工程流体力学3

1、主讲主讲: 冯冯 进进长江大学机械工程学院长江大学机械工程学院 3.1 3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 一、拉格朗日法一、拉格朗日法 拉格朗日法着眼于质点，它以每个运动着拉格朗日法着眼于质点，它以每个运动着的流体质点为研究对象，观察质点的运动轨迹的流体质点为研究对象，观察质点的运动轨迹以及运动参量随时间的变化，综合各质点的运以及运动参量随时间的变化，综合各质点的运动，得到流体的运动规律。在概念上拉格朗日动，得到流体的运动规律。在概念上拉格朗日法直观，但在处理流体运动问题时数学处理较法直观，但在处理流体运动问题时数学处理较复杂。拉格朗日法的数学表示：复杂。拉格朗日法的数学表

2、示： 上式中上式中b1b1、b2b2、b3b3为拉格朗日变数，为拉格朗日变数，是质是质点的标记点的标记。对同一质点而言，对同一质点而言，b1b1、b2b2和和b3b3是不是不变的，也就是在某时刻通过某空间点的质点，变的，也就是在某时刻通过某空间点的质点，而不是其他质点。而不是其他质点。拉格朗日法用坐标分量可表拉格朗日法用坐标分量可表示为：示为： ), 3, 2, 1(tbbbrr ), 3,2, 1(), 3,2, 1(), 3,2, 1(tbbbzztbbbyytbbbxxktbbbzjtbbbyitbbbxr), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(kttbbbzj

3、ttbbbyittbbbxttbbbru), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(), 3, 2, 1( ), 3, 2, 1(kttbbbzjttbbbyittbbbxttbbbra2), 3, 2, 1(22), 3, 2, 1(22), 3, 2, 1(2 2), 3, 2, 1(2速度和加速度为：速度和加速度为： 同理：流体的密度、压强和温度可表示为：同理：流体的密度、压强和温度可表示为： ), 3,2, 1(tbbb), 3,2, 1(tbbbpp ), 3,2, 1(tbbbTT 欧拉法着眼于充满运动流体的空间（这种欧拉法着眼于充满运动流体的空间（这种空间称为流场），以流场上各个

4、固定的空间点空间称为流场），以流场上各个固定的空间点作为考查对象，观察流体质点通过这些固定空作为考查对象，观察流体质点通过这些固定空间点时运动参数的变化规律，而不涉及具体质间点时运动参数的变化规律，而不涉及具体质点的运动过程。因为在某一空间点，此时刻为点的运动过程。因为在某一空间点，此时刻为某个质点所占据，在另一时刻被另一质点占据。某个质点所占据，在另一时刻被另一质点占据。设在某一瞬时，观察到流场中各个空间点上质设在某一瞬时，观察到流场中各个空间点上质点的流速，将这些流速综合在一起就构成了一点的流速，将这些流速综合在一起就构成了一个流速场。个流速场。 欧拉法的数学表示：欧拉法的数学表示： 在用

5、在用u ux x、u uy y、u uz z分别分别表示各表示各坐坐标轴标轴x,y,zx,y,z方方向向上的分量，即：上的分量，即： tzyxuu, tzyxuuxx,tzyxuuyy,tzyxuuzz,ktzyxujtzyxui tzyxuuzyx,同理：流体的密度、压强和温度可表示为：同理：流体的密度、压强和温度可表示为： ),(tzyx),(tzyxpp ),(tzyxTT 流体质点的加速度表示流体质点由空间流体质点的加速度表示流体质点由空间点位置点位置M M（x x、y y、z z、t t），经），经dtdt后运动至相邻后运动至相邻点点MM（x+dx,y+dy,z+dzx+dx,y+d

6、y,z+dz）时的速度变化，根）时的速度变化，根据全微分定义，其据全微分定义，其 x x方向的分量有：方向的分量有：其中：其中： dzzxudyyxudxxxudttxuxdu,dtzuzddtyuyddtxuxdzuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxx故：故：同理有：同理有： zuzyuyxuxtudtduyyyyyyuuuazuzyuyxuxtudtduzzzzzzuuua因此，因此， 在在t t时刻空间点（时刻空间点（x,y,zx,y,z）的加速）的加速度为：度为： xyzxxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzaa ia ja kuuuuuuuitxyzuuuuuuujtx

