傅里叶级数课程及习题讲解

1、第 1 5 章傅里叶级数§傅里叶级数一 根本内容、傅里叶级数一 ,一 f(x) ax在幕级数讨论中一,可视为刈经函数系线性表出而得.不妨称1,x,x2,L ,xn,L为基,那么不同的基就有不同的级数.今用三角函 数系作为基,就得到傅里叶级数.1三角函数系函数列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,L,cosnx,sin nx,L 称为三角函数系.其有下面 两个重要性质.(1)周期性 每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2)正交性 任意两个不同函数的积在,上的积分等于 零,任意一个函数的平方在上的积分不等于零.对于一个在,可积的函数系Un(x)： xb,n 1,2,L,定义

2、两个函数的内积b为(Un(x),Um(x)aUn(x) Um(x)d xl 0 m nUn(x),Um(x)如果,.0 m n,那么称函数系un(x):x a,b,n 1,2,L为正交系.由于 1,sinnx1 sin nxd x1 cosnx dx 0；sin mx, sin nxcosmx, cosnxsin mx, cosnx1, 112dx0,1,2,L ；m nsin mx sin nxdx0 m n .m n cosmx cosnxd x0 m nsin mx cosnxd x 0；2所以三角函数系在,上具有正交性,故称为 正交系.利用三角函数系构成的级数称为三角级数,其中a0,a

3、1,b1,L,an,bn,L为常数2以2为周期的傅里叶级数定义1设函数f在,上可积,1 .1.ak f(x),coskxf (x)coskxdxk1.1bk f (x),sin kx - f (x)sin kxdx ' k ,称为函数f(x)的傅里叶系数,而三角级数a0an cosnx bnsin nx1 .f(X)按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并称为f(x)的傅里叶级数,记作f(x)2这里之所以不用等号,是由于函数 不知其是否收敛于f(x).二、傅里叶级数收敛定理定理1假设以2为周期的函数用在,】上按段光滑,那么a.- . f(x 0) f(x 0)ancosnx bnsin n

4、x 2 n 12其中an, bn为f(x)的傅里叶系数.定义2如果f(x) Ca, b,那么称f(x)在a,b上光滑.假设x a,b), f(x 0), f (x 0)存在;x (a,b, f(x 0), f (x 0)存在,且至多存在有限个点的左、右极限不相等,那么称f (x)在a, b上按段光滑.几何解释如图.按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成,它至多有有限个 第一类间断点与角点.上按推论 如果f(x)是以2为周期的性续函数,且在； 段光滑,那么x R,f (x) 包an cosnx bn sin nx有2 n 1定义3设口刈在(,上有定义,函数称f(x)为的周期延拓.二习题解答1

5、在指定区间内把以下函数展开为傅里叶级数 f(x) x, (i) x , (ii) 0x2.解：(i)、f(x)=x, x (,)作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数.由系数公式得11, Ca0 一 f (x)d x - xdx 01 an-当n 1时,xcosnxdx nxsinnxl nxd(sin nx)sin nxdx 0cosnxdx ( 1)n 11x cosnx nf(x)所以(ii)、 f (x) = x.n 1 sin nx1)n , ,为所求.,x°,2作周期延拓的图象如下.1时,1.2xsin nx |n1°2sin nxdx 

6、6;所以解：1xcosnx nf(x)f (x) =2|0(i)、 f (x) =(i)2x ,cosnxd xsin nxn<<x<兀(°,2 )为所求.(ii) ° < x< 2式.,作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得1xsin nx |1°12a°一0f (x)d x 一0xdx 2a°1,f (x)d x其按段光滑,故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得当n 1时,-2-xcosnx| n22 ncosnxdxn£ n ,-xsinnx| nsin nxdx所以解

