排列组合和二项式定理第8课组合

1、课 题：10 3组合(二) 教学目的：1 .掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；2 .进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点：组合数的性质.教学难点：组合数的性质.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：1 .分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第 n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N m1 m2mn种不同的方法，2 .分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n个

2、步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第 n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N m1m21Mmn种不同的方法*3 .排列的概念：从n个不同元素中，任取 m (m n)个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的丁个那列*4 .排列数的定义： 从n个不同元素中，任取 m (m n)个元素的所有排 列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Am表示.5 .排列数公式：Am n(n 1)(n 2) |(n m 1) (m, n N , m n)6 .阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做 n的阶乘.规定

3、0! 1.7 .排列数的另一个计算公式：Am =0一 (n m)!组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个 组合.说明： 不同元素；“只取不排”一一无序性；相同组合：元素相同.9 .组合数的概念：从n个不同元素中取出 m m n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号cnm表示.10 .组合数公式：Cm A_ n(n 1)(n 2»胆 m 1) Am!或 C m n(n, mm!(n m)!N，且m n).、讲解新课:i .组合数的性质i ： c cnm一般地，从n个不同元素中取出 m个元素后，剩下n m个元素.因为从 n个不同元素中取出 m个元素

4、的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，等于从这 n个元素中取出n m元素的组合数，即:Cnm Cn m.在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想n m证明：: Cnn!(n m)!n (n m)!n!m!(n m)!又C；n!m!(n m)!说明：规定：C： 1；等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；此性质作用：当m口时，计算Cnm可变为计算C： m ,能够使运算简化22001 2002 2001- 1例如 C2002 = C2002= C2002 =2002 j C： Cny x y或 x y n.C：i ,

5、这些组合可以分为两类：一类含有元素 ai , 一类不含有ai,含有ai的 组合是从a2,a3, , an i这n个元素中取出 m 1个元素与a1组成的，共有C：1个；不含有a1的组合是从a2,a3, , an i这n个元素中取出 m个元素组成的, 共有cnm个.根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质.在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想.证明：Cm Cm i n! n! n!(n m 1) n!mn n m!(n m)! (m 1)!n (m 1)! m!(n m 1)!(n m 1 m)n!m! (n m 1)!(n 1)!m! (n m 1)!mcn

6、1y+cnm1说明：公式特征：下标相同而上标差i的两个组合数之和，等于下标比原下标多i而上标与大的相同的一个组合数；此性质的作用：恒等变形，简化运算三、讲解范例：例1.一个口袋内装有大小不同的 7个白球和1个黑球，(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1) C； 56,或 c3 c2 c；,； (2) C72 21； (3) c3 35 .例 2.(i)计算：c3 c4 c； c6 ；求证：cm 2 = cm+2cm1+cm2解：(i)原式 c； c，c<6 c&

7、lt;5 c； c；0 c：2i0；cm;Cm 2左边*n -n1、 ni -n2、-n证明：(2)右边(Cm Cm ) (Cm Cm ) Cm 1例3.解方程：(1) C131解：(1)由原方程得x 1 2x3x 2 x 3C13 ； ( 2)斛方程：Cx 2 Cx 22x 3或 x 1 2x 3 13, x110 A34或 x 5,1 x 1 13又由1 2x 3 13得2 x 8且x N , .原方程的解为 x 4或x 5.x N5代入检验，这上述求解过程中的不等式组可以不解，直接把x样运算量小得多.(2)原方程可化为CL2x 3135 A；3C：310 x 3 x 3工A310 Ax

8、3，(x3)!5!(x 2)!(x 3)!,10 x!.11,120(x 2)!10 x(x 1) (x 2)!2x x 12 0 ,解得 x 4 或 x 3,经检验：x 4是原方程的解.四、课堂练习：1 .方程c28 c:8的解集为()A. 4B . 9C.m 217 m一2 .式子C10C10(mN)的值的个数为()A. 1B . 2C. 3._ 9_ 9_ 83 .化简：Cm Cm1 Cm ；4 .若C：° C8,则C；。的值为；5 .有3张参观券，要在 5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ;6 .要从5件不同的礼物中选出 3件分送3位同学，不同的方法种数是 ；7 . 5名

9、工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ;8 .集合A有m个元素，集合 B有n个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是.9 .从1,2,31|,20这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有种不同选法.10 .正12边形的对角线的条数是 .11 .已知 C1x72C12T,求 c8c 的值;12 .解方程：C/ C：x1 C； C：.13 . 6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不 同的去法？14 .在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个.答案：1. D 2, A 3. 04. 1905. 10 _6, 607. 2438