数学奥林匹克专题讲座第01讲_数论方法技巧

1、第1讲 数论的方法技巧(上)数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数 论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向 一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在 初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材 中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外 各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、 质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：1 .带余除法：

2、若a, b是两个整数，b>0,则存在两个整数q, r,使得a=bq+r (0< r <b),且q, r是唯一的。特别地，如果r=0 ,那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a ,也称b是a的约数, a是b的倍数。2 .若 a|c , b|c ,且 a, b 互质，则 ab|c。3 .唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中pi<p2<< pk为质数，ai, a2,，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。 (1)式称为n的质因数分解或标准分解。4 .约数个数定理：设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为：d (n) = (a1+1

3、) (a2+1)(ak+1)。5 .整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x<y与xWy-1 是等价的。下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常 有助于问题的解决。这些常用的形式有：1 .十进制表示形式：n=an10n+a>110n-1+.+ao；2 .带余形式：a=bq+r；3 .标准分解式？P”4 . 2的乘方与奇数之积式：n=2mt,其中t为奇数。例1红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如 下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个

4、四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？囹画回国解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是 a3, a2, a1, a0,则这个四位数可 以写成1000a3+100S2+10a1+ao,它的各位数字之和的10倍是10 （a3+a2+a+a。） =10a3+10a2+10ai+10a0,这个四位数与它的各位数字之和的 10倍的差是990a3+90a2-9a0= 1998,110a3+10a2-a0=222。比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a0=8, a2=1, a3=2o所以红色卡片上是2,黄色

5、卡片上是1,蓝色卡片上是8。例2在一种室内海戏中，魔术师要求某参赛者想好一个三位数荻，然后，魔术师再要求他记下5个数藐，国，&嬴1嬴，并把这5个数加起来求出和只要参赛者讲出嫡大小，魔术师就能说出原数甚是什么。如果N = 31?4,那么说是多少？解：依题意，得acb+bwc十be曰十匚软匕十ct第=3194© 等号两边同时加上赤，得222 (乳十b十c) = 3154 +abc,222 (a+b + c) = 222 尺 14+ 86 + abs由此推知嬴+86是222的倍数.且a十b十c14设abG+86= 222n,考虑到ab星三位数，依次取口 = 1, 2,14,分别得出

6、痂的可能值为忘包 358, 580T 802,再结合a+b+c> 14,可知原三位数嬴=35几说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。例3从自然数1, 2, 3,，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任 意三个数之和能被18整除？解：设a, b, c, d是所取出的数中的任意4个数，则a+b+c=18m a+b+d=18n,其中m, n是自然数。于是c-d=18 (m-n)。上式说明所取出的数中任意 2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18 所得的余数均相同。设这个余数为r,则a=18a+r, b=18bi+r, c=18cI+r,其中a

7、1, b1, c1是整数。于是a+b+c=18 (a1+b1+c1)+3r。因为 18| (a+b+c),所以 18|3r ,即 61r ,推知 r=0, 6, 12。因为 1000=55X 18+10, 所以，从1, 2,1000中可取6, 24, 42,996共56个数，它们中的任意3个 数之和能被18整除。例4求自然数N,使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个 约数。解：把数N写成质因数乘积的形式N = 2% X 3% X5% X 7 X P 出M由于N能被5和72=49整除，故a3> 1, a4>2,其余的指数ak为自然数或零。依 题意，有（ai+1） （

8、a2+1）（an+1） =10。由于 a3+1>2, a4+1>3,且 10=2x 5,故ai+1=a2+1=a5+1=- - =an+1=1,即a1=a2=a5= - an=0, N只能有2个不同的质因数5和7,因为a4+1 >3>2,故由（ a3+1）（ a4+1） =10知，a3+1=5, a4+1=2是不可能的。因而 a3+1=2, a4+1=5,即 N=5 x 75-1 =5x 74=12005。例5如果N是1, 2, 3,，1998, 1999, 2000的最小公倍数，那么 N等于多少 个 2与 1 个奇数的积？解：因为210=1024, 211=2048&

