全国通用-2019年最新高考数学理科第三次高考模拟训练试题及答案解析二

1、若要功夫深，铁杵磨成针!最新高考数学三模试卷（理科）、选择题（每题 5分）1 .若集合 M=xC R|x2-4x<0,集合 N=0, 4,则 M U N=()A. 0, 4 B. 0, 4)C. (0, 4 D. (0, 4)2 .设i为虚数单位，复数 z=2丁土，则z的共轲复数片()1A. - 1 - 3i B. 1 - 3i C. - 1+3i D. 1+3i3 .在正项等比数列4中，ai008?ai009=iy 则 lgai+lga?+lga20i6=()A. 2015 B. 2016 C. - 2015 D. - 2016224 .已知双曲线 与-4=1的焦距为10, 一条渐近线

2、的斜率为2,则双曲线的标准方程是晓b3A.C.B.D.20-so-C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，若输入的5 .直线 m： x+ (a2-1) y+1=0,直线 n: x+ (2-2a) y-1=0,贝U "a=-3"是"直线 m、n关于原点对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件m, n分别为204, 85,则输出的 m=（A. 2B. 7C. 34D. 85、*一 一 、， _- * * » .7 .若等差数列4的公差dw0,前n项和为Sn,若？ nC N ,都有$产&。，则（）*A. ? n C N

3、, 都有 4 v 4 i B. ag?3i0> 0C. S2> S17D. Si9> 02x - 3y+6）08 .设不等式组, 4箕-y-8<0表示的平面区域为Q,则当直线y=k （x-1）与区域有公共点时，k的取值范围是（）A. 2, +8） B. （8, 0 C. 2, 0 D. （8, - 2 U 0, +8）29 . （1-5）（2+、/7）6的展开式中，x项的系数是（）KA. 58 B. 62 C. 238 D. 24210 .某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示， 该饮料瓶的表面积为（） 国A. 81 % B. 125 兀C

4、. （41+7V145）兀D. （73+7/1）兀11 .甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同 的概率等于（）A.1516B.C.16D.71612 .关于x的不等式(x2+2x+2) sin wax+a的解集为-1, +°°),实数a的取值范 产+2x+2围是()A. 1, +8)B, 2, +8)C. 3, +8)D, 4, +8)二、填空题（每题 5分）13 .已知鼻（1

5、,t=（3 4）,若则 t=.则函数的解析式为.14 .已知函数y=Asin（3x+QI 6 |的部分图象如图所示,15.已知函数f (x)=log0(x + U >,则不等式f (x) >2的解集是f (2 - x),工<1+%一 116 .已知数列an满足：为=2, (4%+-5) (441) =- 3,贝U二+-d 1三、解答题17 .如图，在 ABC中，/ B=三，AC=2后.(1)若/ BAC= 0 ,求AB和BC的长.(结果用。表示)；(2)当AB+BC=6时，试判断 ABC的形状.18.从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下:组别3

6、0, 4040, 5050, 6060, 7070, 8080, 9090, 100频数3101215622(I)求这50名同学成绩的样本平均数 三(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(n)由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布 N (科，196),其中科近似为样本平均数 ,.利用该正态分布.求 P (Z> 74);某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过 74分的人数，利用的结果，求 EX附：若ZN (gb 2),则P (科-b v Zv + b) =0.6826,P (厂 2VZV 科 +2(r) =0.9544.19.如图

7、，直角三角形 ABC中，/A=60° /ABC=90° AB=2, E为线段BC上一点，且BEBC,沿AC边上的中线 BD将4ABD折起到 PBD的位置.(1)求证：PE± BD;(2)当平面PBD，平面BCD时，求二面角 C-PB-D的余弦值.20.已知椭圆E:+J=1 (a> b>0)的离心率为 叵,短轴长为2,过圆C： x2+y2=r2 (0b22 vrvb)上任意一点作圆 C的切线与椭圆E交于A, B两点，O为坐标原点.(1)当r为何值时，0翅OB;(2)过椭圆E上任意一点P作(1)中所求圆的两条切线分别交椭圆于M, N,求4PMN面积的取值范