7、：2f(x) V(ii)、f (x)= x其按段光滑,故可展开为 由系数公式得1 2a°j04当n 1时,(x)d x21n sinnxI)2-n,为所求.°,2作周期延拓的图象如下. ft里叶级数.2 xrOcosnxd42 n ,2xcosnx| 0sin nxd x所以f(x)cosnxsin nxn2, x (°,2 )为所求.f(x) ax x °bx ° x(a b,a °,b °)解：函数f(x) , x ()作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数.由系数公式得11°a° 一

8、 f (x)d x - axdx当n 1时,(b a) 2(b a) f (x) 所以4(a b)n 12设,是以21 c 2 一、,1an f (x)cos nxdx 一c1 c 21bn - f (x)sin nxdx 一 c1. . (b a) bxdx 02,1 cos(2n 1)x 1(2n 1)2(1)n 1sin nx n , x (,)为所求.l函数,证实对任何实数 c,有f (x)cos nxdx,n °,1,2,Lf (x)sin nxd x, n 1,2,L证：由于f(x), sin nx , cosnx都是以2为周期的可积函数,所以令tc+21 c 2,anf

9、 (x)cosnxdx从而 c同理可得f (x)cos nxdx3把函数111f(x)1c+2f (t)cosntdtf (x)cosnxdx1 c 21bn f (x)sin nxdx - f (x)sin nxdx c .一 x °41° x4展开成傅里叶级数,并由它推出(1)1解：函数f(x) , x111, L11 13 17;1 11 1 L7 11 13 17.(,)作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数.由系数公式得1a0一 f (x)d x1 01dx dx 040 4当n 1时,10,1, ccosnxdx cosnxdx 040 41,1

10、f (x)sin(2n故 n 1 2n 1n 2k 1n 2k1)x, x (,0) U (0,)为所求.1113 5 71 111L(2)由 43 5 7 得1111 L12 3 9 15 2111111_ d _ I于是 34 125 7 11 13 17;311111x 1 L取 3 ,那么 425711131731 11111L所以至 57111317.4设函数川满足条件f(x ) 什么特性.解：由于“刈满足条件f(x )f(x),问此函数在f(x)内的傅里叶级数具有所以f(x 2 ) f(x ) f(x),即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得11一o f (t )d t o

11、 f (x)d x 0当n 1时,f (x)cosnxdx2k 12kf (x)sin nxdx2k 1n 2k又 1,cosnxcosnxd x0内的傅里叶级数的特性是a2k0故当f(x ) f(x)时,函数f(x)在 b2k 0.5设函数f(x)满足条件：f(x )f(x),问此函数在,内的傅里叶级数具有什么特性.解：由于f(x)满足条件f(x ) f(x),所以f(x 2 ) f(x ) f(x),即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得1 ,1,2,一 ° f (t)d t 一 ° f (x)d x 一 ° f (x)d x当n 1时,2 一、,一

12、0 f (x)cos nxdx n 2k0n 2k 12一 0 f(x)sin nxdx n 2k0n 2k 1故当f(x ) f(x)时,函数f(x)在 ,内的傅里叶级数的特性是32k 1 .,b2k10.6试证函数系cosnx,n 0,12,L和sinnx, n 1,2,L都是0,上的正交函数系,但 他们合起来的却不是°,上的正交函数系.证：就函数系(1, cosx, cos2x, sin nx,sin nx , cosnx, L ),1,1 dx由于n, . ：0,(cos2 nx 1)d x 一 2 ,cosnx,cos nx cos2 nxd x,-0m,n时,cos(mn

13、)xdx 0cos(mn)xdx所以1, cosx, cos2x,cosnx, L在0,上是正交系.就函数系sin由于n ,x, sin 2x, L , sin nx, L,0(1cos2 nx)d x c2sin nxd x0又 m, n, m1-0 cos(mn时,n)xdxcos(mn)xdx 0所以sin x, sin2x, L , sinnx, L 在0,上是正交系但1,sinx, cosx, sin2x, cos2x,L , sin nx, cosnx, L 不是 0,上的正交系一 1,sinx sin xd x 1 0实因：''0.7求以下函数的傅里叶级数展开式x