9、gt;2000,每一个不大于2000的自然数表示为质因数相 乘，其中2的个数不多于10个，而1024=2。，所以，N等于10个2与某个奇数的积。说明：上述5 例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。二、枚举法枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。例 6 求这样的三位数，它除以 11 所得的余数等于它的三个数字的平方和。分析与解

10、： 三位数只有900 个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为 x ， y ， z 。由于任何数除以 11 所 得余数都不大于10，所以x2+y2+z2w 10,从而10x&3, 0<y<3, 0<z<3o所求三位数必在以下数中：100， 101， 102， 103， 110， 111， 112，120, 121, 122, 130, 200, 201, 202,211, 212, 220, 221, 300, 301, 310。不难验证只有100, 101两个数符合要求。例7将自然数

11、N接写在任意一个自然数的右面（例如，将 2接写在35的右面得 352）,如果得到白新数都能被 N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数 中有多少个魔术数？解.设P为任意一个自然数，将麻术数N（NC20QQ）接后得函下面对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论（1）当N为一位数时.nf=10P + K依题意可附，则N|10P,由于 需时任意数P成立，故却10,所以N=L 2, 5；（2）当N为两位数时 PN = 100P+N,依题意划E瓦 则N100P,故N|100,所以 N=10, 20, 25, 50;（3）当N为三位数时，国=1Q0QP + N,依题意N函，则Nl000Pr故

12、N|1000,所以 N=10Q 125, 200, 250, 500;（4）当N为四位数时，同理可得 N=100Q 1250, 2000, 2500, 5000。符合条件的 有 1000, 1250。综上所述，魔术数的个数为14个。说明：（1）我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数，反之亦然。（2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。例8有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、 小光3人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13,

13、15, 23。问：这3张牌的数字分别是多少？解：13+15+23=51, 51=3X 17。因为17>13,摸17次是不可能的，所以摸了 3次，3张扑克牌数字之和是17, 可能的情况有下面15种： 1, 6, 10 1, 7, 9 1, 8, 82,5,102, 6, 92,7,83,4,103, 5, 93,6,83, 7, 7(11)4 , 4, 9 (12)4 , 5, 8(13)4 ， 6， 7 (14)5 ， 5， 7 (15)5 ， 6， 6只有第种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13； 3+3+9=15； 5+9+9=23。这 3 张牌的数字分别是3， 5 和 9。例

14、9 写出 12 个都是合数的连续自然数。分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100 以内最多可以写出7个连续的合数： 90， 91， 92， 93， 94， 95， 96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩 大一些就行了。解法1：用筛选法可以求得在113 与 127 之间共有 12 个都是合数的连续自然数：114， 115， 116， 117， 118， 119， 120，121， 122， 123， 124， 125， 126。分析二：如果12 个连续自然数中，第 1 个是 2 的倍数，第 2 个是 3 的倍数，第 3个是4的倍数第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。又m

15、+Z m+3，m+13是12个连续整数，故只要 m是2, 3,，13的公倍数，这 12 个连续整数就一定都是合数。解法2:设m为2, 3, 4,，13这12个数的最小公倍数。m+2 m+3 m+4，m+13 分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数13的倍数，因此12个数都是合数。说明 : 我们还可以写出13! +2, 13! +3,，13! +13(其中n! =1X2X3X-X n)这12个连续合数来。同样，(m+力！ +2, (m+力！ +3,(m+！ +m+1是m个连续的合数。三、归纳法当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜

16、想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。例 10 将 100 以内的质数从小到大排成一个数字串， 依次完成以下5项工作叫做一次操作：（ 1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；（ 2）从左到右两位一节组成若干个两位数；（ 3）划去这些两位数中的合数；（ 4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；（ 5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问：经过 1999 次操作，所得的数字串是什么？解： 第 1 次操作得数字串711131131737；第 2次操作得数字串；第 3次操作得数字串111731；第 4次操作得数字串1173；第 5次操作得数字串

17、1731；第 6次操作得数字串7311；第 7次操作得数字串3117；第 8次操作得数字串1173。不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4X 499+3,所以第1999次操作所得数 字串与第 7 次相同，是3117。例 11 有 100 张的一摞卡片， 玲玲拿着它们， 从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？ 分析与解： 可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：卡片怎数1234507