8、围. ，+1 21.已知函数f (x) =f+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数.e(1)求a的取值范围；,1,、-a2(2)若 aC (0,求证：？ xC (0,2,都有 f (x) v选彳4-1几何证明选讲22.如图，。的直径AB的延长线与弦 CD的延长线相交于点 P,E为。O上的一点，菊 伞,DE交AB于点F.(1)求证：PFTO=PA?PB;20(2)若PD=4, PB=2, DF=y,求弦 CD的弦心距.选彳4-4 :坐标系与参数方程23.已知曲线C:“二("为参数)，直线1: y=2+2sindk=3+V2 t (t为参数)，以坐标原y=V2t点为极点，x轴非负半轴

9、为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；(2)点A在曲线C上，B点在直线l上，求A, B两点间距离|AB|的最小值.选彳4-5不等式选讲24.已知函数 f (x) =|x+m|+|2x+1|.(1)当m=-1时，解不等式f(x)w3;(2)若mC (-1, 0,求函数f (x) =|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的 最大值.参考答案与试题解析一、选择题(每题 5分)1 .若集合 M=xC R|x2-4x<0,集合 N=0, 4,则 M U N=()A. 0, 4B. 0, 4) C. (0, 4 D. (0, 4)【考点】并集及其运算

10、.【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可.【解答】解：集合 M=xC R|x2 - 4x< 0= (0, 4),集合 N=0, 4,则 MUN=0, 4, 故选：A.，一，、，、 一，3 - 11上一，一2 .设i为虚数单位，复数 z=；,则z的共轲复数=()1A. - 1 - 3i B. 1 - 3i C. - 1+3iD. 1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z,则z的共轲复数；可求.3-i-1(3-1),【解答】解：z=T=2-1-31,贝 UG =- 1+3i.故选：C.3 .在正项等比数列4中，为008&

11、;1009=下石,则lgai+lga2+顿20化=()A. 2015 B. 2016 C. - 2015 D. - 2016【考点】等比数列的通项公式.【分析】由正项等比数列4的性质可得：a1&2016=a2?a2015=i，=a1008&1009,再利用对数的运算性 质即可得出.100【解答】解：由正项等比数列an的性质可得：a1?32016=a2?32015=a1008?31009=则 lga+lga2+lga2016=lg （&%？?比015?32016）= 1吕（记万）1。08= - 2016.故选：D.4.已知双曲线b2=1的焦距为10, 一条渐近线的斜率为2

12、,则双曲线的标准方程是A.）22jc y .-=15 20B.=12222C.二-2_=1D.二-2_=120 8080 202,可得主=2,可得a, b的方 a【考点】双曲线的标准方程.【分析】由题意可得 2c=10,即c=5,由一条渐近线的斜率为程组，解得a, b,即可得到所求双曲线的标准方程.【解答】解：由题意可得 2c=10,即c=5,由一条渐近线的斜率为 2,可得电=2,又 a2+b2=25,解得a=A b=2加，即有双曲线的方程为 二-式=1.520故选：A.5 .直线 m： x+ (a2-1) y+1=0,直线 n: x+ (2-2a) y- 1=0,贝U "a=-3&

13、quot;是"直线 m、n关于原点对称”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】在直线 m： x+ (a2-1) y+1=0上任取点P (x, y),则点P关于原点对称的点 Q (x, - y)在直线n上，代入比较即可得出.【解答】解：在直线 m： x+ (a2-1) y+1=0上任取点P (x, y),则点P关于原点对称的点 Q (-x, - y)在直线n上，. - - x+ (2 - 2a) ( y) -1=0,化为 x+ (2 2a) y+1=0,与 x+ ( a2 1) y+1=0

14、 比较，可得：a2- 1=2- 2a,解得 a=3 或 a=1.则“a=-3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件.故选：A.6 .执行如图的程序框图，若输入的m, n分别为204, 85,则输出的m=()/吗7A. 2B. 7C. 34 D. 85【考点】程序框图.【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m, n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值.【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m, n的最大公约数，当输入 m=204, n=85时，输出的m=17.故选：B.7 .若等差数列4的公差dw0,前n项和为Sn,若？ nC N ,都有Sn<Sic则（