7、yzuuuuuuuktxyzuutuzuuyuuxuutukujuiuzukujuiuyukujuiuxuktujtuituazyxzyxzzyxyzyxxzyx uutua上式中上式中称为哈密顿算子，在直角坐标下它等于：称为哈密顿算子，在直角坐标下它等于： 在柱坐标下它等于：在柱坐标下它等于：在球坐标下它等于：在球坐标下它等于：kzjyixzrezerer1erererrsin11 哈密顿算子的运算规则是对哈密顿算子哈密顿算子的运算规则是对哈密顿算子左边的量不作微分，而对哈密顿算子右边的量左边的量不作微分，而对哈密顿算子右边的量作微分。作微分。 表示在某一固定空间点上流体质点表示在某一固定空

8、间点上流体质点速度对时间的变化率，也就是在同一地点由于速度对时间的变化率，也就是在同一地点由于速度随时间变化而引起的加速度变化，称为当速度随时间变化而引起的加速度变化，称为当地加速度（局部导数）。地加速度（局部导数）。 表示流体质点表示流体质点经过不同空间位置而引起的加速度变化，称为经过不同空间位置而引起的加速度变化，称为迁移加速度（位变导数）。迁移加速度（位变导数）。tuuu)( 欧拉法表示随体导数的方法对于任何矢欧拉法表示随体导数的方法对于任何矢量和任何标量量和任何标量都成立。例如空间点上流体密都成立。例如空间点上流体密度为标量，密度对时间变化的数学表示为：度为标量，密度对时间变化的数学表

9、示为： gradutdtd1. 1. 拉格朗日法转换为欧拉法拉格朗日法转换为欧拉法 在拉格朗日方法中，对矢径在拉格朗日方法中，对矢径r r作关于时间作关于时间的偏微分，得质点运动速度：的偏微分，得质点运动速度： ktbbbujtbbbuitbbbukttbbbzjttbbbyittbbbxttbbbruzyx), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(), 3, 2, 1( ), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(), 3, 2, 1( ), 3, 2, 1(),(321tbbbxx ),(321tbbbyy ),(321tbbbzz 因为：反解上式三个标量方程得：反解上式三个标量方程得：

10、 ),( 11),( 11trbbtzyxbb),( 32),(22trbbtzyxbb),(33),(33trbbtzyxbbktzyxujtzyxuitzyxukttrbtrbtrbujttrbtrbtrbuittrbtrbtrbuuzyxzyx, ),( 3),( 2),( 1 ),( 3),( 2),( 1 ),( 3),( 2),( 1代入速度表达式得代入速度表达式得 ： 例：设拉格朗日观点给出：例：设拉格朗日观点给出： 式中式中和和对不同的质点取不同的常数。对不同的质点取不同的常数。将此转换到欧拉观点中去，并用两种观点分别将此转换到欧拉观点中去，并用两种观点分别求加速度。求加速度。

11、 tectx11tecty21在欧拉方法中，速度函数：在欧拉方法中，速度函数：首先求解这三个微分方程，得微分方程的三个解：首先求解这三个微分方程，得微分方程的三个解： tzyxudtdxuxx,tzyxudtdyuyy,tzyxudtdzuzz, 用矢径表示其解，可写为：用矢径表示其解，可写为： 当确定研究当确定研究t=tt=t0 0时刻在空间点（时刻在空间点（x x0 0,y,y0 0,z,z0 0）的）的流体质点时，由上式确定流体质点时，由上式确定b b1 1、b b2 2和和b b3 3，得到该，得到该质点的轨迹方程。质点的轨迹方程。),(321tbbbxx ),(321tbbbyy )

12、,(321tbbbzz ), 3,2, 1(tbbbrr 例：设流体运动以欧拉观点给出：例：设流体运动以欧拉观点给出： 式中式中 。 当当t=0t=0时，时，x=0 x=0，y=0y=0，z=0z=0。将此转换到拉格朗日观点中去，并用两种观点将此转换到拉格朗日观点中去，并用两种观点分别求加速度。分别求加速度。 2taxux2tbyuy0, 0ba一、定常与非定常一、定常与非定常 当流场中各点的运动参数不随时间变化时，则称当流场中各点的运动参数不随时间变化时，则称流体流动为稳态流动或定常流动。当流场中各点的流体流动为稳态流动或定常流动。当流场中各点的运动参数随时间变化时，则称流体流动为非稳态流运