18、S511121314151C17-剩下第几张12：2424682463101214162 4 设这一摞卡片的张数为N,观察上表可知：(1)当N=2 (a=0, 1, 2, 3,)时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后 一张，即第2a张；(2)当N=2+m (mK2a)时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第 2m张。取N=10Q因为100=26+36, 2X36=72,所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第 72张。说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1, 2, 3, 然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人

19、，这个人 就是约瑟夫斯。如果这批俘虏有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？例12要用天平称出1克、2克、3克40克这些不同的整数克重量，至少要用 多少个整码？这些整码的重量分别是多少？分析与解：一般天平两边都可放整码，我们从最简单的情形开始研究。(1)称重1克，只能用一个1克的整码，故1克的一个整码是必须的。(2)称重2克，有3种方案：增加一个1克的整码；用一个2克的整码；用一个3克的整码，称重时，把一个1克的整码放在称重盘内，把 3克的整码 放在整码盘内。从数学角度看，就是利用 3-1=2。(3)称重3克，用上面的两个方案，不用再增加整码，因此方案淘汰。(4)称重4克，用上面的方案，不用再增

20、加整码，因此方案也被淘汰。总之， 用1克、3克两个整码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。(5)接着思索可以进行一次飞跃，称重 5克时可以利用9- (3+1) =5,即用一个9克重的整码放在整码盘内，1克、3克两个整码放在称重盘内。这样， 可以依次称到1+3+9=13 (克)以内的任意整数克重。而要称14克时，按上述规律增加一个整码，其重为14+13=27（克）,可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。总之，整码的重量为1, 3, 32, 33克时，所用整码最少，称重最大，这也是本题的 答案。这个结论显然可以推广，当天平两端都可放整码时，使用 1,3, 手，岁乙克硅阳可以

21、桃出l 2, 3,，g （/I）克重的重量。这是使用整码最少、称重最大的整码重量设计方案。练习11 .已知某个四位数的十位数字减去1等于其个位数字，个位数字加2等于百位数字，这个四位数的数字反着顺序排列成的数与原数之和等于9878。试求这个四位数。2,疝是四位数，七b. c,幽代表1, 2, 3. 4中的某个数字, 但彼此不同,例（如2, 1, 3, 4。请写出所有满足关系bc, c d的四位数来*3 .设n是满足下列条件的最小自然数：它们是 75的倍数且恰有75个自然数因数（包括1和本身），求嬴£4 .不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？5 .把1, 2, 3, 4,，999这

22、999个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过 1划掉2, 3,隔过4,划掉5, 6这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去。问： 最后剩下哪个数？为什么？6 .圆周上放有N枚棋子，如右图所示，B点的一枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首 先拿走B点处的1枚棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了 10周，9次 越过A。当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋 子。若N是14的倍数，则圆周上还有多少枚棋子？7 .用0, 1,2, 3, 4五个数字组成四位数，每个四位数中均没有重复数字（如1023, 2341）,求全体这样的四位数之和。8 .有27个国家参加一次国际会议，

23、每个国家有 2名代表。求证：不可能将54位 代表安排在一张圆桌的周围就座，使得任一国的2位代表之间都夹有9个人。练习11.1987。解，设所求的四位数为初，则(a+d) x 1000+ (b+c) x 110+ (a+d) = 9878。比较等式两边，并注意到数字和及其进位的特点，可知a+d=8, b+c=17o已知c-1=d, d+2=b,可求得a=1, b=9, c=8, d=7o即所求的四位数为1987。2.1324, 1423, 2314, 2413, 3412,共 5 个。3.432。解：为保证n是75的倍数而又尽可能地小，因为 75=3X 5X 5,所以可设n有三 个质因数2, 3

