一元一次方程知识点及基础训练

1、一元一次方程知识点及根底训练知识详解：一、等式的概念和性质1、等式的概念：用等号“来表示相等关系的式子，叫做等式。2、等式的性质等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。假设，那么；等式的性质2：等式两边都乘以或除以同一个数除数不能是0或同一个整式，所得结果仍是等式假设，那么，注意：1在对等式变形过程中，等式两边必须同时进展即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。2等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须一样。3在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果，那么；等式具有传递性，即：如果，那么；判断题2是等式；

2、3等式两边都除以同一个数，等式仍然成立；4假设，那么；以下说法不正确的选项是A等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式；B等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式；D一个等式的左、右两边及另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；答复以下问题，并说明理由1由能不能得到？2由能不能得到？3由能不能得到？4由能不能得到？以下结论中正确的选项是A在等式的两边都除以3，可得等式；B如果，那么；C在等式的两边都除以，可得等式；D在等式的两边都减去，可得等式；根据等式的性质填空1，那么；2，那么；3，那么；，那么用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式

3、，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的1如果，那么；2如果，那么；3如果，那么；4如果，那么二、方程的相关概念1、方程：含有未知数的等式叫作方程。注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。2、方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。3、方程的数和未知数数：一般是具体的数值，如中的系数是1，是数但可以不说。5和0是数，如果方程中的数需要用字母表示的话，习惯上有、等表示。未知数：是指要求的数，未知数通常用、等字母表示。如：关于、的方程中，、是数，、是未知数。4、方程的解使

4、方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。5、解方程：求得方程的解的过程。注意：解方程及方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程。6、方程解的检验:要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否那么就不是。以下各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？判断题1所有的方程一定是等式。2所有的等式一定是方程。3是方程。4不是方程。5不是等式，因为及不是相等关系。6是等式，也是方程。7“某数的3倍及6的差的含义是，它是一个代数式，而不是方程。判断以下各式是不是方程，如果是，指出数和未知数；如

5、果不是，说明理由。1；2；3；4；5；6在、中，_是方程的解三、一元一次方程的定义1、一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。这里的“元是指未知数，“次是指含未知数的项的最高次数。2、一元一次方程的形式标准形式：其中，是数的形式叫一元一次方程的标准形式最简形式：方程，为数叫一元一次方程的最简形式注意：1任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程是一元一次方程。如果不变形，直接判断就出会现错误。2方程及方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成。以下各式中

6、：；。哪些是一元一次方程？以下方程是一元一次方程的是多项选择ABCDEF方程是关于的一元一次方程，求，满足的条件。假设是关于的一元一次方程，求。是关于的一元一次方程，求的值。假设是关于的一元一次方程，求。假设关于的方程是一元一次方程，那么方程的解=。求关于的一元一次方程的解方程是一元一次方程，那么；四、一元一次方程的解法1、解一元一次方程的一般步骤1去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号2去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号3移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未

7、知数的项移到方程的另一边注意：移项要变号；不要丢项4合并同类项：把方程化成的形式注意：字母和其指数不变5系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解注意：不要把分子、分母搞颠倒2、解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等。1根本类型的一元一次方程的解法解方程：解方程：解方程：解方程：解方程：解方程：解方程：解方程：3含有多层括号的一元一次方程的解法解方程：解方程：解方程：解方程：4一元一次方程的技巧解法解方程：解方程：五实际问题及一元一次方程这局部，建议根底不好的学生仅适当尝试做做1、售价指商品卖出去时的的实

8、际售价。2、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。进价指商品的买入价，也称本钱价。3、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。它及售价不同，它指的是原价。4、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，那么称将标价打了几折。5、盈亏问题：利润=售价本钱；售价=进价+利润；售价=进价+进价×利润率；6、产油量=油菜籽亩产量×含油率×种植面积。7、应用：行程问题：路程=时间×速度；  工程问题：工作总量=工作效率×时间； 储蓄利润问题：利息=本金×利率×时间；本息和=本金+利息。一、列方程解应用题的一般

9、步骤解题思路1审审题：2设设出未知数：根据提问，巧设未知数3列列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程4解解方程：解所列的方程，求出未知数的值5答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案注意带上单位二、一般行程问题相遇及追击问题行程问题根本类型1相遇问题：快行距慢行距原距2追及问题：快行距慢行距原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用小时，步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，那么列方程为。解：等量关系步行时间乘公交车的时间小时列出方程是：2、某人从家里骑自行车到学校。

10、假设每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；假设每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 速度15千米行的总路程速度9千米行的总路程速度15千米行的时间15分钟速度9千米行的时间15分钟提醒：速度时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。方法一：设预定时间为x小/时，那么列出方程是：15x0.259x0.25方法二：设从家里到学校有x千米，那么列出方程是：3、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，客车及货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？提醒：将两车车