13、动参数随时间变化时，则称流体流动为非稳态流动或非定常流动。动或非定常流动。 例例1 1：设拉格朗日观点给出：设拉格朗日观点给出: : 式中拉格朗日数式中拉格朗日数和和对不同的质点取不同的常对不同的质点取不同的常数。判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。数。判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。 tecx11tecy21 例例2 2：设欧拉观点给出：设欧拉观点给出: : 求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。 例例3 3：设欧拉观点给出：设欧拉观点给出: :求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。 22

14、yxcyux22yxcxuyyztuxxztuy0zu 1. 1.迹线迹线 某一流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。某一流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。可见，轨迹的概念是同拉格朗日观点相联系。可见，轨迹的概念是同拉格朗日观点相联系。 例：设拉格朗日观点给出例：设拉格朗日观点给出: : 式中拉格朗日数式中拉格朗日数和和对不同的质点取不对不同的质点取不同的常数。求同的常数。求t=0 t=0 时，通过点（，）时，通过点（，）的质点迹线。的质点迹线。 tectx11tecty21 2. 2.流线流线 对于某一固定时刻，流场中存在这样一条对于某一固定时刻，流场中存在这样一条曲线，其曲线上任意一点的速度与曲线

15、在该点曲线，其曲线上任意一点的速度与曲线在该点的切线方向重合，这样的曲线称为流线。的切线方向重合，这样的曲线称为流线。 流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，给出了不同流体质点的运动方向给出了不同流体质点的运动方向, ,同一时刻的同一时刻的流线互不相交。可见，流线的概念是同欧拉观流线互不相交。可见，流线的概念是同欧拉观点相联系。点相联系。 流线有如下的性质：流线有如下的性质： （1 1）除了在速度为零和无穷大的那些点以）除了在速度为零和无穷大的那些点以外，经过空间一点只有一条流线，即流线不能外，经过空间一点只有一条流线，即流线不能相交，因为在空间每一点只能有一

16、个速度方向；相交，因为在空间每一点只能有一个速度方向； （2 2）流场中每一点都有一条流线通过，所）流场中每一点都有一条流线通过，所有的流线形成流线谱；有的流线形成流线谱； （3 3）稳态流动时流线的形状和位置不随时）稳态流动时流线的形状和位置不随时间变化，并与迹线重合；非稳态流动时流线的间变化，并与迹线重合；非稳态流动时流线的形状和位置是随时间变化的。形状和位置是随时间变化的。 在流线上某点的邻域内，取一旋线长在流线上某点的邻域内，取一旋线长drdr ，根据流线的定义根据流线的定义 , ,即即: : 0rdu0 kdxudyujdzudxuidyudzudzdydxuuukjirduyxxz

17、zyzyx 上式称为流线方程。流线与欧拉概念相上式称为流线方程。流线与欧拉概念相联系。联系。),(),(),(tzyxudtzyxudtzyxudzzyyxx000dxudyudzudxudyudzuyxxzzy 例：设欧拉观点给出例：设欧拉观点给出: : 式中常数式中常数a0a0。求。求t=0 t=0 时的流线族。时的流线族。 解：根据流线方程有：解：根据流线方程有： 2taxux2tayuy22taydytaxdx积分上述方程，得：积分上述方程，得： ctaytaxactaytaxctayataxa22122122lnln1ln1故当故当t=0 t=0 时的流线族为：时的流线族为： 2ac

18、xy 迹线与流线的异同点：迹线与流线的异同点： .概念上不同概念上不同 .不定常时迹线与流线一般不重合，不定常时迹线与流线一般不重合， .定常时二者必然重合。定常时二者必然重合。 例：流体运动由下列欧拉变数下的速度函例：流体运动由下列欧拉变数下的速度函数给出：数给出： （1 1） （2 2） 求流线族并求求流线族并求t=0t=0时过时过m(-1,-1)m(-1,-1)点的流线和迹点的流线和迹线。线。 tyutxuyx,yuxuyx, 1.1.流管流管 流场中作一条不与流线流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，过曲重合的任意封闭曲线，过曲线上的每一点作流线，这些线上的每一点作流线，这些流线所组

