电磁场与电磁波ch3-1_复矢量麦克斯韦方程

1、第三章第三章 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 3.1 3.2 3.3 3.4主题主题：1、微分形式微分形式的麦克斯韦方程、的麦克斯韦方程、复矢量形式复矢量形式的麦克斯韦方程的麦克斯韦方程 2、连续方程、连续方程 3、物质的本构关系、物质的本构关系积分形式的麦克斯韦方程组微分形式的麦克斯韦方程组根据矢量场的斯托克斯定理 dlSA dlAS ddlSSt BE dlESS ddlSStDH dlHSJS麦克斯韦方程中两个旋度方程可写为 t BEt DJH由上两式可得 dSVdVASA dvSVVdVdVDSD d0SVdVBSBV D0 B同样根据矢量场的散度定理 麦克斯韦方程组中两个散度方程可写成由此

2、得到这就是微分形式的麦克斯韦方程组。 积分形式的麦克斯韦方程组反映电磁运动在某一局部区域的平均性质。而微分形式的麦克斯韦方程反映场在空间每一点的性质，它是积分形式的麦克斯韦方程当积分域缩小到一个点的极限。 我们对电磁问题的分析一般都从微分形式的麦克斯韦方程出发。从麦克斯韦方程组能看出什么？麦克斯韦方程组中两个旋度方程表示变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场。麦克斯韦方程组中两个散度方程，一个表示磁通的连续性，即磁力线既没有起始点也没有终点。这意味着空间不存在自由磁荷，或者说在人类研究所能达到的空间区域中至今还没有发现单独的磁荷存在。另一个表明电场是有源的。时变场中电场的散度和旋度都不为零，所

3、以电力线起始于正电荷时变场中电场的散度和旋度都不为零，所以电力线起始于正电荷而终止于负电荷。而终止于负电荷。磁场的散度恒为零，而旋度不为零磁场的散度恒为零，而旋度不为零，所以磁力，所以磁力线是与电流交链的闭合曲线，并且磁力线与电力线两者还互相交线是与电流交链的闭合曲线，并且磁力线与电力线两者还互相交链。在远离场源的无源区域中，电场和磁场的散度都为零，这时链。在远离场源的无源区域中，电场和磁场的散度都为零，这时磁力线和电力线将自行闭合，相互交链，在空间形成电磁波。磁力线和电力线将自行闭合，相互交链，在空间形成电磁波。t BE t DJHV D 0 Btjezyxtzyx),(Re),(EE),(

4、),(),(),(000zyxEzyxEzyxEzyxzyxzyxEtjezyxtzyx),(Re),(BBtjezyxtzyx),(Re),(DDtjezyxtzyx),(Re),(HH时谐场量时谐场量E、D、B、H、J与与 的复量表示tjezyxjtzyxt),(Re),(BB),(),(zyxjtzyxtBB),(),(tzyxttzyxBEtjtjezyxjezyx),(Re),(ReBE引入E、B的复矢量后，麦克斯韦方程因为算符只对空间求导数，所以运算与取实部运算Re可调换次序，即tjtjezyxjezyx),(Re),(ReBEt BE),(),(zyxjzyxBE所以时谐电磁场量

5、用复矢量表示时，麦克斯韦方程表示为),(),(),(zyxzyxjzyxJDH),(),(zyxzyxv D0),(zyxBtjvvezyxtzyx),(Re),(tjezyxtzyx),(Re),(JJ同理，麦克斯韦方程其它三个可表示为式中这就是时谐场的麦克斯韦方程。 rHrErHrE*Re21,tt时谐矢量引入复矢量表示后，两时谐矢量叉积的时间平均值时谐矢量引入复矢量表示后，两时谐矢量叉积的时间平均值计算也可简化为计算也可简化为取实部运算取实部运算。),(),(zyxjzyxBE时谐场的麦克斯韦方程电流连续性原理0)(DJt而根据式D = v，所以上式成为0tvJ这是关于电流和电荷的连续方

