第章数列与级数最终版

1、齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)1第 3 章数列与级数这章的标题说明，这里要初步地讨论复数的序列和级数然而关于收敛性的基本事 实，即使在更一般的情况下阐述，也同样地容易所以前三节就在欧几里得空间，甚至 在度量空间里讲了.收敛序列3.1 定义 度量空间 X 中的序列p：叫做收敛的，如果有一个有下述性质的点p X:对于每个；0，有个正整数N，使的n一N时，d(pn, p)：；(这里d表示X中 的距离).这时候，我们也说：p 1 收敛于p，或者说p是pl的极限参看定理 3. 2(b)，并且写 作Pn p，或n叭Pn = P如果 g ；不收敛，便说它发散.这收敛序列”的定义不仅依赖于pn，而且依赖于X

2、，指明这一点很有好处；例如,序列-在R1里收敛(于 0)，而在一切正实数的集里(取 d(x,y) = x-y )不收敛.在n可能发生怀疑的时候，我们宁愿明确而详细地说在 X 中收敛”而不说 收敛”我们记得，一切点 Pn(n =1,2,3/ )的集是pn的值域，序列的值域可以是有限的，也可以是无限的.如果它的值域是有界的，就说序列pn是有界的.作为例题，我们来审辨一下下边的复数序列(即X二R2).(a) 如果 Sn=1 n，那么lim. Sn=0;值域是无限的，但是序列是有界的.(b) 如果 Sn二 n2，那么序列Sn无界，发散，而值域是无限的.(C)如果S. =1 ()n/n，那么序列Sn收敛

3、于 1，有界而且值域是无限的.齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)2(d) 如果Sn二in，那么序列Sn发散，有界，而值域是有限的.(e) 如果Sn =1(n=1，2，3，)那么Sn收敛于 1,有界而且值域是有限的.现在，把度量空间中收敛序列的一些重要性质汇集起来.3.2 定理设Pn是度量空间X中的序列(a) Pn收敛于P X，当且仅当p点的每个邻域，能包含Pn的，除有限项以外的 一切项.(b) 如果p X，pX， Pn收敛于P又收敛于P，那么p P(C)如果 Pn收敛， Pn必有界.(d)如果E U X，而P是E的极限点，那么在E中有一个序列 Pn，使得P =inmPn-(a) 证 假定 Pn

4、P，并设V是p点的邻域，对于某个；0，条件d(q, p)：；, q X意味着q V对应于这个；，存在着N时有 d(pn, p)：； 所以n一N就得出 pn V.反过来，假定p点的每个邻域，除有限个点外，包含一切点 Pn.固定；0，并设V是满足d(q, p)：；的q X的集.根据假定，(对应于这个邻域)存在一个N，使得n一N时Pn V，所以n N时，d(Pn, P)：；这就是说 Pn P .(b) 设；0已给定，那么存在正整数N,N，使当n- N有d(Pn, pp2n一N有d(pn, p p2因此，如果n_ max(N,N)，就有d(P, P)乞 d(p, Pn) d(Pn, P)：；.由于数；

5、是任意的，可以断定d(p,p)=0.(c) 假定 Pn -；p .那么存在着正整数N，使得当n N 有 d(Pn, p) 1 .令 r 二 max1,d(p1,p), ,d(pN, p)，那么，当n =1,2,3时，d(pn,p) “ . (d)对于每个正齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)3整数 n，有点 Pn E，使 d(Pn, p) 0,存在着正整数 NN2使得n M 时，Sn- s：2Isn K N2时，tn t V 2如果 N =max(NN2)，那么n N时，便有(Sn+tn) (S + t)| Sn S + t| 弋这就证明了(a).至于(b)的证明则很容易.(c) 我们用恒等式Sn

6、tn- st 二(Sn- s)(tn-t) S(t(Sn-s)给定了；0，存在着正整数 N1,N2，使得n 兰汕时，sn s Jz，n N2时，tnt 丘如果取 N rmaxWN?)，那么n N时就有齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)46 -S)(tn7)；就得(1)齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)5(b) 假定Xn，是Rk中的序列， 匚是实数序列，并且nim.(xnYnHXy，nim：Xnyn二x y，：nX(a)如果 Xn x，那么，从Rk中范数的定义马上可以推得不等式,n j兰Xn _X，这说明等式(2)成立.反之，如果(2)成立，对应于每个；0，有一个正整数N，使得nN时,由此nim(S

7、n-S)(tn-t)=0.现把(a)和(b)用于恒等式 ，就可以判定nm(Sntn- St)(d)选一个 m，使当 n _m 时,1Sn-SJS，就知道1SnS2给定了； 0，就存在正整数N，N m，使得 n _ N 时因此，当 n _ N 时,3.4 定理k(a)假定 Xn R(n =1,2,3)而X=(-：S1,n，=k,n)-那么序列Xn收敛于 X 二C 1，: k)，当且仅当limGj,n =Gj(1乞j Ek)n)：:Xn X，yn y，(n _ m)1 1SnS2 市Sn S S齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)6CCj,n_Gj 0 矛盾.3.11 定理(a) 在度量空间中，收敛序