19、成的管状表面称为流线所组成的管状表面称为流管。特点：流管内的流体流管。特点：流管内的流体不能穿出流管表面，流管外不能穿出流管表面，流管外的流体不能穿入流管表面。的流体不能穿入流管表面。 2.有效过流截面有效过流截面 作一连续曲面截流管，流管包围的这部分作一连续曲面截流管，流管包围的这部分连续曲面称为过流截面。当过流截面上每一点连续曲面称为过流截面。当过流截面上每一点的法线与过该点流线的切线重合时，则称过流的法线与过该点流线的切线重合时，则称过流截面截面为有效过流为有效过流截截面面。当流线平行时有效过流当流线平行时有效过流断面为平面，否则为曲面。断面为平面，否则为曲面。 3.3.流量流量 流量有

20、流量有体积流量和质量流量之分。体积流量和质量流量之分。通过通过过流过流截面截面的流量由下式计算：的流量由下式计算： 体积流量：体积流量： 质量流量：质量流量： SdsnuQSmdsnuQ 流管上流管上两两过流过流截截面间的质量流量关系：面间的质量流量关系： 由上式可以推论：流管的过流断面不能收缩到由上式可以推论：流管的过流断面不能收缩到零，流管不能在流场内部中断，只能始于或终零，流管不能在流场内部中断，只能始于或终于流场的边界。于流场的边界。 21SSdsnudsnu 在流场中取控制体系统，设控制体系统在流场中取控制体系统，设控制体系统的体积为的体积为 V V，控制体内某点的密度为，控制体内某

21、点的密度为，则控，则控制体内流体的质量：制体内流体的质量：VdvmdvudtddtdvddvdtddvdtddvdtddtdmVVVV根据质量守恒原理，根据质量守恒原理， 。故。故: :要保证上式积分为零，必有：要保证上式积分为零，必有： 上式中，上式中， 称为散度。称为散度。0dtdm0dvudtdV0udtdu1.1.不可压缩流体不可压缩流体 根据定义，质点的密度在运动过程中根据定义，质点的密度在运动过程中不变的流体称为个不可压缩流体。换言之，不变的流体称为个不可压缩流体。换言之，对于不可压缩流体的而言，体积大小不变，对于不可压缩流体的而言，体积大小不变，即即 ： 那么必有那么必有:0dt

22、d0u000zuyuxukujuiukzjyixuzyxzyx 对于可压缩流体，体积大小要发生变化，对于可压缩流体，体积大小要发生变化，即：即： 同样也必须满足同样也必须满足:0dtd0u 2.2.均质流体均质流体 均质流体是指流场中各点的密度都相同，其均质流体是指流场中各点的密度都相同，其数学表示数学表示常数。常数。对均质流体，有对均质流体，有 。 3.3.不可压缩流体均质流体不可压缩流体均质流体 不可压缩均质流体要满足两各条件；即：不可压缩均质流体要满足两各条件；即： （1 1） （2 2） 由这两个条件可以看出，由这两个条件可以看出， 。 00utdtd00t 应该特别指出，不可压缩流体

23、表示每个应该特别指出，不可压缩流体表示每个质点的密度在它运动的全过程中不变，但是这质点的密度在它运动的全过程中不变，但是这个质点的密度和那个质点的密度可以不同，因个质点的密度和那个质点的密度可以不同，因此不可压缩流体的密度不一定处处都是常数。此不可压缩流体的密度不一定处处都是常数。只有既为不可压缩流体同时又是均质流体时，只有既为不可压缩流体同时又是均质流体时，密度才处处时时都是为常数。密度才处处时时都是为常数。 4.流函数流函数 当不可压缩流体为二维流动时，在直角坐当不可压缩流体为二维流动时，在直角坐标下有：标下有： 若存在某标量函数若存在某标量函数，它具有：，它具有： 代入上述散度方程，满足