24、, 5,即n=2"X30X5,其中a>0, p > 1, 丫>2,并且(a +1) ( B +1) ( 丫 +1) =75。易知当a = B =4, 丫 =2时，符合题设条件。止匕时n = 24 X X 52 ,奈=4免4.38。解：小于38的奇合数是9, 15, 21, 25, 27, 33。38不能表示成它们之中任二者之和，而大于38的偶数A,皆可表示为二奇合数之 和：A末位是0,则A=15+5n,A末位是2,则A=27+5n,A 末位是4，则A=9+5n ，A 末位是6，则A=21+5n ，A 末位是8，则A=33+5n ，其中 n 为大于 1 的奇数。因此，

25、 38 即为所求。5.406。解： 从特殊情况入手，可归纳出：如果是3n 个数（n 为自然数），那么划 1 圈剩下3n-1个数，划2圈剩下3n-2个数划（n-1）圈就剩3个数，再划1圈，最后剩下的还是起 始数 1。36<999< 37,从999个数中划掉（999-36=） 270个数，剩下的（36=） 729个数， 即可运用上述结论。因为每次划掉的是2 个数，所以划掉270 个数必须划 135 次，这时划掉的第 270个数是（135X 3=） 405,则留下的36个数的起始数为406。所以最后剩下的那个数是 406。6.23枚。解： 设圆周上余a 枚棋子。 因为从第 9 次越过 A

26、 处拿走 2 枚棋子到第 10 次将要越过A处棋子时小洪拿走了 2a枚棋子，所以，在第9次将要越过A处棋子时，圆周上 有3a枚棋子。依此类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32a枚棋子在 第1次将要越过A处棋子时，圆周上有39a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之前， 小洪拿走了 2（39a-1）+1枚棋子，所以 N=2（39a-1）+1+39a=310a-1。若N=310a=59049a-1是14的倍数，则N就是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；若 N= （7X8435+4） a-1=7X 8435a+4a-1 是 7 的倍数，WJ 4a-1 必须是 7 的倍数， 当 a=21, 25,

27、 27, 29 时，4a-1 不是 7 的倍数，当 a=23 时，4a-1=91=7X 13,是 7 的倍 数。当 N 是 14 的倍数时，圆周上有23 枚棋子。7.259980。解： 用十进位制表示的若干个四位数之和的加法原理为：若干个四位数之和二千位数数字之和X 1000+百位数数字之和X 100+十位数数字之和X 10+个位数数字之和。以1, 2, 3, 4中之一为千位数，且满足题设条件的四位数有4X3X2=24 （个）这是因为，当千位数确定后，百位数可以在其余4 个数字中选择；千、百位数确定后，十位数可以在其余3 个数字中选择；同理，个位数有2 种可能。因此，满足条件的四位数的千位数数

28、字之和为(1+2+3+4) X 4X3X2=2400以 1， 2， 3， 4 中之一为百位数时，因为 0 不能作为千位，所以千位数也有 3 种选 择；十位数也有3 种选择（加上0）；个位数有2 种选择。因此，百位数数字之和=（1+2+3+4） X 18=180。同理，十位数数字之和、个位数数字之和都是180。所以满足条件的四位数之和为240X1000+180X （1+10+100） = 259980。8.将54个座位按逆时针编号：1, 2,，54。由于是围圆桌就座，所以从1号起, 逆时针转到 55， 就相当于 1 号座； 转到 56， 就相当于 2 号座； 如此下去， 显然转到 m， 就相当于

29、 m 被 54 所除的余数号座。设想满足要求的安排是存在的。不妨设1 和 11 是同一国的代表，由于任一国只有2 名代表，于是11 和 21 不是同一国代表，下面的排法是：21 和 31 是同一国的代表；31 和 41 不是同一国的代表；41 和 51 是同一国的代表；51 和 61 不是同一国的代表（ 61 即 7 号座）。由此， 20k+1 和 20k+11 是同一国的代表，若20k+1， 20k+11 大于54，则取这个数被 54 除的余数为号码的座位。取k=13,则261和271是同一国的，而261被54除的余数是45, 271被54除的 余数是1，这就是说，1 号座与 45号座是同一

30、国的代表，而我们已设1 号与 11 号座是同一国的代表。这样， 1 号、 11 号、 45 号的三位代表是同一国的，这是不可能的。所以题目要求的安排不可能实现。第 1 讲 数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。反证法的过程可简述为以下三个步骤：1 .反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；2 .归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、 公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3 .结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“