14、f(x) ,0x221时,2xsin nx|2n 112nsin nxdx所以解:2nf(x)x .一 cosnx|12n2cosnxdx0n,f(x)sinnx.1 cosx,f(x),1 cosx,(0,2 )为所求.x 作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数.f (x)1 cosx2sin2-|公呜由于所以由系数公式得.2sin-2sindx 二2sin xdx02当n 1时,2 2.x sincosnxdx024 22(4n2 1)x_.sin sin nxd x2.2. x ,sin-sin nxd x02f(x) 所以12cosnx n 1 4n 1时,f (0)

15、f (0)2f(f(x)故2.2 4 .21n 1 4n2-cosnx 1 解：f (x) ax2 bx c, (i) 0,x2 , (ii)(ii)(i)由系数公式得12 /2 卜0 (ax bx1时,4a-2n ,4 ac)d2aS-2b2c2f(x) axbx2aS-4acosnx n4 a 2bsinnx, x (0,2 ) 为所求.由系数公式得1,f (x)d x(ax2bxc)d2 2a32c1时,(1)n(1)n4a-2n ,12b2 axbx1)n4a2-cosnx n1)n2bsinnx, x (,)n为所求.(4) f(x)chx,解：由系数公式得a01,1f(x)dchx

16、dxZsh当n 1时,(1)n 2sh2- nan ( 所以12 n1)n2sh(n2 1)shxsin nx|1-ch xsinnxdxnibn nf (x) chx 故2sh(1)n 1-cosnx 1,)为所求.(5) f(x)shx,解：由系数公式得1a0f (x)d xshxdxan当n 1时,shxcosnxdx(1)n13 sh nbnbn 所以1)1 2nshx(n21)f (x) 故shx1)2nsh(n2 1)sin nxf (x)8求函数1 (3x 122 2),)为所求.12的傅里叶级数展开式并应用它推出f (x) ax2解：由bx4acosnx1 n4 a 2b .s

17、innx, x (0,2 n1cosnx n 1 n(0,2 )2f (0 0) f(2而故由收敛定理得0)f (0 0) f (220)Jcos0 n9设f(x)为上光滑函数,f( )f()"为"幻的傅里叶系数,A ,bn为f(x)的导函数f (x)的傅里叶系数.证实a00, annbn, bnnan (n 1,2,L )证：由于“刈为 由系数公式得1上光滑函数,所以f (附为上的连续函数,故可积.a0(x)d x1f( ) f( )0当n 1时,anf (x)cos nxdx故结论成立.103sup n an证:那么1n .f (x)cos nx|f (x)sin nx

18、d x nbnao证实：假设三角级数2,n3bn、几 U0(x)设Uo (X)所以(an cosnx bnsin nx)n1中的系数烝,6满足关系M ,M为常数,a0那么上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数.2 Un(x) an cosnx bn sin nx n 1,2,L ? ? (X)在R上连续,0, Un(x)R, |Un(x)2Mn2收敛,(X)s(x) 故设ao2s(x)且nan sin nxn an sin nx2Mn2 .nbn cos nx(an cosnx1nan cosnx nbn§15. 2nbncosnx亦在R上连续. n bn cosnxnansi

19、nnx在r上一致收敛.bn sin nx),那么sin nx)在R上连续.以2l为周期的函数的展开一根本内容、以21为周期的函数的傅里叶级数x设f(x)是以2l为周期的函数,作替换F(t)是以2为周期的函数,且f依)在(L D上可积F(t)在(,)上可积.于是其中anan cos nt bn sin ntn 11F (t)cosntdt, bnF (t)sin ntdtF(t)从而f(x):今an cosf(x)n x ,bl.,.n xsin nt sin-p ,cosntn x cosl ,.n x sinl其中anbn1l1lf (x)sin n-xdx ll上式就是以2l为周期的函数f