24、代入上述散度方程，满足, ,故称故称为流函数。为流函数。 0yuxuyxyxuxyu 例例1 1：已知流场中的速度分布：已知流场中的速度分布： 试判断流体是可压缩流体还是不可压缩试判断流体是可压缩流体还是不可压缩流体。流体。为常数cyxcyuyxcxuyx,)1 (2222为常数cyxcxuyxcyuyx,)2(2222 例例2：已知二维流场中的流体为：已知二维流场中的流体为不可压缩不可压缩流体，流体，x方向的方向的速度分量：速度分量： ，其中其中a和和b为常数。当为常数。当y=0时，时，uy=0。求。求y方向的方向的速度分量速度分量uy。 byaxux2 1. 1.流体质点的线应变率流体质点

25、的线应变率 在流场中取一流体微元体（如上图示），在流场中取一流体微元体（如上图示），在直角坐标系中，在直角坐标系中，AB=AB=x x ，BB1=BB1=y y ，BC=BC=z z 。设单元中心点的速度：设单元中心点的速度： 假如：假如： kzujyuixuu0, 0zxuyxuxxu 则则面面BBBB1 1C C1 1C C上的速度有：上的速度有： 侧面侧面AAAA1 1D D1 1D D上的速度有：上的速度有： 在时间在时间 内，微元体沿内，微元体沿X X方向的变形为：方向的变形为：2xxxuxu2xxxuxuttxxxuxL 线应变为：线应变为： 则线应变率则线应变率1 1为：为： 同

26、理流体质点沿同理流体质点沿Y Y和和Z Z方向的线应变率为：方向的线应变率为： txuLxxxxuLtxxtxx)(lim001yuy2zuz3 2.2.流体质点的体积应变率流体质点的体积应变率忽略二阶、三阶无穷小，体积应变为：忽略二阶、三阶无穷小，体积应变为：故体积应变率为：故体积应变率为： zyxzyxzzyyxxLLLVV)()(tzutyutxuVVzyx321zuyuxuzyx用矢量运算表示：用矢量运算表示：3.3.流体质点的角应变率流体质点的角应变率 过质点作平行于过质点作平行于XOYXOY平面截微元体，交控制平面截微元体，交控制体的剖面为体的剖面为EFGHEFGH（如图示），假设

27、（如图示），假设： zzuyyuxxuu0, 0yuzuxuxxx则剪切变形如图则剪切变形如图a a所示，在所示，在X X方向的措切变方向的措切变形为：形为：引起的角度变形引起的角度变形 ：tyyux2tyxu 设设 ，则剪切变形如图，则剪切变形如图b b所示，在所示，在Y Y方向的措切变形为方向的措切变形为 ，引起，引起的角度变形的角度变形 。 当当 时，则在时，则在X X和和Y Y方向引方向引起的变形为图起的变形为图c c所示。设角变形为所示。设角变形为xyxy，则：，则： 0, 0 xuzuyuyyytxxuy2txyu0zuzuyuxuyxyxtyxuxyuxy xyxy对时间的变化率

28、为角应变率对时间的变化率为角应变率3 3，等于：，等于： 同理，过质点中心，分别用平行于同理，过质点中心，分别用平行于yozyoz和和zoxzox平面截控制体，则角应变率有：平面截控制体，则角应变率有： xyuyxu3xzuzxuzyuyzu211.有旋流动有旋流动 ECF=ECF=，GCH=GCH=，CACA为为ECHECH的角平分线，的角平分线，CBCB为为FCGFCG的角平分线。则：的角平分线。则： 则则BCABCA为：为： 4ACH24BCGtyuxuBCAxy212424 两角平分线间的夹角对时间的变化率为控制体两角平分线间的夹角对时间的变化率为控制体绕过绕过C C且平行于且平行于Z Z轴的转动轴的旋转的角速度，轴的转动轴的旋转的角速度，即：即： 同理绕过质点中心平行于同理绕过质点中心平行于X轴的转轴转动轴的转轴转动,其角其角速度速度1有：有： yxuxyu213zyuyzu211绕过质点中平行于绕过质点中平行于Y轴的转动轴的转动,其角速度其角速度2有：有：即：即： xzuzxu212zuyuxuzyxkjiurotu21)