15、）*A. ? n N ,都有 % i B.+&10> 0C. S2> S17D. Si9> 0【考点】等差数列的前 n项和；数列的函数特性. 一 一 ， * . 、 ，.»，."、*.» 一一【分析】由？ nCN,都有Sn<Sio, ai0> 0, M 0,再根据等差数列的性质即可判断.【解答】解：: ？ nC N*,都有Sn<S10, a0> 0, a1 w 0, ag+a > 0 >.-S2>Si7, Sl9> 0,故选：D.3y+608 .设不等式组. 4K-y-g<0表示的平面

16、区域为,则当直线 y=k （x-1）"y - 2>0与区域有公共点时，k的取值范围是（）A. 2, +8）B. （8, 0 C. 2, 0 D. （8, - 2 U 0, +8）【考点】简单线性规划.【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可.【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：,解得 B (2, 0),显然 y=k （x- 1）恒过（1, 0）,k=0时，直线是AB,k>0 时，k一+00,k<0时，k的最大值是直线 AC的斜率-2, 故 kC （8, - 2 U 0, +8）, 故选：D.29 . （1-亍）（2+J）

17、 6的展开式中，x项的系数是（）XA. 58 B. 62 C. 238 D. 242【考点】二项式系数的性质.【分析】（2+心）6的展开式中，Tr+1*2°一丁（«产26；2.分别令1=1,1=3,进而得出.【解答】解：（2+vG） 6的展开式中，Tr+1=6r （遍产=26品京 分别令彳=1, 7； =3,解得r=2或r=6.=238.（1-今）（2+仁）6的展开式中，x项的系数是2/。故选；C.10 .某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示， 该饮料瓶的表面积为() 工;J 1A. 81 兀 B. 125 兀 C. (41+7-/14)兀D

18、. (73+7T14E)兀【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成， 上面是一个半球，下面是一个圆台.利 用表面积计算公式即可得出.【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个 圆台.该饮料瓶白表面积=.1.,+：、1'+3 /2=(41+7M145)兀.U故选：C.11 .甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中， 再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同 的

19、概率等于()A.1516B.C.16D.716【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出基本事件总数， 再求出甲未抽到技能 1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项 目不同包含的基本事件个数， 由此能求出甲未抽到技能 1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛 项目不同的概率.【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定， 甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球， 若盒中4个小球分别贴了技能 1号到4号的标签，则基本事件总数n=4>4=16,甲未抽到技能1号，乙未抽到技能 2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数： m=1 X3+2&

20、gt;2=7,.甲未抽到技能1号，乙未抽到技能 2号且甲乙比赛项目不同的概率p一.故选：D.212 .关于x的不等式(x+2x+2) sinWwax+a的解集为-1, +°°) 头数a的取值氾围是()A.1, +8)B,2, +8)C.3,+8)D,4,+8)【考点】其他不等式的解法.2"2sin【分析】根据极限的思想 斗空=1,分离参数，即可得到a>2%*守2,即可求出答 y2x+2k +2 x+2案.【解答】解：由于一 '=1,X,x2+2x+2w ax+a 的解集为-1, +°°),2" 2sin-5.a>2

21、x>2,x，2k+22x+2ox +2x+2，实数a的取值范围为2, +8),故选：B.二、填空题(每题 5分)13 .已知：=(1, t),7=(3 4),若;/ 工，则 t= '.【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算.【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果.【解答】解：= ;=(1, t), fc= (t, 4),且:/ 工，-1>4-t2=0,解得t=虫.故答案为：±2. TT14 .已知函数 产Asih(3x+0 )(A>0, S>0, |0 |q-)的部分图象如图所示，则函 数的解析式为产wi门(214).3