6、程。tvJ如果把上式左边第二项移到等式右边其物理意义就是流出体积元的电流等于体积元内电荷随时间的减少率。J(x,y,z,t)和v(x,y,z,t)随时间作简谐变化时，引入与J(x,y,z,t)对应的复矢量J(x,y,z) 以及与v(x,y,z,t)对应的复数v(x,y,z)，则有zyxjzyxv, J这就是时谐场的电荷守恒定律麦克斯韦方程组中有几个是独立的？t BE0BBEtt0 Bt BE对 取散度，因为旋度的散度等于零，故得到所以包含在 中。t DJH0DJDJHtttvJ对 取散度已得到 如果把电荷与电流的连续方程作为一个基本方程tvJv D那末将上式与 比较便得到 所以 也不是一个独立

7、的方程。vD归纳起来麦克斯韦方程组中两个散度方程包含在两个旋度方程以及电流与电荷的连续方程中。所以如果把电流与电荷的连续方程作为基本方程，麦克斯韦方程组中只有两个旋度方程是独立的。麦克斯韦方程+物质本构关系=一组自洽方程两个独立的旋度方程以及电流与电荷的连续方程共包含两个独立的旋度方程以及电流与电荷的连续方程共包含E、D、B、H，J五个五个矢量和矢量和一个一个标量标量，每个矢量又有三个分量，所以这三个独立的，每个矢量又有三个分量，所以这三个独立的方程共有方程共有16个独立的标量场分量，而这三个独立的方程总共只包含个独立的标量场分量，而这三个独立的方程总共只包含7个个独立的标量方程，所以仅从麦克

8、斯韦方程以及电流与电荷的连续方程独立的标量方程，所以仅从麦克斯韦方程以及电流与电荷的连续方程出发还不足以解出出发还不足以解出16个独立的标量场分量。个独立的标量场分量。我们还需要另外我们还需要另外九九个标量场方程，这就是第一章提到的由介质特性决个标量场方程，这就是第一章提到的由介质特性决定的定的三三个方程个方程叫做叫做物质的本构关系物质的本构关系，每个方程可分解为三个标量方程，共有九个标，每个方程可分解为三个标量方程，共有九个标量方程。它们作为辅助方程与麦克斯韦方程组一起构成一组自洽的方量方程。它们作为辅助方程与麦克斯韦方程组一起构成一组自洽的方程。程。EDHBEJctBE tDJH tvJ物

9、质可以按物质可以按 、 、 进行分类进行分类线性和非线性：线性和非线性： 、 、 与与E、B的强度无关，就是的强度无关，就是线性线性介质，否则就介质，否则就是非线性介质。是非线性介质。均匀和非均匀：均匀和非均匀： 、 、 与空间坐标无关，就是与空间坐标无关，就是均匀均匀介质，否则就是不介质，否则就是不均匀介质。均匀介质。各向同性和各向异性：各向同性和各向异性： 、 、 与电磁波在空间传播的方向性无关，叫做与电磁波在空间传播的方向性无关，叫做各向各向同性同性介质，否则就是各向异性介质。介质，否则就是各向异性介质。线性、均匀、各向同性介质叫做简单介质线性、均匀、各向同性介质叫做简单介质。物质可以按

10、物质可以按 、 、 进行分类进行分类色散和非色散：色散和非色散： 、 、 与频率无关叫与频率无关叫非色散介质非色散介质，否则就是，否则就是色散介质色散介质。色散介质一定有损耗，有损耗的介质一定色散。色散介质一定有损耗，有损耗的介质一定色散。 0的介质有损耗，可用的介质有损耗，可用复介电系数复介电系数的介质表示。的介质表示。当当 、 为复数时，其虚部表示介质损耗。为复数时，其虚部表示介质损耗。完纯介质：完纯介质： = 0的介质的介质完纯导体：完纯导体： = 的介质的介质用麦克斯韦方程求解电磁问题时，首先要把所研究场占有空间的介用麦克斯韦方程求解电磁问题时，首先要把所研究场占有空间的介质特性描述出来。质特性描述出来。 、 、 是描述介质特性的量。这就是说，是描述介质特性的量。这就是说，只有只有在所研究空间在所研究空间 、 、 的具体表达式