微积分学基本定理

1、5 微积分学基本定理 一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理, 并用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法. 三、泰勒公式的积分型余项 二、换元积分法与分部积分法一、变限积分与原函数的存在性,fa, bxa,bfa, x设在上可积,则在上设在上可积,则在上 类似称类似称( )( )dbxxf tt 为为变下限变下限的定积分的定积分.( )( )d , ,xaxf ttxa b 为为变上限变上限的定积分的定积分。.可可积积称称注注：变限积分的本质是函数变限积分的本质是函数。定理定理9.9 ( 变上限定积分的变上限定积分的连续性连续性

2、),fa,b若在上可积若在上可积( )( )d ,xaxf tta b 则在则在,bax 证证,baxx 若若则则.上连续上连续( )d( )dxxxaaf ttf tt .d)(xxxttf ,fa, b因在上有界因在上有界,|( )|, , .Mf txa b故故 于是于是|( )d| |,xxxf ttx 从从而而由由 x 的任意性的任意性, , f 在在 a, b 上上连续连续. .0lim 0.x 定理定理9.10（微积分学基本定理（微积分学基本定理) )可微性可微性若若 f 在在 a, b 上连续上连续, ,( )( )d , xaxf tta b 则则在在上处处可导上处处可导,

3、,且且d( )( )d( ), , .dxaxf ttf xxa bx 证证 ,0, ,xa bxxxa b 当当且且时时1( )dxxxf ttxx ),(xxf 01. 由于由于 f 在在 x 处连续，因此处连续，因此0( )lim( )( ).xxf xxf x注注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数续函数必存在原函数”这个重要结论这个重要结论. .乎不相干的概念之间的内在联系乎不相干的概念之间的内在联系, , 也证明了也证明了“连连注注2 由于由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数的任意两个原函数只能相差一个常数,( )

4、( )d.xaF xf ttC( );xaF aCxb用代入,得再用代入,则得用代入,得再用代入,则得( )d( )( ).baf ttF bF a所以当所以当 f 为连续函数时为连续函数时, 它的任一原函数它的任一原函数 F 必为必为解解: :Ex1Ex120arcta.nxdt dt求求22200arctanarctanarctanxxdt dtt dtdxx dxEx2Ex222ln(1).xxtdt求求的导数的导数解解: :22ln(1)xxtdt2222ln1() ()ln1() ()xxxx412 ln(1)ln(1)2xxxx解解: :Ex3Ex32200coslimsinxxt

5、 dtxx求求222200200coscoslimlim(sin)sinxxxxt dtt dtxxxxx04002 coslim12xxxx证证: :Ex4Ex42( )()( ),xaxxtf t dt设设22( )(2) ( )xaxxxttf t dt证明：证明：( )2() ( ),xaxxt f t dt22( )2( )( )xxxaaaxf t dtxtf t dtt f t dt22( )2( )( )2( )( )( )xaxaxxf t dtx f xtf t dtx xf xx f x2( )( )2( )( )xxxxaaaaxf t dttf t dtxf t dt

6、tf t dt2( )( )2() ( )xxaaxf ttf tdtxt f t dt证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF的单调区间。的单调区间。Ex6 求函数求函数20( )1xtf xetdt解解: :2( )1 ,xfxexf(x)在在(-(-,+ )上连续，可导，其导数为上连续

7、，可导，其导数为故在故在(-，1) 上上f(x)0，故，故f(x) ;在在(1，+) 上上f(x)0，故，故f(x) .Ex7Ex7 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则. .证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf, 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 令令求求f(x).Ex

8、9Ex9设设f(x)不是常数，且不是常数，且20( )1( )xf xtf t dt解解: :2 ( )( )1( )f x fxxf x上式两边关于上式两边关于x求导，得求导，得因因f(x)不恒为不恒为0，故，故1( )1 ,2fxx211( )(1)1(1)24f xxdxxC020(0)(1) ( )0(0)0ftf t dtf从而从而14C 又又代入代入(1)(1)式，求得式，求得于是于是22112( )1444xxf xx解解: :20( )ln(1),tg tudu设设则则0( )( ).xf xg t dt20( )( )ln(1)xfxg xudu2( )( )ln(1),fx

9、g xx所以所以(1)ln 2f 求求f”(1).Ex10Ex10 设设200( )ln(1),xtf xudu dt 又而又而故故定理定理9.11( (积分第二中值定理积分第二中值定理) ) 设设 f 在在a, b上可积上可积. .(i) 若函数若函数 g 在在 a, b 上单调减上单调减, ,且且, 0)( xg则存则存 ,a b 在使在使.d)()(d)()( abaxxfagxxgxf(ii) 若函数若函数 g 在在 a, b 上单调增上单调增, , 且且, 0)( xg则存则存 ,a b 在在使使( ) ( )d( )( )d .bbaf x g xxg bf xx 证证 这里只证这