8、列 Cauchy 序列.(b) 如果X是紧度量空间，并且如果Pn是X中的 Cauchy 序列，那么p.收敛于X的某个点.(c) 在Rk中，每个 Cauchy 序列收敛.注：收敛的定义与 Cauchy 序列定义之间的差别是，前者明显的含有极限，而后者不然.于是定理 3.11(b)可以使我们断定已知序列是否收敛，而不需知道它要收敛的极限.定理 3.1 中的第三条即是Rk中的序列收敛，当且仅当它是 Cauchy 序列;时常叫做判断收敛的 Cauchy 准则.证(a)若 Pnp 且；0，便有正整数N，保证只要 n N，便有 d(p, Pn) ”：；.因此，d(Pn, Pm)乞 d(Pn,P)d(P，P

9、m)：2；于是Pn是 Cauchy 序列.齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)9(b) 设Pn是紧空间X中的 Cauchy 序列,对于N =1,2,3,令 EN是由点 PN, PN1,PN2,组成的集.那么，按定义 3.9 及定理 3.10(a),lim diam EN=0 ,(3)n_.每个 EN既是紧空间的闭子集，因而必是紧集(定理2.35).又因为 EN= EN41，所以EN jEN 1.根据定理 3.10(b)，在X中有唯一的p在每个 EN中.设给定了；0.据，有整数 N。，凡当 N _N。的时候，就有 diamEN p .(c) 设Xn是Rk中的 Cauchy 序列.像在(b)中那样定义

10、 EN，但要把 Pi换成 x,.有某 个N，diamEN1. Xn的值域是 EN与有限集为,人的并.所以%有界.因Rk的每个有界子集在Rk中有紧闭包(定理 2.41)，由(b)即得(c).3.12 定义 如果度量空间 X 中的每个 Cauchy 序列在 X 中收敛，就说它是完备的.因此，定理 3.11 是说，所有紧度量空间及所有欧式空间是完备的.定理 3. 11 还说 明，完备度量空间X的闭子集E是完备的.(E中每个 Cauchy 序列是X中的 Cauchy 序 列，因此它收敛于某PX，但因E是闭集，所以实际pE).以 d(x,y)=|x-y 为距 离，一切有理数组成的空间是不完备度量空间的一

11、个例子.定理 3.2(c)及定义 3.1 的例(d)说明，收敛序列是有界的.但Rk中的有界序列不一定 收敛.然而，还有收敛性就等价于有界性这样一种重要情况；对于R1中的单调序列就是 这样.3.13 定义实数序列Sn叫做(a)单调递增的，如果 sn乞 sn1(n =1,2,3,)；(b)单调递减的，如果 Sn _Sni(n =1,2,3,).单调递增和单调递减序列，组成单调序列类.齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)103.14 定理 单调序列Sn收敛，当且仅当它是有界的.证 假定 Sn乞 Sn1(另一种情形的证明和这类似)设E是Sn的值域，如果$有 界，设 S 是E的最小上界，那么Sns(n =1

12、,2,3, ) 对于每个；0, 定有一个正整数 N，使 S -SN乞 S，如果不然的话，S - ；将要是E的上界了因为Sn递增，所以nN时有S -:： Sn乞 S .这说明Sn收敛(于 S).逆命题可以从定理 3.2(c)推出来.上极限和下极限3.15 定义 设Sn是有下列性质的实数序列：对于任意的实数M，有一个正整数N，而n一N时有 Sn-M，我们便把这写作类似地，如果对于任意的实数M，有一个正整数 N，而n一N时有乞 M，我们便 把这写作Sn-：.应当注意，我们现在对某些类型的发散序列也像对收敛序列一样地使用了在定义3.1 中引进的符号 ，但是，在定义 3.1 中讲的收敛和极限的定义毫不改

13、变.3.16 定义 设Sn是实数序列.E 是所有可能的子序列Snk的极限 x (在扩大了 的实数系里，snkT x )组成的集.E 含有定义 3.5 所规定的部分极限，可能还有+立，-:=两数.回想一下定义 1.8 和 1.23,令s = supE ,s = i nf E .齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)11s“和 s.两数叫做序列sn的上极限和下极限.采用的记号是lim sup% = s，lim inf s = sn)： ：n)：3.17 定理 设Sn是实数序列，设E和s的意义和定义 3. 16 中说的一样，那么s有以下两种性质：(a)sE.(b) 如果x s，那么就有正整数N，能使n一N

