2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案(含解析)

1、2. 2.3向量数乘运算及其几何意义知识点一提出问题问题 1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，贝 Ua+a的长度与|a|的关系怎样？提示：按三角形法则，|a+a| = 2|a|.问题 2：我们知道，x+x+x= 3x,那么a+a+a能否写成 3a呢？提示：可以.问题 3： 3a与a的方向有什么关系？一 3a与a的方向呢？提示：3a与a方向相同 3a与a方向相反.导入新知1向量数乘运算一般地，规定实数 入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a,其长度与方向规定如下：(1) 1 入a| = | 入 |a| ;(2) 入a(az0)的方向当入 0 时，与a方向相同,当入v0 时

2、，与a方向相反.特别地，当 入=0 或a= 0 时，0a= 0 或入 0 = 0.2 向量数乘的运算律设入，卩为实数，则(1) 入(卩a)=(入卩)a;(2) (入+卩)a=入a+卩a；(3) 入(a+b)=入a+ 入b.特别地，(一入)a=(入a)=入(一a)，入(ab)=入a入b.化解疑难从两个角度看数乘向量(1) 代数角度：1理层析教材.新知无师自逋-2 -入是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外， 入a= 0 的条件是 入=0 或a= 0.(2) 几何角度：对于向量的长度而言，-3 -1当|入|1 时，有|入a|a| ,这意味着表示向量a的有向线段在原方向（入1）或反方向（入1）上伸

3、长到|a|的|入|倍；2当 0|入|1 时，有|入a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（0入1）或反方向（一 1入0）上缩短到|a|的|入|倍.知识点二提出问题问题 1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量.问题 2：根据向量的数乘运算，入a与a（入丰0,0）的方向有何关系？提示：相同或相反.问题 3：向量a与入a（入为常数）共线吗？提示：共线.导入新知1.共线向量定理向量a（a0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使b=入a.2 向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数 入，11

4、,12,恒有丿入（1a12b）=入11a 入12b.化解疑难共线向量定理中规定azo的原因（1）若将条件azo去掉，即当a= 0 时，显然a与b共线;若bz0,则不存在实数入，使b=入a；若b= 0，则对任意实数 入，都有b=入a.cm向量的线性运算例 1化简下列各式：(1)3(6a+b) 9a+ gb；21突破顿定考向.考題千变不离其宗-4 -(3)2(5a 4b+c) 3(a 3b+c) 7a.解(1)原式=18a+ 3b 9a 3b= 9a.2 I 3a+ 2b-5 -1 f3、333(2) 原式=厅 2a+3ba b=a+：ba b= 0.22 444(3) 原式=10a 8b+ 2c

5、 3a+ 9b 3c 7a=bc.类题通法向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算， 共线向量可以合并， 即“合并同类项”“提 取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量.活学活用化简下列各式：(1)2(3a 2b) + 3(a+ 5b) - 5(4ba)；1 6【？ ？a+ 8b - la 2b.答案：(1)14a 9b(2) 2a+ 4b例 2如图所示，D, E分别是ABC的边AB AC的中点，M N分别是DE BC的中点, TT 、已知BC=a,BD=b,试用a,1 1CB+BD+DE= a+b+ 尹=-a+b,MJ=MD+DB+BN=1=+DB + BC111=;a

6、b+=a= ab.424类题通法用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的 有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性 运算的反复应用.活学活用在几何图形中用已知向量表示未知向量解由三角形中位线定理，知DE綊 BC1 1 故DE=2BC,即DE= a,T T T CE=CB,MN.-6 -1.如图所示，下列结论正确的是()333313PQ= qa+ qb;PT= jab；PS= qa qb;PR= qa+b.A.B.C.D.答案：C AB与BD有交点B, A,B, D三点共线.2.如图所示,四边

7、形OAD是以向量OA=a,OB=b为邻边的平行四边形.1又BM=3BC3CN=3CD试用a,b表示OM,ON,MN.答案:15OM=T a+b；6 62 1 1ON= 3(a+b) ；MN=ja&b题型三=e1+ 3e2,CD=2e1ej,求证：代B, D三点共线.已知A,B, P三点共线，O为直线外任意一点，若OP=xOA+yOB，求x+y的值.解(1)证明：CBT T T-BD=CDCB=e1 4e2.又AB AB=e1+ 3e2,CD= 2e1 e,=2e1 8e2= 2(e1 4e2),=2BD_ _-4-4-1 1-. .I I-7 -入OB，故x= 1 入，y=入，即x+y

8、= 1.类题通法用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1) 若b=xa(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行.(2) 若b=xa(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若向量T TAB,AP在同一直线上，由向量共线定理可知，必定T T T TAP=入AB，即OPOA=x(/代B, P三点共线，.向量存在实数入，使OBOA), OP =(1 x)OA +-8 -T T T T T TAB=入AC，则AB,AC共线，又AB与AC有公共点A从而A B, C三点共线，这 是证明三点共线的重要方法.活学活用1 .已知ei,e2 是两个不共线的向量，a= 2e