20、(x)的傅里叶系数.在按段光滑的条件下,亦有f(x 0) f (x 0) a022其只含余弦项,故称为余弦级数.同理,设f(x)是以2l为周期的奇函数,n x n x cos bn sinllf (x)cosnx 奇,f (x)sin nx偶于是bn1 l1lln x1f (x)cosdxn xf (x)sin dxln x0 f (x)sin dxn xan sinn 1l其只含正弦项,OO+ y1求以下周期函数的傅里叶级数展开式4cosx dxao24 222a0t f(x):从而 2故称为 正弦级乳X G、由此可知,函数*要展开为余弦级数必须作偶延拓.的 f(x) x (0,l) 偶延拓

21、f( x) x ( l,0)函数f(x),x (0,l)要展 开为正弦级数必须作奇延拓. 奇延拓%f(x) x (0,l)' f( x) x ( l,0)习题解答2 cosxdx0当n 1时,(1)n 2( 1)n1 24( I) 2(2n 1)(2n 1)(4n1)2 5_bn 一 cosx sin nxd x 02f(x) cosx 故24n 11(1) 2cos2 nxx (,)为所求.n 14n 1(2) f(x) x IM (周期 1);1 1x ,一解：函数f(x) x x,2 2延拓后的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数.1,l因 2,所以由系数公

22、式得112 xdx01a.2 21 x x dx 2 0 x x dx2当n 1时,xsin2n n1 x|.0s1n2n xdx 01c一 xcos2n1x|. cos2n xdx 一 n 0nf (x) 故x一 一sin2n xn 1n,*()为所求.4 f(x) sin x(周期);4 x -,一解：函数f(x) sin X,2 2延拓后的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又 f(x)是偶函数,故其展开式为 余弦级数.,l因 2 ,所以由系数公式得cos2x2cos4x dx 8当n 1时,1 n 120 n 1,n 21 n 28bncosx sin nxd

23、x4311一 f (x)sin x- cos2x-cos4x故828,x(,)为所求.(4) f(x) sgn(cosx)(周期 2 ).解：函数f(x) sgn(cosx), x (,)延拓后的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又 f(x)是偶函数,故其展开式为余弦级数.因l,所以由系数公式得1 ,、,2,、,a0 sgn(cosx)d x - o sgn(cosx)d x当n 1时,ano sgn(cosx)cosnxdx2knbn- n1)2ksgn(cosx)sin nxdxf (x) 故4 sgn(cosx)一(1)1n cos(2n2n 11)xf(x)2

24、求函数解：函数f(x),123的傅里叶级数并讨论其收敛性.x (0,3)延拓后的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又 余弦级数.f(x)是偶函数,故其展开式为32 ,所以由系数公式得2 37 0 f(x)d x31xdx02dx132©x)d x当n 1时, 32n5 cos-3bnf (x)sin nxdxf(x)121 n1 cos n2n32n x cos3,)为所求.将函数f(x)2、在0,上展开成余弦级数.一 f (x)解：函数x © 作偶延拓后的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又f(x)是偶函数,故其展开式为

25、余弦级数.1 2-x2由系数公式得2x dx0 2当n 1时,n 2k 1n 2k4n0bn0f (x)故1 (2n 1)2cos(2n 1)x, x 0,f (x) 将函数xcos-2在0,上展开成正弦级数.f (x)解：函数xC0S2, x 0,作偶延拓后的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又 正弦级数.f(x)是奇函数,故其展开式为由系数公式得an0, n 0,1,2L8n(4n2 1)f (x)故在0,上x 8 ncos- 2sinnx2 n 14n 1为所求.f(x)5把函数1x0x2x 3 2 x 4a01 4-2(x 3)dx 0当n 1时,anf (x

