空间向量与立体几何知识点与例题

1、uuuOBuurUUUr v uurA uuuuuu rr uuurOAABa b ;BAOAOB a b;OPa(R)空间向量与立体几何知方法总结知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示-同向等长的有向线段表示同一或相等的向量（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）运算律：加法交换律：abba加法结合律：（a b） c a （b c）数乘分配律：（a b） a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量（1 ）如果表示空间向量的有

2、向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行 向量，a平行于b，记作a / b。（2） 共线向量定理：空间任意两个向量 a、b （ b工0 ），a/ b存在实数入使a = Ab（3）三点共线：A、B、C三点共线<=> AB AC<=> OC xOA yOB（其中x y 1）（4）与a共线的单位向量为a4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数x, y使 r r rp xa yb。 也（3）四点共面：若A、B、C

3、、P四点共面<=> AP xAB yAC<=> OP xOA yOB zOC（其中 x y z 1）r J rr5. 空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有rr r r序实数组x, y,z，使pxaybzc。r r rr r rr r若三向量a，b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,代b,c是不共面的四点，则对空间任一点 p，都存在唯一的三个有序实数 x, y, z， uuuuuuuuuuuur使 OP xOA yOB z

4、OC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系o xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组（X, y,z）,使1tOA Xi yi Zk，有序实数组（x,y,z）叫作向量 A在空间直角坐标系 O xyz中的坐标，记作A（x, y, z）， x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A（x,y,z ）关于x轴的的对称点为（x,-y,-z）,关于xoy平面的对称点为（x,y,-z）.即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为（0,y,0）,在平面yOz中的点 设为（0,y,z）r r r（2）若空间的一个基底的三个基向量互相

5、垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用i, j, k表= + =*示。空间中任一向量a xi y j zk = （x,y,z）（3 ）空间向量的直角坐标运算律：r ra b 佝 t1,a2 b2,a3d），ra （ B, a?, as）（ R），R），a/b(ai,a2,a3)，b (Ebb)，则(aiaib, a26，a3a2b2 a3b3，bi,a2b2,a3bs(a b 叭a3b3 0。uuu若 AG,%,/），B（X2,y2,Z2），则 AB（x?xi, y?yi,z?zj。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若A（Xi,

6、yi,zi），B(X2,y2,zJ，AP PB，则点P坐标为= 2）。推导：设P1 1(x,y,z )则(XXi,yy,z zi)(X2 x,y2y,Z2 z),显然，当XiX2yiy2ZiZ2)2P为AB中点时，P（ 2'2ABC中，A （xi,yzi）弋区，y2,Z2）,C（X3, 丫彳乙），坐标为P(XiX2X3 yiy2y3 乙zz32AABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。APAB AC.（AB AC）（单位向量）AC外心P:外接圆的圆心，中垂线的交点。P.PBPC垂心P：高的交点：PA PB PA PC PB重心P：中线的交点，三等分点（中位线比） APPC

7、（移项，内积为o，贝U垂直）1-（AB AC）3中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若a （耳盘代），b 则|a | a a 'a122 2a2a3(bdbO，rr-，|b|.b b（5）夹角公式：cosy b a b|a| |b| y2 2a2、bi2 b22 b32a2b2 a3b3 a" b22 b32。AABC中AB? AC 0 <=>A 为锐角AB ? AC 0 <=>A 为钝角，钝角A(6)两点间的距离公式：若 A(Xi, yi,Zi) , B(X2,y2,Z2),uuu/nunrI222则 |AB| ，AB, (X2 Xi)(y

8、2 yi) (Z2 Zi),或 dA,B.(X2 Xi)2 (y2 yi)2(z2 Zi)27.空间向量的数量积。ruuu（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点o,作oar uuu ra, OB b1 ?则 AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,b,显然有a,b b,a ；若 a,b uuu（2）向量的模：设OA，则称a与b互相垂直，记作：a b。2 ruurra，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作:|a|。r bra,叫做a,b的数量积，记作a b,（4）空间向量数量积的性质:rara2ra,2.rerrera(5) 空间向量数量积

9、运算律：a b b a （交换律）（分配律）(ar) b (Or b)a ( a (b c) a ba c不满足乘法结合率：（a b）c a（b c）二.空间向量与立体几何（高考答题必考）1 线线平行两线的方向向量平行1- 1线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行 两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2- 1线面垂直 线与面的法向量平行2- 2面面垂直 两面的法向量垂直3线线夹角两条异面直线所成的角：1、 定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点 O作直线/ab'/b，则a，与X所夹的锐角或直 角叫做a与b所成的角.0 一2、范围：两异面直线所成

10、角B的取值范围是2Ar rCOS |cos | pTTbl3、向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为，则有冋冃4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等， 当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.3- 2线面夹角0°,90°:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP 与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； 再求其余角，即是线面的夹 0 角.sin cos AP,n ,23- 3面面夹角（二面角）0°,180°:（ 1 ）若AB、CD分别是二面角1的两个面内

