求证: 直线EE恒过定点. 解：设点卩坐标为（心

11、 珈 所次点的坐标为M 0, 因为 化简得点P的轨迹方程为手+= SE明：当两直线的斜率都存在且不为o时，设曲尸蛇玩皿凤心 曲尸一*x 1)，MX3，y3)，N(X4，yd， r- 2 2 X y i + = 1， 联立 S4 2 消去 y 得(2 k2+ 1)X24k2x + 2k2 4 = 0. 7= k (X 1)， 则 0 恒成立. AN= f-8k2 Q + 2k2， 4k 1 + 2k2， 所以GD AN= (2 8k2 1 + 2k2 + 4k 4k 2 1 + 2k =0 恒成立 8k2t 2 1 + 2k =0 恒成立，所以 t = 0, 所以X1+ X2= 4 k2 72

12、X1X2 = 2k2 4 2k2+ 1. 所以GH中点E1坐标为 2k2+ 1， 同理，MN中点E坐标为 ，丘， 所以乳+力=% 且 g)0, 3k 所以 kEO 2(”， 所以IE1E2的方程为 y= 2( R2)x 3，所以过点 13， 0 , 当两直线的斜率分别为 0 和不存在时，IEIEZ的方程为y= 0，也过点 百，0 , 综上所述，IE1E2过定点 3，0 . 考点三圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在， 引入参变量， 根据题目条件列出关于参变量的方程 等式(组) (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在. (3) 得出结论. 例

13、3、已知椭圆C： X2+ y2= 1(ab 0)的左、右焦点分别为 Fi( 1, 0), F2(1 , 0)，点A 1,亠2在椭 a b k 2 J 圆C上. (1) 求椭圆C的标准方程； 一 一 一 一 5 (2) 是否存在斜率为 2 的直线，使得当该直线与椭圆 C有两个不同交点 M N时，能在直线y= 3 上找到 一点P,在椭圆C上找到一点 Q满足PM= NQ若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解：(1)设椭圆 C 的焦距为玄，则 因为心豹在椭圆 C 上， 所以 2CT|AF1|+ |AF2|则迂二迈，夕二川一以=1, 故椭圆 C 的方程为芋+护=1 一 (2 环存在满足条件的直

14、线，证明如下：设直线的方程为丁=右+齐 设收小 皿 呃 Xb 心 8(X4,川 慟的中点为 , yo)yo) 消去总得驳一 2 少+总一 8=0,(组)或不 y=2x+1,y=2x+1, 二 丄， yi+ y2 t 戸 故 y= 2 = 9，且3 v t v 3. f f 也可由PM- NQ四边形PMQ为平行四边形，而 D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所 5 + V4 . 3 y t 2t 15 以yo- 厂-9，可得y4- 9 又 一 3/ b 0)的离心率为 1 2, 且过点 P1，I， F为其设过点A（4 , 0）的直线 由 PM= N(得 5 y13 = (X4X2,

15、13 412 + 吝-1，解得 c2- 1. 4c 4c 易知直线I的斜率存在，设I的方程为y = k(x 4), y= k ( X 4), 由X2 y2 消去y, 才 + 3 = 1 k 2 2 ,2 .2 得(3 + 4k)x 32k x+ 64k 12= 0, 由题意知 = (32 k2)2 4(3 + 4k2)(64 k2 12) 0, 解得 设地】，yi), yi),yi), yi), 因为厶伽 F 与的面积相等, 所以側二闷，所以対二乃+ 4. 4+ 由消去 Q 得粗=养螢 &4瑕一I? 将 Q= 2xj-4 代入，得 xi(2xi-4 尸孑+联 将代入到式整理化简得加岸=

16、 所以 经检殓满足題设 故直线I I的方程为尸爭： 一 4) A与B的横坐标之和为 4. (1) 求直线AB的斜率； (2) 设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线 AB平行，且 AM BM求直线AB的方程. 【答案】(1) 1; (2) x 7 .则 xi+xi =曲 一 3 + 464iP-12 3+ 4 护 : 2 1.【2017 课标 1，文 20】设A, B为曲线C: y=上两点, 4 15 【解析】 2 2 解：(1)设 A (xi, yi), B (X2, y2)，贝V % H x2 , 力=乞, y2 =乞,xi+X2=4, 4 4 于是直线AB的斜率k =凶_1里=空 竺=

17、i. Xi X2 4 x2 x (2)由 y ，得 y. 4 2 设M (X3, y3),由题设知 生=1，解得x3 =2，于是 M (2, 1). 2 设直线AB的方程为y=x+m，故线段 AB的中点为 N( 2, 2+n), | Mt|=| n+1|. x2 2 将 y = x m代入 y 得 x2 -4x-4m =0. 4 当 A =16(m+1)0，即 m1 时， 为,2 = 2 2jm+1 . 从而 |AB|=V2|x1 X2 =4(2(m + 1). 由题设知 AB| =2 MN，即 42(m +1) =2(m+1)，解得 m = 7. 所以直线AB的方程为y =x 7. X v