10、里只证 (i), 类似可证类似可证 (ii). 证明分以下五步证明分以下五步: :(1) 对任意分割对任意分割 T：,10bxxxan ( ) ( )dbaIf x g xx11( ) ( )diinxxif x g xx111( ) ( )()diinxixif xg xg xx.21II 111()( )diinxixig xf xx(2)|( )|, , ,f xL xa b故故因因1111|( )( )()diinxixiIf xg xg xx111|( )| | ( )()|diinxixif xg xg xx 1.ngiiiLx 01,:,ngT axxxb因可积 故使因可积 故使

11、1ngiiixL 1|.I 2111()()()niiiiIg xF xF x010()()()g xF xF x)()()(11 nnnxFxFxg(3)( )( )d ,xaF xf tt设设则则101() ()()F xg xg x)()()()()(1121 nnnnnxgxFxgxgxF. )()()()()(1111niniiixgbFxgxgxF11,()0,()()0.niigg xg xg x由对的假设记由对的假设记( , )min ( ) ,xa bmF x( , )max ( ) ,xa bMF x12111 ()()()( ),niiniIMg xg xMg xMg a

12、则则12111 ()()()( ),niiniImg xg xmg xmg a).()(2aMgIamg 于是于是(4) 综合综合 (2), (3), 得到得到12( )( ).mg aIIMg a0,( )( ).mg aIMg a 令便得令便得(5)( )0,( ) ( )d0,bag aIf x g xx若则此时任取若则此时任取 ,a b 满足满足( ) ( )d( )( )d .baaf x g xxg af xx ( )0,g a若则若则.)(MagIm( )( )dxaF xf tt由由( )( )d,( )aIFf ttg a 使使存在存在,ba 的连续性,的连续性,( ) (

13、)d( )( )d .baaf x g xxg af xx 即即 , ,a b 则存在使则存在使( ) ( )d( )( )d( )( )d .bbaaf x g xxg af xxg bf xx 推论推论( ) , ( ) , f xa bg xa b设在上可积,在上单调,设在上可积,在上单调,证证 若若 g 为单调递减函数，为单调递减函数，( )( )( ),h xg xg b令令则则 h 非负、单调减非负、单调减, ,由定理由定理 9.11(i)， ,a b 使使( ) ( )d( )( )dbaaf x h xxh af xx ( )( )( )d .ag ag bf xx 因此因此(

14、 ) ( )d( )( )dbbaaf x g xxg bf xx ( )( )( )d ,ag ag bf xx 即得即得( ) ( )dbaf x g xx( )( )d( )( )d( )( )dbaaag af xxg bf xxg bf xx( )( )d( )( )d .bag af xxg bf xx 二、 换元积分法与分部积分法( ),( ),( ), ,ab atb t 则则( )d( ( )( )d .baf xxfttt ( ( )( )d( ( )( )( )d .bbaaftttFtF xf xx 证证( )( ) , F xf xa b设设是是在在上上的的一一个个原

15、原函函数数, ,则则( ) ,t 连续,在上连续可微,且连续,在上连续可微,且定理定理9.12（定积分换元积分法）（定积分换元积分法）( ) , f xa b若在上若在上的一个原函数的一个原函数. . 因此因此( ( )( ( )( )Ftftt是是注注 与不定积分不同之处与不定积分不同之处: : 定积分换元后不一定要定积分换元后不一定要例例1202d.1x xx求求解解21222222 1 20020d1d(1)12(1)22(1)1x xxxxx. 15 （不变元（不变元, ,不变限）不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限. .保留原积

16、分变量，因此不必改变积分限保留原积分变量，因此不必改变积分限; ;用第二换用第二换用用原变量代回原变量代回. .一般说来，用第一换元积分法时，一般说来，用第一换元积分法时，例例2402d .21xxx求求解解2121, dd ,22ttxxxt t x设设则则23;01,43.2txtxt时时于是时时于是4320121d(3)d221xxttx3311(3 )23tt1271(9)(3)233.322（变元（变元, ,变限）变限）例例3350sinsind .xx x求求解解350sinsindxx x320sin|cos|dxxx3322202sincos dsin( cos )dxx xx

17、xx3322202sind(sin )sind(sin )xxxx552220222sinsin55xx224().555 （必须注意偶次根式的非负性）（必须注意偶次根式的非负性）例例4120ln(1)d .1xxx求求解解2dtan ,d.1xxttx设设则则, 00 xt时时当当1,00tan1,44txtt时时且且当当时时, ,于于是是14200ln(1)dln(1tan )d1xxttx40cossinlndcostttt402cos()4lndcosttt444000ln2dlncos()dlncos d .4ttttt,dd ,4utut 设设则则0,4tu时时4t 时时0404l

18、ncos()dlncos ( d )4ttuu40lncos d .u u 因此因此, ,14200ln(1)dln2d1xxtxln2.8 0,u于是于是 Ex112204x dx求求解解: :2sin ,xt设设2222200042cos2cos4cosx dxttdttdt22002(1cos2 )(2sin2 )t dtttEx12ln201xedx求求解解: :1,xte设设则则222ln(1),1txtdxdttln211220002112111xtedxtdtdttt102arctan2(1)4tt证证00( )( )( ),aaaaf x dxf x dxf x dx0000(