11、尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。等量关系：快车行的路程慢车行的路程两列火车的车长之和 设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，那么 16×3x16×2x2002804、及铁路平行的一条公路上有一行人及骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时，骑自行车的人的速度是每小时。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。行人的速度为每秒多少米？这列火车的车长是多少米？提醒：将火车车尾视为一个快者，那么此题为以车长为提前量的追击问题。等量关系： 两种情形下火车的速度相等 两种情形下火车的车长相等在时间的情况下，设

12、速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。解： 行人的速度是：3.6km/时3600米÷3600秒1米/秒 骑自行车的人的速度是：10.8km/时10800米÷3600秒3米/秒 方法一：设火车的速度是x米/秒，那么 26×(x3)22×(x1) 解得x4 方法二：设火车的车长是x米，那么 6、一次远足活动中，一局部人步行，另一局部乘一辆汽车，两局部人同地出发。汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这局部人。出发地到目的地的距离是60千米。问：步行者在出发后经过多少时间及回头接

13、他们的汽车相遇汽车掉头的时间忽略不计提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈即步行者行的总路程汽车行的总路程60×2解：设步行者在出发后经过x小时及回头接他们的汽车相遇，那么 5x60(x1)60×27、某人方案骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原方案的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。解：方法一：设由A地到B地规定的时间是x 小时，那么12xx2 12 x12×224(千米) 方法二：设由A、B两地的距离是x 千米，那么设路程，列时间

14、等式x24 答：A、B两地的距离是24千米。温馨提醒：当速度，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。8、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？假设不能，请说明理由。解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。解：方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意，得x300 答：这列火车长300米。方法二：设这列火车的

15、速度是x米/秒，根据题意，得20x30010xx30 10x300 答：这列火车长300米。9、甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达，列方程得。答案：三、行船及飞机飞行问题：航行问题：顺水风速度静水风速度水流风速度逆水风速度静水风速度水流风速度水流速度=顺水速度-逆水速度÷21、 一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。解：设船在静水中的速度是x千米/时，那么3×(x3)2×(x3)

16、 解得x15 2×(x3)2×(153) 36千米答：两码头之间的距离是36千米。2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。解：设无风时的速度是x千米/时，那么3×(x24)×(x24)3、小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。解：设水流速度为x千米/时，那么9(10x)6(10x) 解得x2 答：水流速度为2千米/时.4、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，船在静水中的速度为千米/

17、时，水流的速度为千米/时，假设A及C的距离比A及B的距离短40千米，求A及B的距离。解：设A及B的距离是x千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程)当C在A、B之间时，解得x120当C在BA的延长线上时，解得x56答：A及B的距离是120千米或56千米。四、工程问题1工程问题中的三个量及其关系为：工作总量工作效率×工作时间2经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和总工作量11、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的局部由乙单独做，还需要几天完成？解：设还需要x天完成，依题意，得解得x=52、某工作,

18、甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,假设甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务? 解：设甲、乙两个龙头齐开x小时。由得，甲每小时灌池子的，乙每小时灌池子的。列方程：×0.5+(+)x= , +x= , x=x=0.5 x+0.5=1小时五、市场经济问题1、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐1求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；2假设7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由解：1设

19、1个小餐厅可供名学生就餐，那么1个大餐厅可供1680-2y名学生就餐，根据题意，得21680-2y+y=2280解得：y=360名所以1680-2y=960名2因为，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐2、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件及将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解：设该工艺品每件的进价是元,标价是45+x元.依题意，得:845+x×0.85-8x=45+x-35×12-12x解得：x=155元所以45+x=200元3、某地区居民生活用电根本价格

20、为每千瓦时元，假设每月用电量超过a千瓦那么超过局部按根本电价的70%收费1某户八月份用电84千瓦时，共交电费元，求a2假设该用户九月份的平均电费为元，那么九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？解：1由题意，得 0.4a+84-a××70%=30.72 解得a=602设九月份共用电x千瓦时，×60+x-60××70%=0.36x 解得x=90 所以×元答： 90千瓦时，交元4、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？利润率=

21、 40%= X=105 105*80%=84元5、甲乙两件衣服的本钱共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装本钱各是多少元？解：设甲服装本钱价为x元，那么乙服装的本钱价为50x元，根据题意，可列109x(1+50%) x+(500-x)(1+40%)90% - (500 - x)=157 x=3006、某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元，按定价的9折销售该电器6台及将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元？ (48

22、+X)90%*6 6X=(48+X-30)*9 9X X=162 162+48=2107、甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原方案之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价？解：x(1-10%)+(100-x)(1+5%)=100(1+2%) x=208、一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？解：设这种服装每件的进价是x元，那么：X(1+40)×0.8-x=15 解得x=125六、调配及配套问题1、某车间有16名工人，每人每天可加工甲种

23、零件5个或乙种零件4个在这16名工人中，一局部人加工甲种零件，其余的加工乙种零件每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元假设此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件 2、有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？3、某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，假设每组7人还余1人，假设每组8人还缺6人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？4、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套一个螺栓配两个螺母？七