18、2. 【2017 课标 II，文 20】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C 丁 .上，过 M 作 x轴的垂线，垂足 为 N,点 P 满足NP二 2NM (1)求点 P 的轨迹方程； 设点Q在直线x - -3上，且OP PQ =1.证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线l过 C 的左焦点 F. 【答案】(1) =(2)见解析 【解析】 解：1)设卩 匾(%则N (V)J NP=(x-x(zy)iMN=(0唧 由 NP - 2MM得力二0. yc 因为 M 在 c上= r 2 2 因此点P的轨迹为，竹九- 由题青知F (-1J),设Q (亠t), P (叫n),则 0Q= (- i t) P

19、PF = (-1 -m. -n). OQ * PF = 3 + 3m - tnj OP = (m, n), PQ= (-3- m, t-n)- 由OP PQ= ,学帰网又由( (D知故 3+3tn-ta=O. 所以Ob S 即，必丄臨又过电P存在唯一直线垂直于0Q,所以过点P且垂直于0Q的直线1过 C 的左焦点 F. 3. 【2017 课标 3，文 20】在直角坐标系xOy中，曲线申mx-2与x轴交于A, B两点，点 C 的坐 标为(0,1).当m变化时，解答下列问题： (1) 能否出现AC BC的情况？说明理由； (2) 证明过A, B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 【答案】(1)不

20、会；(2)详见解析 【解析】 (1)不能出现 AC丄BC的情况，理由如下： 2 设 A(X1,0) , B(X2,0),则 X1, X2 满足 x +mx2 = 0，所以捲乂2=-2. -1 -1 1 又C的坐标为(0, 1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为 ，所以不能出现 AC丄BC的情况. x-i x2 217 恥的中点坐标为（号斗）可得恥的中垂线方程为 由（1）可得坷+帀=-朋，所決曲的中垂线方程为X = -. 2 fa 一， x = - f 2 又+呷_2=0,可得 X. 1 厂一亍 所以过，、B、C三点的圆的附坐标为（号-切半径-峥， 故圆在F轴上载得的弦长为2屮匸（尸=3,即过儿B

21、. C三点的圆在y轴上截得的弦长为定 2 2 X y 4. 【2017 山东，文 21（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆C p= 1（ab0） a b 的离心率为 2 ,椭圆C截直线y=1 所得线段的长度为 2 2. 2 （I ）求椭圆C的方程; （n ）动直线l：y=kx+n（m 0）交椭圆C于A, B两点，交y轴于点M点N是M关于O的对称点，圆N的半径 为| NQ 设D为AB的中点，DE DF与圆N分别相切于点 E F,求.EDF勺最小值. I 2 2 【答案(I) 1 1 .(II) . 4 2 3 【解析 (I )由椭圆的离心率为于，得/ = 沪), 又当 j

22、 = 1S寸，X2 =於一务，得/一盘=2, 因此椭圆方程为兰+必=1 一 4 2 2 (n)设耳必)(花 联立方程益:; 得(2A“ 1/+ 4Sx+2 加 _4 = (h 由AAO得 ma3, 故 2+1 = , 4 当烂 3 时，yo3 从而y y =才+在戈十 8）上单调递増， 因此 t t 3 等号当且仅当 43 时成立，此时0, 2 ND 所以耳兰1 +3=4 , NF 由（* ）得 f ；2 : m ：、. 2 且 m = 0. NF ND 设 EDF =2 , 则si心斗丄 ND 2 所以二的最小值为-, 6 从而.EDF的最小值为 n，此时直线 L 的斜率是 0. 3因为 |

23、AF| = m m 4（P+3 疋+1） -1 + 肿+3 （2 疋+1 令尸心所灯十 16t16t 1 综上所述：当 k = 0, m 三 ., 2,0 . 0, 、_ 2 时， 5. 【2017 北京， 文 19】 已知椭圆C的两个顶点分别为 (I)求椭圆C的方程； (H)点D为x轴上一点，过 D作x轴的垂线交椭圆 点E求证： BDEW BDN勺面积之比为 4:5 . 2 x 2 【答案】(I) y =1 ；(n )详见解析 4 n .EDF取到最小值一 3 A(-2,0) , B(2,0),焦点在 x 轴上，离心率为-1 . 2 C于不同的两点 M N,过D作AM的垂线交BN于21 X Y 【解析】(I )设椭圆 C 的方程为-+- = l(aO.bOL a a b 3=2,3=2, 由题意得,c細解得匸伍 I - - * 3 3 2 2 所以 b = a2 -c1 = 1- 所以椭圆 C 的方程为 4 (II )设 M(mrn),则 由題设知 m 址 2,且”0- 直线 AM 的斜