19、 )()()()aaaaf x dxft dtft dtfx dx 而而02( ),( )( )0,( )aaaf x dxf xf x dxf x若偶若奇()( ),fxf x00( )()( )aaaaf x dxfx dxf x dx02( );af x dx()( ),fxf x 00( )()( )0aaaaf x dxfx dxf x dxEx144342212222sincos,(sincos),1xIxdxIxx dxx设设4422202cos2cos0Ixdxxdx32232(sincos ),Ixxx dx比较比较I1，I2，I3的大小。的大小。解解: :43322sinc

20、os, sin,sin1xxxxxx注意注意是奇函数，是奇函数，0 ,24cos,cosxx是偶函数，且在是偶函数，且在上上cosx0,因此因此I1=0，2302cos0Ixdx 所以所以I3I1I2。奇函数奇函数Ex15 Ex15 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积1)( )( );b Tba Taf x dxf x dx函数，证明：函数，证明：( )()( )( )b

21、Tbbba Taaaf x dxf uT duf u duf x dx()( )f uTf u证证: :,xuT1) 1) 作换元作换元且由于且由于可得可得由由1)1)知知,2)2)所以所以Ex16(,) 设设f(x)在在上连续，且是周期为上连续，且是周期为T的周期的周期02)( )( ).a TTaf x dxf x dx00( )( )( )( )a TTa TaaTf x dxf x dxf x dxf x dx00( )( )( )a TaTaf x dxf x dxf x dx 000( )( )( )( )a TTaaaf x dxf x dxf x dxf x dx0( )Tf

22、x dx2200sincos;nnxdxxdx证明：证明：0202sinsin ()2nnxdxt dt sin()cos2tt证证: :,2xt令令利用公式利用公式可得可得Ex172200coscosnntdtxdxEx18证证（1）设设2xt,dxdt 20(sin )fx dx20sin2ftdt 20(cos )ft dt20(cos );fx dx（2）设设0() (sin )t ft dtxt,dxdt 0(sin )xfx dx0() sin()t ft dt 0(sin )ft dt0(sin )tft dt0(sin )fx dx0(sin )xfx dx00(sin )(s

23、in ).2xfx dxfx dx20sin1 cosxxdxx20sin21 cosxdxx201(cos )21 cosdxx 0arctan(cos )2x 2.4()244 积分的分部积分公式：积分的分部积分公式：( ) ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx证证 因为因为 uv 是是vuvu 在在 a, b 上的一个原函数上的一个原函数, ,( ( ) ( ) dbau x v xx( ) ( ).bau x v x 移项后则得移项后则得所以所以( ) ( )d( ) ( )dbbaau x v xxu x v xx( )

24、 ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx定理定理9.13（定积分分部积分法）（定积分分部积分法）若若 u( (x),),v( (x) )为为 a, b 上的连续可微函数上的连续可微函数, ,则有定则有定例例5120arcsind .x x求求解解2darcsin ,d, dd ,1xux vxuvxx设则设则 111 2220002darcsindarcsin1x xxxxxx112222011(1)d(1)262xx 1 220112x31.122例例620sind .nx x求求解解20sindnnJx x1222200sinc

25、os(1)sincosdnnxxnxxx 22200(1)sind(1)sindnnnx xnx x.)1()1(2nnJnJn于是于是21,2 .nnnJJnn 200d,2Jx210sin d1,Jx x221231(21)!,22222(2)!2mmmmJmmm 212222(2)!1,21213(21)!mmmmJmmm 1, 2,.m 其中其中解解: :000( )( )( )f x dxxf xxdf x0( )( )fxfx dx由于由于sinsin( )0,( )txfdtfxtx故有故有00sin( )0 xf x dxxdxxEx19sin( ),xtf xdtt设设求求

26、0( ).f x dx0cos2x 0sin xdx Ex20Ex20 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102

27、cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf若若 u(x), ,v(x) 在在 a, b 上有上有 (n+1) 阶连续导函数阶连续导函数, ,则则(1)( )( )dbnau x vxx( )(1)( )( )( )( )nnu x vxu x vx1(1)( 1)( ) ( )d .bnnaux v xx 三、泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式由此可得以下带积分型余项的泰勒公式. .( )( 1)( ) ( ) bnnaux v x ( )( )( ),nnf xP xRx0(1)1( )( )() d .!xnnnxRxftxttn00(),( )() ,( )( ),nxU xu txtv tf ttx证证 设在设在阶连续导数阶连续导数, , 则则( )( ),nPxf xn为为的的阶阶泰泰勒勒多多项项式式 余余项项为为其中其中,x与之间与之间则则定理定理9.1400( )()1f xxU xn 设在的某邻域内有设在的某邻域内有.d)(!1)(0)1(xxnnnttxtfnxR其中其中注注 由推广的积分第一中值定理由推广的积分第一中值定理, ,可得拉格朗日型可得拉格朗日型000!( )!()()()n f xnf xfxxx ( )00()() !( ),!nnnfxxxn Rxn