22、-【考点】由y=Asin (cox+(j)的部分图象确定其解析式.TT需，-&)代入解析式，结【分析】根据已知中函数 y=Asin(“中)(3>0, |巾|<-)的图象，可分析出函数的 最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定3的值，将( 合 幢告，可求出？值，进而求出函数的解析式.【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin ( x+ x+?)的最小值-|A|二-5,令A> 0,则A=不-T 7兀河八又. = -w > 04123 . T=兀,3 =2 y=Vsin (2x+?)将(毛;，"五)代入 y= ' sin (2x+?)得 sin (

23、，+?) =- 1 J. u。+?=+2k % , kCZ五 一即?=+2k 兀，k C Z I -一y=V2sin(2x+-)故答案为：.:lOgn(x+l), K>l15.已知函数f (x) =*,则不等式f (x) >2的解集是( 8, 1)f(2-xL x<lU ( 3, +8).【考点】分段函数的应用.【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x> 1和xv 1,进行求解即可.【解答】解：若 x>1,由f (x) > 2得log2 (x+1) >2,彳导x+1 >4,即x>3.若 x<1,贝U x> 1, 2- x>

24、 1,贝U由 f (x) >2 得 f (2 x) >2,即 log2 (2 x+1) > 2,得 log2 (3 x) >2,得 3 -x>4,即 xv - 1 .综上不等式的解为 x> 3或xv - 1,即不等式的解集为(-8, 1) U (3, +8),故答案为：(-°0, - 1) U (3, +°°)+-16.已知数列an满足：a1=2, (4an+1 一5) (4an1) =- 3,贝U-【考点】数列递推式；数列的求和.【分析】化简可得4 (an+1) -14 (a1) +3=-3,从而可得一 124.16+%-%1

25、=。,即+2=3an+l 列，从而求和即可.1 . . 1 1. 二彳+2)，从而求得数列-二彳+2是以3为首项，3为公比的等比数【解答】解：( 4an+1 - 5) (4an1) =- 3,. 4 (4+1 1) 14 (an 1) +3=- 3, - 16 (an+1 1) (41) +12(an+1 1) 4 (an1) =0,12，16+-+2=3j-+2),- 1又. .+2=3,% -1 ，1，数列=-1 +2是以3为首项, a ，3为公比的等比数列,n+2=3 ,故一1故一 al=3- 2+9 2+3n 22n；故答案为：-1 (3n- 1) - 2n.三、解答题, 一，._ _

26、 ,，_兀 _ F217.如图，在 ABC 中，/ B=, AC=2jE.(1)若/ BAC= 0 ,求AB和BC的长.(结果用。表示)；(2)当AB+BC=6时，试判断 ABC的形状.【考点】三角形的形状判断.【分析】（1）根据正弦定理来求边 A® BC的长度;，.7T(2)由 AB+BC=6得到：4sin (+ 03+4sin 0 =6,结合和差化积公式得到0的值，由此可以判定 ABC的形状为钝角三角形.【解答】解：（1）由正弦定理得:AC二吃sinB sinA所以 BC=4sin0 .一冗 八又 / C=7t -0 ,.冗一 ，冗 . sinC=sin (兀-0 ) =sin

27、(-7+ 0 ).O0K AB 2a -.一=Tk即.n二,，冗上口、， sinB sinC gin - sin<-+ 8 )AB=4sin (-+ 0 ).+4sin 0 =6,(2)由 AB+BC=6得至k 4sin ("+。)D所以，8sin ( + 0 ) Hi =6, 62整理，得, n 、sin (丁 + 0)=.62, 冗. 0V r+ 0 < % ,6冗7T7T2亦工 +0 =丁或二+0 =000J冗 八 冗0 =,或 0 = .ABC是直角三角形.18.从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下:组别30, 4040, 5050

28、, 6060, 7070, 8080, 9090, 100频数3101215622（I）求这50名同学成绩的样本平均数 ¥ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(n)由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布 N (科，196),其中科近似为样本平均数 7.利用该正态分布.求 P (Z> 74);某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过 74分的人数，利用的结果，求EX 附：若 ZN (g b 2),则 P (科b v Zv +(t) =0.6826,P (厂 2VZV 科 +2(t) =0.9544.【考点】正态分布曲线的