9、i e2,b=kei+e2.若a与b是共线向量，则实 数k的值为_ .答案：22 .如图所示，已知D, E分别为ABC的边AB AC的中点，延长CD到M使DM= CD延 长BE到N使BE=EN求证：M A,N三点共线.证明：D为MC的中点，且D为AB的中点， AB=AM+AC,AM=ABAC=CB.I T T TAN=ACAB=BC.T AM=AN.TM,AN共线且有公共点 A M A N三点共线.4.向量线性运算的应用三等分点.求证：M N , C三点共线.解题流程同理可证明慘补短檢.拉分題一分不丢典例 （12 分）已知?ABCD中 ,AD=a,AB=b,M为AB的中点,N为BD上靠近B的(

10、1)用a,b表示向量V - 9 -通法要注意向量的始点和终点，此点也极易DB, （6 分）NC=NB+BC= 3DB+BC=-（AB-AD）+ 話MC有公共点C,才能说明MNC三点共线.此处极易被忽视而造成解题步骤不完整而失分.活学活用G）用mb表TFME,NCj；-（2）证明M, NtC三点共线，只常证明蔽#Ng即可.（1） W3 = MB+BCjNC= NB +BC-寺55 +貢*0由1）可知盍与走的关濡.规范解答名师批注（1） 四边形ABCD!平行四边形，BC=AD=a.（1 分）- M为AB的中点，MB= 2AB= 1b,平行四边形的对边平行且相等，且其对边可表示两相等向量，这在线性运

11、算中经常用到-MC=MB+BC=为+a.（4 分）先将MC用平行四边形中的有关有向线段/N为BD上靠近B的三等分点，NB=13表示，然后再用向量表示这是解决此类问题的出错.131 2 1=3（ba） +a=at3b（8 分）证明：由知NC2=3MC, （10 分）将向量NB转化为 1（7BAD）是解决此题的难点，很多同学因不会转化而无法解题 M N, C 三点共线.（12 分）在证出n 眾后，只有再说明租与MC - MB+BC-* NC-?3+E NC =|礦亠MN匚三 换蜿+-10 -如图，已知OCBK点A是BC的中点, 交于点E,设OA=a,OB=b.(1) 用a,b表示向量OC,DC；(

12、2) 若OE=入OA，求入的值.答案：(1)OC= 2ab；3随堂即时演练1.设a是非零向量，入是非零实数，则下列结论中正确的是()A.a与入a的方向相同B.a与一入a的方向相反C. a与入2a的方向相同D. | 入a| =入 |a|答案：Ca-2bC. ba答案：Ba= 2e,b= 2e；a=eie2,b= 2ei+ 2e2； 2 1a=4e1e2,b= 8 e;510a=ei+e2,b= 2ei 2e2答案：4.已知向量a,b是两个不共线的向量，且向量m 3b与a+ (2 b共线，则实数m的值为答案：1 或 35.如图所示，已知？ABCD勺边AL=e2,试用e1,e2表示BC,CD.点D是

13、将OB分成 2 : 1 的一个内分点，DC和OAIU1扈剧自主演练、百炼方成钢A. 2a-bB.2b-aa-b3 .下列向量中a,b共线的有(填序号).CD的中点分别为K, L,且-11 -课时达标检测42答案：BC= e2 e1；423ei+-12 -1A.3B.15C.2 D. 3答案：A5.如图，设D, E,=2BD,CE= 2EA,A. 反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直答案：A、选择题1.若a=b+c,化简 3(a+ 2b) 2(3b+c) 2(a+b)=()A. aB 一bC. c答案：AD .以上都不对2.已知向量a,b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能

14、使a,b共线的是12a 3b= 4e且a+ 2b=- 2e；2存在相异实数入，使入a卩b= 0;3xa+yb= 0（其中实数4已知梯形ABCD其中A.B .C.D .答案：A3.如图，向量OA,OB,OC的终点在同一直线上,设OA=p,OB=q,OC=r,则下列等式中成立的是13A.r=尹+尹31C. r= 2P刃B .r= p+ 2qD .r= q+ 2p答案：A4 .在ABC中，点P是AB上CP2 1T=3CA+ 3CB，又AP=tAB，贝 Ut的值为F分别是ABC的三边BC CAAB上的点，且-4T T T Tx,y满足x+y= 0)；且AC= 3CB,( )cAP-13 -二、填空题6

15、.如图所示，在？ABCDhAB=a,AD=b,AN=3NC中点，贝UMN*(用a,b表示).答案：1(b-a)7 .在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD= 2DB,CD=gCA+入CB，则小答案：38.已知两个不共线向量ei,e2，且AB=ei+入e2,BC= 3ei+ 4e2,CD= 2ei 7 氏，若AB, D三点共线，则 入的值为答案：-3三、解答题9 如图，四边形ABCD1一个等腰梯形，AB/ DC M N分别是DC AB的中点，已知AB=a,AD=b,DC=c，试用a,b,c表示BC,MN,T TADN + CN.BC = BA + AD + DC = a+b+c.* TT T

16、T/ MN = MD + DA + AN , MN = MC + CB + BN , * T T T IT 2MN = MD + MC + DA + CB + AN + BN=AD BC =b(a+b+c)B解:=a2bc.MN= ab c.2 2T T T T T T TDN+CN=DM+MN+CM+MN= 2MN=a2bc.10.设O是厶ABC内部一点，且OA+OC= 3OB,求厶AOBWAOC勺面积之比.AT T T解：如图，由平行四边形法则，知OA+OC=OD,其中E为AC的中点.T T TOC= 2OE= 3OB.OE|.所以OA+所以OB=-3OE,|OB|=21-14 -15 -设点A到BD的距离为h,则A。