14、时有為：x .此外，s是唯一具有性质)和(b)的数.当然，对于 s.，与此类似的结论也正确.证(a) 如果& - :,那么E不是有上界；因此sn不是有上界，因而有子序列Snk合于Sn，二.如果s*是实数，那么E上有界，从而至少有一个部分极限.因此，(a)可以从定理3.7 和 2.28 推出来.如果，那么E只包含一个元素，就是-二，从而没有部分极限.就是说，对于任意实数M，只有有限个 n 的值，使得 snM .于是 s -.这就在所有情形下证明了(a).(b) 假定有一个数x s，而且有无限多个 n 的值使得 snx .那时，则有一个数y E，使 y 一 x s .这与 s ”的定义矛盾.所以s

15、满足条件(a)和(b).为了证明惟一性，我们假定有两个数p和q都满足条件(a)和(b)，并且假定p q.取x 要它适合p：x：q因为p满足(b)，那么当n _N时有s.：x但是，如果真这样的 话，q就不能满足(a)了.齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)123.18 例(a)设%是包含一切有理数的序列那么，每个实数是部分极限，而且lim supsn二 二，lim inf sn n :.(b)设 sn=(-1)n/1(1 /n)，则lim supsn= 1n :.(C)对于实数序列sn，lnmsn，当且仅当lim supsn二lim inf sn= s.n):：n j：:我们用一个有用的定理来结束这

16、一节，它的证明十分容易.3.19 定理 如果N是固定的正整数，当n一N时务乞 tn，那么lim inf si lim inf tn，ng：n尹；lim supsn三lim suptn.nn 一些特殊序列现在，我们来计算一些常见序列的极限. 各个证明都是根据下述事实：如果 N 是某 个固定的正整数，当n_N时，0 乞 xnsn而且 q 0，那么人 0 .3.20 定理(a)p 0时lim丄=0.n“卩(b)p 0时nim._np = 1.(c)lfim n =1.(d)p 0，而是实数时limn =0 .n厂(1 p)n(e) x 1 时”mxn=0 .齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)13(a)

17、取 n .(1/；)1/p.(注意，这里用到实数的阿基米德性.)(b)如果p 1，令Xn =np -1，那么 xn0，再根据二项式定理,于是所以 Xn 0.如果p = 1, (b)是显然的；如果0 :：p 0 .(e) 在(d)中取=0.级数在这章的后部，如果没有相反的说明，所考虑的一切序列和级数都是复数值的.下面有几条定理可以推广到以Rk里的元素为项的级数.习题 15 提到了它们.3.21 定义 设有序列an，我们用0- Xn 0 不能保证 an收敛例如，级数 1、-n卫n发散;至于证明，见定理 3.28.对于单调序列的定理 3.14，在级数方面也有相应的定理.3.24 定理 各项不是负数的

18、级数收敛，当且仅当它的部分和构成有界数列.现在来讲另一种性质的收敛检验法，即是所谓比较验敛法”3.25定理(a) 如果 N0是某个固定的正整数，当 n_ N0时 an乞 q 而且 cn收敛，那么级数 an也收敛.(b) 如果当 n_No时 an_dn_0 而且 dn发散，那么 an也发散.注意，检验法(b)只能用于各项 an都不是负数的级数.证 根据 Cauchy 准则，给定了； 0，存在着N_N0，能使m n N时成立m7 Ck乞；.k zB所以送 ak兰送 ak兰送 ck兰& .随之也就得到(a).其次，(b)可以由(a)推出来，因为，如果 an收敛，那么vdn也应当收敛(注意,齐齐哈尔大

19、学毕业设计(外文翻译)16(b)也可以由定理 3.24 推出来). 比较验敛法师非常有用的一个方法为了有效地应用它，我们必需熟悉许多已知其收齐齐哈尔大学毕业设计(外文翻译)17敛或发散的非负项级数.非负项级数在一切级数之中，最简单的大约是几何级数了.3.26定理 如果0空x：1，那么如果X _1，这级数就发散. 证如果X ,令 n ,就得出定理的结论.当x=1时，得到1 . 1 .1.，它显然是发散的.应用中出现的许多情况是，级数的各项单调递减.于此，下边的Cauchy 定理特别有价值.定理的明显的特点是由an的一个相当 稀”的子序列，可以判断 a an的收敛或发散.QQ3.27定理 假定印a? 3一-0，那么，级数 an收敛，当且仅当级数n=1oO 2ka2k= a12a24a48a&(7)kz0收敛.证根据定理 3.24,现在只考虑两者的部分和是否有界就行了 .设Sn a an，tk= a12 a2 2 * a?k.当n：2k时，SnEa2 a3)(a2ka2kj)乞 a1 2a22ka2k= tk，因此，O0- nvx11 -XnXkk=01 -Xn -11 -X齐齐哈尔大学毕业设计（外文翻译）18另一方面，当 n .2k时,sn_ 场 a2(