26、)cos在(0, 4)上展开成余弦级数.解：函数x), x (0,4)延拓后的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又 f(x)是偶函数,故其展开式为 余弦级数.因l 4,所以由系数公式得2 41 2-0 f (x)d x - 0 (1 x)d x1 x 0 x 281(2n 1) xf (x)22 cos-L-所以x 3 2 x 4 n1(2n 1)2为所求.26把函数f(x) x 1在(QD上展开成余弦级数,并推出6 1 二 二 L2232解：函数f(x), x1)延拓为以2为周期的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又f(x)是偶函数,故其展

27、开式为余弦级数.因1=,所以由系数公式得223.当n 1时,12 o(x2.1) cosn xd x302 0 f (x)d x 2 0(x 1) dx422n .bn0.2141(x 1) 2cosnx, x 0,1所以3n1n14112.12二二令 x 0 得 3 n 1n ,即 n 1 n 67求以下函数的傅里叶级数展开式(1) f (x) arcsin(sin x).解：函数f(x) 3rcsin(sinx)是以2为周期的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又f(x)是奇函数,故其展开式为正弦级数.由系数公式得an 0, n 0,1,2,L, 、 4f (x)

28、arcsin(sinx)一(2) f (x) arcsin(cosx)(1)nsin(2n 1)x1(2n 1)2, x R解：函数f(x) 3rcsin(cosx)是以2为周期的函数如以下图.y由于f(x)按段光滑,吵口开为傅里叶沙,又余弦级数./、/、,由系数么O2 xa0 - 0 arcsin(cosx)d x 0f(x)是偶函数,故其展开式为当n 1时,0n 2k4-n 2k 1nbn0, n 1,2,Lf (x) arcsin(cosx)41-2 cos(2n 1)xm(2n 1)x R0,-8试问如何把定义在2上的可积函数f(x)延拓到区间内,使他们的傅里叶级数为如下的形式a2 n

29、 1cos(2n 1)x(1) n1；解：(1)先把f(x)延拓至H0,b2nlsin(2n 1)x(2) n1上,方法如下：f (x)0 x 2f(x)余弦级数:, 由系数公式得厂f( x), x再把f(x)延拓到0,2 上,方法如下：f'(x)f (x)f(2 x)其图象如下.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又 f(x)是偶函数,故其展开式为 余弦级数.由系数公式得2a.2 f(x)dx 00 ,1 2rbn f (x)sin nxd x1时,0f (x)cos nx d x n 2k0n 2kf (x)a2n 1 cos(2n 1)x x0,所以n12(2)先把f(

30、x)延拓到I0,上,方法如下.f (x)0 x -2f(x)2f( x) - x_ 2 ;再把f (x)延拓到0,2 上,方法如下.?(x)f (x)0 xf (2 x) x 2其图象如下.n y y f (x)f(x)是偶函数,故其展开式为由于f(x)按段w,渝3认为覆里叶级数,又2a0 0 f (x)d x 01 2 一r tan f (x)cos nxdx 0当n 1时,n 0-o2 f (x)sin nxdx n 2k 10n 2kf (x)b2nlsin(2n 1)x x 0,所以n12 .§15. 3收敛定理的证实一 根本内容一、贝塞尔(Besse.不等式定理1设

31、3;(刈在【,】上可积,那么a02212 , an bn- f (x)d x2 n 1其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.推论1设£(刈在,上可积,那么推论2lim f (x)cos nxd xn设打刈在,上可积,那么0 limnf (x)sin nxd xlimf(x)sin nxdx 0n 0201limf (x)sin nxd x 0n2定理2设以2为周期的函数用在】上可积,那么1t-dtsin n 一f(x t) t22sin2此称为f(x)的傅里叶级数的局部和的积分表达式.二、收敛性定理的证实定理3 (收敛性定理)设以2为周期的函数£(刈在 ,上按段光滑,那么f