29、特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数.【分析】(I)利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的 样本平均数著；(n)由(I)知，ZN (60, 196),从而 P (60-14VZV60+14) =0.6826,即可得出结 论；设依题意知 XB (20, 0.1587),即可求得EX.，、，一 1样本平均数= =777 X50【解答】解：(I)由所得数据列成的频数分布表，得：(35 >3+45 X10+55 M2+65 M5+75 >6+85 >2+95 0 =60;(II)由(I)知，ZN (60, 196),从而 P (6014VZV60

30、+14) =0.6826,.P (Z>74) =X (1 0.6826) =0.1587, u由知，成绩超过74分的概率为0.1587,依题意知XB (20, 0.1587),EX=20 >0.1587=3.174.19.如图，直角三角形 ABC中，/A=60° /ABC=90° AB=2, E为线段BC上一点，且BEqBC,沿AC边上的中线 BD将4ABD折起到 PBD的位置.(1)求证：PE± BD;(2)当平面PBDL平面BCD时，求二面角 C-PB-D的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质.【分析】(1)取BD中点O,连结

31、OE, PO,推导出 OE! BD, PO± BD,从而BDL平面POE, 由此能证明PEXBD.(2)以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出二面角 C- PB- D的余弦值.【解答】证明：(1)二.直角三角形 ABC中，Z A=60° , zABC=90° ,AB=2, E为线段BC上一点，且 BE*BC,DC=PD=PB=BD=2 BC=2E,取BD中点O,连结OE, PO,. OB=1, be/4,.OE=/5,OE! BD,33. PB=PD,。为 BD 中点,POXBD,又 POP OE=O, . BD,平

32、面 POE,PEXBD.解：（2）二.平面 PBD,平面 BCD,POL平面 BCD,如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系,则 B （0, 1, 0）, P （0, 0,遂）,C （a,-2，0）,BF= （0, T,加），证二（6，-3，。），设平面PBC的法向量；=（x, v, z）,_ fn-BP="v+V3=0 什 =, 广1),则4 _ ,取 v=J,倚 r=(3, y3 *却BC=J5x-3尸0平面图PBD的法向量 涓(1, 0, 0),cosv,|刘 I I 口 I V13 13由图形知二面角 C- PB-D的平面角是锐角,，二面角C

33、- PB- D的余弦值为21320.已知椭圆E +ab2=1 （a> b>0）的离心率为短轴长为2,过圆C： x2+y2=r2 （0vrvb）上任意一点作圆 C的切线与椭圆E交于A, B两点，O为坐标原点.（1）当r为何值时，。翅OB;（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M, N,求4PMN面积的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(1)由椭圆的离心率为 近，短轴长为2,列出方程组, 2求出 a, b,从而求出椭圆E的方程，当直线 AB的斜率不存在时，直线 AB: x=i,得到当r=2W5时，OA, OB；当直5y=kx+n线l的斜率存在

34、时，设l: y=kx+n,由，乂2It2少，得（1+4k）+ y -1x2+8knx+4n2 - 4=0,由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值.(2) OP，OM, OP± ON, OP± MN,且MN过原点 O,当MN的斜率存在且不为 0时，设MN： y=kix, （k1w0）,由/2,得 |MN|=2OM=4,匕+y'k/+il+4kj,同理，|OP|=,Q|.4+kJ由此能求出 PMN面积的取值范围.【解答】解：(1)椭圆E三+ab2=1 (a> b> 0)的离心率为亚，短轴长为2,2解得a=2, b=1,椭圆E的

35、方程为一设 A （ xi, yi）, B（X2, y2）,当直线AB的斜率不存在时，直线AB:即 Xi=X2= 土,代入椭圆方程，得 - . -一 =*水2+丫旷2= h ；, ，-=r2 - 1 1上5/不）= - 1, 440vrv1. .当 r=时，OAOB=C,即 OA，OB, 5当直线l的斜率存在时，设l: y=kx+n,尸kx+nJ 2 ，得（1+4k2） x2+8knx+4n2 - 4=0, V =1三 一 Ijlki l+4k 1 ' l+4k冠豌=XiX2+yiy2=XiX2+ ( kxi+n) (kxz+n) =(1+k2) xiX2+kn (X1+X2) +n2(