11、与棱Iuuu uulu垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 AB与CD的夹角（如图（a）所示）.LT UULT UU（2 ）设ni、阳是二面角1的两个角a、B的法向量，则向量ni与比的夹角（或其补角）就是若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量ni,n2的夹角；法向量同进同出，贝面角等于法向量的夹角的补角 coscos nn2面角的平面角的大小（如图（b）所示）4点面距离h如图（a）所示，BO丄平面a，垂足为0，则点B到平面a的距离就是线段BO的长度.若AB是平面a的任一条斜线段,则在Rt经0A中,UUUB0UUU BAcoscoAbOA=0UUU BAUJIUB0cos AB0UUUT

12、iB0如果令平面a的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以的距离为UUUTB0UUU TAB n得到B点到平面a0感谢下载载(a)h=4- 1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4- 2面面距离（面面平行）：转化为点面距离应用举例:例1 :如右下图，在长方体ABCD AiBiCiDi中，已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.（1）求二面角C DE C1的正切值；求直线EC1与FD1所成的余弦值.解：（I）以A为原点,Lur uur uuuAB, AD, AA1分别为x轴，y轴,z轴的正向建立仝间直角坐标系,则 D(0,3,0)、D

13、1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，iuuiuu3,0), EC1 (1,3,2), FD1( 4,2,2)设法向量r uur n DE r uuir n EGuuuDE (3,n (x, y,2)与平面C1DE垂直，则有3x 3y 0x 3y 2z 0 zA1DI1,2),(0, 0, 2)与平面n ( 1,uuuQ向量AA1 r uuu n与AA1所成的角为二面角C DEr uuun? AA1廿 uuuu|n| IAA1I二2CDE垂直Q costan10 10、11410046的平面角3(II )设EC1与FD1所成角为B,则 uuu uuuEC

14、1?FD1luuu uurIEC1I IFD1 |cos_ 1 ( 4) 3 2 2 2 12.21例2 :如图，已知四棱锥P-ABCD，底面 ABCD是菱形，/ DAB=60 0 , PD丄平面ABCD , PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点精品(1 )证明平面PED丄平面PAB ;(2 )求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：(1 )面 ABCD 是菱形，/ DAB=60 0/ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD二左DB=30 0，/BDC=60 0 ,.zEDC=90 0,如图建立坐标系 D-ECP，设AD=AB=1 ，贝S PF=FD= - , ED二三, 2 2-

15、 P (0 , 0 , 1), E ( f , 0 , 0), B (豊,1, 0)uurPB二-1 ),ULU PE =(f，0, -1),UULT平面PED的一个法向量为DC =(0, 1, 0),设平面PAB的法向量为n= (x, y, 1)uuu PB UUL PEV3 1(x,y,1)?e?,2(x,y,1)?(,0,21) 01) 0x2.3x22y 12xT2-n=二，0, 1)UULT TUULTT DC -n=0 即DC丄n 二平面PED丄平面PAB解:由(1)知平面PAB的法向量为n =QI；,0, 1),设平面FAB的法向量为n 1= (x, y, -1),由(1 )知:

16、(0, 0,urn1 )，fb=(1 1ULT丄-丄)FE2 2由n1muuu FB uuu FE(x, y,(x, y,73 1 11)?*。, 2) .n=3,0, -1).3x21 1尹2-02二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos 0= |cos< n , ni5_ 7i4例3 :在棱长为4的正方体ABCD-A iBiCiDi中，O是正方形AiBiCiDi的中心，点P在棱CCi 上，且 CCi=4CP.（I ）求直线AP与平面BCCiBi所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（II）设O点在平面DiAP上的射影是H，求证：DiH丄AP ;（皿）求点P到平面ABD i的距离.

17、解：（I）如图建立坐标系T棱长为4D-ACD i,B (4 , 4 , 0), P (0 , 4 , i )uuir,显然 DC = (0 , 4 , 0 )为A (4 , 0 , 0),uuuAP = (-4, 4, i)平面BCCiBi的一个法向量直线AP与平面BCCiBi所成的角B的正弦值sin 0=uuu uur164/33|COS< AP , DC >|=2=7-J42 42 1?V? 33PT0为锐角'直AP与平面BCCiBi所成的角0为arcsin煖(皿)设平面ABD i的法向量为n= (x, y, i)uuuuuluiTAB 二(0 , 4 , 0), AD

18、i= (-4 , 0 , r uuu r uuuuy 0由n丄AB , n丄ADi得4xn= (i, 0, i),例4:在长、宽、高分别为2 ,求AiO与BiC的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD（2，2，3），C（0，2，0）uuirAO ( i,i, 3)uujrBiC( 2,0, 3)uuu rAP?nI n点P到平面ABD i的距离d =4 03三23的长方体ABCD-A iBiCiDi中，0是底面中心,umuAB (020)Aii，则 0( i , i ,设AiO与BiC的公共法向量为(x,y,i),ruuurnAO(x, y,1)?( 1,1,ruuurnDC(x, y,1)?( 2,0,3)03)0x2x3232r 3 3n ( 2,2,1) AiO 与 BiC的距离为uuu r d = |AiBr?n|