31、反设”的谬误，既然结论 的反面不成立，从而肯定了结论成立。运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或 同余等方法引出矛盾的。例1是否存在三位数abci使得abc = ab +bc -Fac?解：如果存在这样的三位数，那么就有100a+10b+c= (10a+b) + (10b+c) + (10a+c)。上式可化简为 80a=b+c, 而这显然是不可能的，因为 a> 1, b<9, c<9o这表明所找的数是不存在的。说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一 个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推 理，直

32、到产生矛盾。例2将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相 加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。在如下式所示的 加法算式中，末一列数字的和 d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列 数字的和b+c< 9。将已知数的前两位数字a, b与末两位数字c, d去掉，所得 的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数” 这一性质。照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身 相加是偶数，矛盾。故和的数字中必有偶数。cd+ de bei说明：显然结论对(4k+1)位数也成立。但对其他

33、位数的数不一定成立。如 12+21, 506+605等。例3有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5 分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币 时，退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始，反复将硬 币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？解：开始只有1枚1分硬币，没有1角的，所以开始时1角的和1分的总 枚数为0+1=1 ,这是奇数。每使用一次该机器，1分与1角的总枚数记为Q下 面考查Q的奇偶性。如果塞入1枚1分的硬币，那么Q暂时减少1，但我们取回了 1枚1角的硬 币(和1枚5分的硬币)，所以总数 Q

34、没有变化；如果再塞入1枚5分的硬币 (得到4枚1角硬币)，那么Q增加4,而其奇偶性不变；如果塞入1枚1角硬 币，那么Q增加2,其奇偶性也不变。所以每使用一次机器， Q的奇偶性不变， 因为开始时Q为奇数，它将一直保持为奇数。这样，我们就不可能得到1分硬币的枚数刚好比1角硬币数少10的情况， 因为如果我们有P枚1分硬币和(P+10)枚1角硬币，那么1分和1角硬币的 总枚数为(2P+1。，这是一个偶数。矛盾。例4在3X 3的方格表中已如右图填入了 9个质数。将表中同一行或同一列 的3个数加上相同的自然数称为一次操作。 问：你能通过若干次操作使得表中9 个数都变为相同的数吗？为什么？解：因为表中9个质

35、数之和恰为100,被3除余1,经过每一次操作，总和 增加3的倍数，所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等, 那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。五、构造法构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通 过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。例5 9999和99!能否表示成为99个连续的奇自然数之和？解：999能。因为999等于99个9998之和，所以可以直接构造如下：9999= (9998-98 ) + (9998-96) + +=(9998-2 ) +9998+ ( 9998

36、+2) +=(9998+96) + (9998+98)。99!不能。因为99!为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99!不能表 示为99个连续奇数之和。说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。例6从1, 2, 3,，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数？解：我们可划去2, 3,，30, 31这30个数，因为划去了上述这30个数 之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于 322=1024>999。另一方面，可以通过构造三元数组来证明 30 是最少的个数。(2, 61, 2X61) ,

37、 ( 3, 60, 3X60) , (4, 59, 4X59),，(30, 33, 30X 33) , (31, 32, 31X32)。上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为31 x32=992。如果划去的数少于30 个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。所以， 30 是最少的个数。六、配对法配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对(可用于计数)。传说高斯 8岁时求和(1+2+100)首创了配对。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。例7求1, 2, 3,，这个数中所有数码的和。解： 在这

38、些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对，因为0与，1与，与各对的数码和都是 9X7=63。这里共有对， 故所有数码的和是 63 X 5000000=315000000例 8 某商场向顾客发放9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从 0001 到 9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码0734 ，因0+7=3+4 ，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101 整除。解： 显然，号码为 9999 的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n 是幸运券，那

39、么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数，所以m 半n。由于m+n=9999， 相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999 的倍数。因为9999=99X 101,所以所有幸运券号码之和能被 101整除例9己知最简分数巴可以表示成！IImil 1=1+ +=+口 2 388试说明分子m是质数89的倍数 解法一：仿照高斯求和（1+2+3十+）的办法，将和的各项喉序倒过来再写一遍，即 + +1 =88 87 8611两式相加，得89 29 B9S9 2mS3 2X 叼 3