36、1+昌(4/- 4) - 8/n2 + n2+4/口?l+4k2l+4k2直线1与圆C相切,=r,即 n2=r2 (i+k2),(5="4)(1 + /)l+4k2. 0vrvi, .当 r=&1时，OA-OB =0,即 OAL OB, 5综上，r= 一.5(2)由(i)知 OP, OM, OP± ON,OPXMN,且 MN 过原点 O,当MN的斜率存在且不为 0时，设 MN： y=kiX, ( k1w 0),24'得 1+4匕2 . |MN|=2OM=2 “k/+=4 1同理,r I (k/+i)21123Spmn书|OP|?MN|=4z-j-=4.p6己

37、 2),2v(4+kJ) (1+4 k i 2) V k2+-y+25当MN与坐标轴垂直时，Sapmn=2 ,. PMN面积的取值范围是旦，2.5x+121.已知函数f (x) =-丁+aInx有极值点，其中e为自然对数的底数.(1)求a的取值范围；2(2)若 aC (0,求证：？ xC (0,2,都有 f (x) < 叶一一【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)求出函数的导数，得到 aex-x2=0有解，显然a>0,令m (x) =aex-x2,根据函数的单调性求出 a的范围即可;(2)求出函数的导数，令 h (x) =aex- x2,根据函

38、数的单调性得到 f (x)在(a, 1)内有唯一极大值点 x0,从而 f (x) max< maxf (1), f(X。),结合函数的单调性，证出结论即可.x+1【解答】解：(1) f (x) = -+aInx, f' ( x)ea/ - JX xex+1若函数f (x) =一1+aInx有极值点,eaex-x2=0有解，显然 a>0,m (x) =aex- x2, (a>0),m' (x) =a3- 2x, m" ( x) =aex - 2,!(x) >0,解得:(x)在(巴2 人，,、x> In一,令 m( x)a2、_2In)递减，

39、在(In,2< 0,解得：xv In,aa2_2 .(x) min=m (In-) =22ln<0,+°°)递增,解得:故0v2 av,e2 a<£；肝 I(2) f (x)=之 +alnx, fe令 h (x) =aex- x2,贝U h' (x) =aex- 2x, 0<x< 1 时，h' ( x) & ae- 2<0,由于 h a a) =a e ea- a) >0, h (1) =ae- 1 < 0,，f (x)在(a, 1)内有唯一极大值点xc，当a=l时，f (x)有极大值点 x=

40、1, ex (0, 2时，f (x) maxW maxf (1)f (x0)2f(xc) W匕3L(a<xc< 1),令 3 ( x) =, (a v x v 1),e则 3 ' ( x) = - e x (x - 2) xlnx v 0,22(、,( 、 a+l+a Ina, a+1 - a w ( x) v 3 (a)=<aaee2又 f (1)=,e-_ 2maxf (1), f (设)v -ae选彳4-1几何证明选讲P,E为OO上的一点，AE =虱，22.如图，。的直径AB的延长线与弦 CD的延长线相交于点DE交AB于点F.(1)求证：PFTO=PA?PB;、

41、20 (2)若PD=4, PB=2, DF-,求弦 CD的弦心距.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(1)先证明 PD。POC,再利用割线定理，即可证得结论；(2)设圆的半径为r,由 PDFsPOC,可得半径为5,由切割线定理可得，PD?PC=PBPA?解得CD=2,再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距.【解答】解：(1)证明：连接 OC、OE,则/ COE=2Z CDE,茄=元，/AOC=/ AOE,/ AOC=/ CDE,/ COP=Z PDF,. / P=/P, . PDD POC,理=里PO PCPRPO=PD?PC,由割线定理可得 PC?PD=PA?PB, PRPO=PA?PB.、一，90(2)