人教版九年级上册数学24章圆中常见辅助线知识点及对应练习学案(无答案)

1、A. 5B.5 ；32圆的辅助线圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站.圆上若有一切线，切点圆心半径连.要想证明是切线，半径垂线仔细辨.是直径，成半圆，想成直角径连弦.弧有中点圆心连，垂径定理要记全.弦切角边切线弦，同弧对角等找完.要想做个外接圆，各边作出中垂线.还要作个内切圆，内角平分线梦圆.三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算.一、考点分类考点一：连半径一一构造等腰三角形方法归纳：常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的 两个端点【例1】如图，4ABC是。0的内接三角形，/ C= 30° ,。的半径为5,若点P是。0 上的一点，在 A

2、BP中，P况AB,则PA的长为（）C. 52变式训练【变式训练】如图， ABC内接于。O, /A= 60° , BO6g 则BC勺长为（）A. 2九 B . 4九C. 8 兀 D . 12 九考点二：半径与弦长计算，弦心距来中间站方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算.在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个【例11 一条排水管的截面如图9ZT 8所示，已知排水管的半径 OA= 1 m水面宽AB = 1.2 m某天下雨后，水管水面上升了 0.2 m则此时排水管水面宽为（）A. 1.4 mB.1

3、.6 mC. 1.8 mD. 2 m=6, /APG= 30,则CD的长为()A. a/15B. 2 邓C. 2 衣D . 8考点三：见到直径一一构造直径所对的圆周角方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质.【例1】如图，AB为。的直径，弦 CD与AB相交于点E./AC60° , Z ADC= 50求/CEB的度数【变式训练】如图所示，AB是。0的直径，弦CD交AB于点P, AP= 2,【变式训练】如图，在 ABC中，/C=90 ,以BC上一点。为圆心，以OB为半径的圆交 AB于点M,交BC于点N.(1)求证：B

4、A BM=BC BN(2)如果CM。的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.考点四：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三 角形，再利用直角三角形的有关性质解题.【例1】如图，AB是。的直径，弦CD!AB于H,过CD延长线上一点E作。的切线交AB的延长线于F.切点为G 连接AG交CD于K.求证：K已GE.【变式训练】如图，过圆心O的割线PAB交。于A B, PC切。于C,弦CD! AB于点H,点H分AB所成的两条线段AH HB的长分别为2和8.求PA的长.考点五：“连半径证垂直”与“作垂直证半径”

5、一一判定直线与圆相切方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“ d=r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径.【例1】如图，已知直线l与。相离，OAL l于点A,交。于点P, OA 5, AB与。O 相切于点B, BP的延长线交直线l于点C.(1)求证：AB= AC;(2)若PO 2显,求。O的半径【变式训练】如图，点E是4ABC的内心，AE的延长线交BC于点F,交4ABC的外接圆。0于点D,连接BD过点D作直线DM使/ BDM / DAC.求证：直线DM1O0的切线.A

6、f D【变式训练】如图，点 。在/APB的平分线上，O。与PA相切于点C.求证：直线PB与。0相切；（2）PO的延长线与。0相交于点E,若。0的半径为3, PO 4,求弦CE的长.考点六：内切圆，连接内角平分线把梦圆；外接圆，连结外心各顶点方法归纳：利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换，外心到三角形各顶点的距离相等。【例1】如图， ABC中，/A=45 , I是内心，则/ BIC=.人【变式训练】如图， ABC中，E是内心，AE延长线交 ABC的外接圆于点D.求/证：DE= DB.求圆中阴影面积*构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积

7、方法归纳：通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化.【例1】如图，A是半径为2的。外一点，。”4, AB是。的切线，B为切点，弦BC/ OA连接AC求阴影部分的面积【变式训练】如图，直角三角形 ABC中，/C= 90° , AO 2, A况4,分别以AG BC为直径作半圆，则图中阴影的面积为()A. 2九一J3B.4 兀-4<3C. 5兀4D. 2九一2,3【例2】如图，在 ABC中，/ A= 90o, AB= AO2.以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB AC相切于点D E,

8、c. 1-2D 2-l【变式训练】如图，已知半径分别为 1和3的。O1和。O2外切于P, AB切二圆于A B【例3】如图，PA PB是。的切线，A B是切点，/ P=60° , AB=1Z求阴影部分的面【例1】如图，AB是。的直径，AF是。切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F, CD=4V3 , BE=2(1)求AD的长(2)四边形FADCM菱形;(3) FC是。的切线.【例 2】如图，RtAABC, AC=8 BC=6 / C=90 , OI 分别切 AC, BC AB于 D, E, F, 求RtzXABC勺内心I与外心O之间的距离.【例3】如图，AB是。的直径，半径OCLAB,D为靛 上任一点，E为BD弦上一点，且 AD=BE求证：CDE等腰直角三角形。【例4】如图，AB是。的直径,POLAB交。于P点，弦PN与AB相交于点M, 求证:PM?PN=2PO【例5】如图，。的直径AB= 12 cm, C为AB延长线上一点，CP与。0相切于点P,过点B作弦BD/ CP连接PD.(1)求证：点P为BD勺中点；(2)若/C= /D,求四边形BCPD勺面积.【例6】如图，在RtABC中，/AB谖90° ,以AB为直径作半圆。交AC于点D,