32、 (x 0) f (x 0)limccSn(x)0n22定理4如果"刈在,上有有限导数,或有有限的两个单侧导数,那么f(x 0) f(x 0) a.一 - an cosnx bn sin nx22 n 1定理5如果"刈在,按段单调,那么f (x 0) f (x 0)a0an cosnx bn sin nxn 1习题解答1设f(x)以2为周期且具有二阶连续的导函数,证实 f (x)的傅里叶级数在 )上一致收敛于f(x).证:由题目设知f(x)与f(x)是以2为周期的函数,且光滑,f(x)a.(an cosnx1bnsin nx)f (x)1a0一a0(an cosnx1bns

33、in nx)1 ,(x)d x - f( ) f (an1时,f (x)cos nxdx1,一 f (x)cos nx|f (x)sin nxd x nbn于是加bnbn 12 anbn,1一 (an2bn2)(由贝塞尔不等式得n12anbn) 收敛,11n收敛,从而2a0an| |bn收敛,(an cosnx1bnsin nx)在(为 ,上可积函数,)上一致收敛.证实：假设f的傅里叶级数在,上一致收敛于f那么成立贝塞尔(Parseval污式12a0f (x)d x 一 22an1bn2这里即,为f的傅里叶系数. a°mSm an cosnx证：设 2 n1 由于f(x)的傅里叶级数

34、在 所以0,N °,sin nx上一致收敛于f(x)于是,f(x) 0,f(x)N, x ,2f(x) Smf* 2(x)d22anbn1时,f2(x)dx 年m22anbnn 12a.2an n1b：n_ 2f (x)d x3由于贝塞尔等式对于在 结果证实以下各式.上满足收敛定理条件的函数也成立.请应用这个1)2;(3) 90f(x)解：(1)取f(x)? 1sin(2n2n 1由§ 1习题3得,x (,0) U (0,)1由贝塞尔等式得2d x1611(2n 1)2由§ 1习题1 (1)得2即 8 n 1(2n 1)取 f(x) x,xx2 dx(1)n 12

35、n 1 n由贝塞尔等式得212故 6 n 1n.f(x) 2 ( 1)n1n 1sin nx ,、 wf(x),由§ 1习题1 (2)得 21)x4 dx由贝塞尔等式得41cosx ,、,x (,) n(1)n4 22 n故 90n4 .且他们的傅里叶级数在上分别一致4证实：假设f,g均为,上可积函数, 收敛于f和g,那么bn n)- f (x)g(x)d x a0-0(an n2 n 1其中an, bn为f的傅里叶系数,n, n为g的傅里叶系数.、 一、f(x)证：由题设知a02(ancosnx1bn sin nx)g(x)(n cosnxn 1n sin nx)1于是一f (x)

36、g(x)dx ； f(x),g(x)；f (x)cos nxdx1 ,f (x)cos nx|f (x)sinnxd x nbn(f (x), - i (-0an cosnx bn sin nx,而22 n 12an cosnx, n cosnx) an n(bn cosnx, n cosnx) bn n1a0 0 f (x)g(x)d x - n bn n)所以2 n15证实假设f及其导函数f均在,上可积,f(x)dx 0f( ) f(),且成立贝塞尔等式,那么22f (x) dx f(x) dx证：由于 f(x)、f(x)在,上可积,f(x)dx °, f()f(),a0f (x

37、) (an cosnx bn sin nx)设 2 n an一当n 1时,a.f (x)(ancosnx bn sinnx)2 n 1由系数公式得11a0 f (x)d x - f( ) f( )0于是由贝塞尔等式得|2f (x) dx总练习题151试求三角多项式的傅里叶级数展开式.n(A coskx Bk sin kx)k 1是以2为周期的光滑函数,所以可展为比Tn(x)告解：由于 2傅里叶级数,由系数公式得a0(Tn(x),1)(与n(Ak coskx Bk sin kx),1k 1当k 1时,A0n(A coskxk 1Bk sin kx),cos kxA02n(A coskxk 1BkBk sinkx),sin kx ,0故在(2设f 傅里叶系数,、Tn(x) ),A02n(Ak coskx Bk sin kx)k 1的傅里叶级数就是其本身.为,上可积函数, 试证实,当A0 a0,Ak2a0,ak,