40、X&&S3 口从而2mx 88! =89X k （k 是正整数）。因为89为奇质数，所以89不能整除88!,从而89|m。解法二：作配对处理将括号内的分数进行通分，其公分母为1 X88X2X87X 3X86X X 44X45=88!,故巴=E9X 上 （q是正整数），n 881从而mx 88! =89x k (k=nXq)因为89为奇质数，所以89不能整除88!,从而89|m。七、估计法估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范 围，以获取有关量的本质特征，达到解题的目的。在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能 够对可能的情况逐一检

41、验，以确定问题的解。例1。已知一个整数等于4个不同的形如，L （m是整数）的真分数之和.tn-Fl求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。解：因每一真分数满足1 m r2 m +1而所求的数整S是四个不同的真分数之和，因此 2<S< 4,推知S=&于是 可得如下5组不同的真分数：f 126411 fl27231123742j123824门2514 Hl34191丁W51511.2 ,“引Wfl 35111行甲亨12J例11已知在乘积1X2X3X-X n的尾部恰好有106个连续的零，求自然 数n的最大值。分析：若已知n的具体数值，求1X2Xx n的尾部零的个数，则比较容

42、易解决，现在反过来知道尾部零的个数，求 n的值，不大好处理，我们可以先 估计n大约是多少，然后再仔细确定 n的值。解.当力=40口时，数1, 2,王，400中共有等二g0个数是5的倍 数，其中有 菖=16个数是炉的倍数，有要二3个数是宁的倍数0因止匕，乘积1X2X3X-X400中含质因数5的个数为80+16+3=99 （个）。 又乘积中质因数2的个数多于5的个数，故n=400时，lX2X-Xn的尾部有 99个零，还需7个零，注意到425中含有2个质因数5,所以当n=430时，1 X2XX n的尾部有106个零;当n=435时，1 X2X-X n的尾部有107个零。因此，n的最大值为434。练习

43、21 .将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045?2 .如下图，给定两张3X3方格纸，并且在每一方格内填上“ +”或“- 号。现在对方格纸中任何一行或一列进行全部变号的操作。问：可否经过若干3 .你能在3X3的方格表中每个格子里都填一个自然数，使得每行、每列 及两条对角线上的三数之和都等于 1999吗？若能，请填出一例；若不能，请说 明理由。4,判断义和黑能否表示为:+工的形式，其中1, m为自然数由若能表 3321 m示，求出表达式；若不能表示，请给出证明。5 .公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前 3个数字之和 等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。试说明，所有

44、幸运车票号码的 和能被13整除。6 . N是由5个不同的非零数字组成的五位数，且 N等于这5个数字中取3 个不同数字构成的所有三位数的和，求出所有的这种五位数No7 .证明：没有最大的质数口199X1 1X211199X96+l A I上一丁4HM.砧8 .已知&= -一 + 4+ 求$ (国表不不超过整的 979了9 /最大整数)O练习21 .不可能。因为45045是奇数，所以它只能表示成3个奇数的连乘积，但是 对任何两个奇数x和y （x<y）来说，y-x都是偶数，从而45045*xy （x-y）。 而如果x和y中有偶数，则亦不可能。2 .不能。假设图（1）在第一、二、三行经过

45、 mi, m2, m3次操作，而第一、 二、三列经过n1, n2, n3次操作变成图（2）。由于图（1）和图（2）左上角符 号相反，而从“ +”号变到“-”号要进行奇数次变号，故（m1+n1）是奇数。同 理（m1+n2）是偶数，（m2+m） , （m2+n2）都是奇数。这样（m1+m） + （m1+n2） + （m2+n1） + （m2+n2）是奇数。但这个和又等于 2 （mmz+m+n2）,是偶数， 矛盾。3 .不能。若能填入九个自然数a" a2,，a8,3满足题设条件，则a1+a5+a9=1999,a2+a5+a8=1999,a3+a5+a7=1999,a4+a5+a6=1999o相加得(a1+a2+a3+a