一元二次方程的应用-几何应用

1、第11课时 一元二次方程的应用2几何应用姓名1 .如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线 AC剪开,再把 ABC沿着AD方向平移,得到ABC, 假设两个三角形重叠局部的面积为1cm2,那么它移动的距离 AA等于多少A D A M .2: 1 ,如果 258m长的篱笆围成一个面积为 200m2的矩形场地,求矩形的长2 .如图,要设计一幅宽 20cm,长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩条的宽度比为一 19要使彩条所占面积是图案面积的,那么竖彩条宽度为多少和宽.4 .用一条长为60cm的绳子围成一个面积为A. 240B. 225acm2 的长方形,a的值不可能为C. 60D. 3

2、05 .如图,在 ABC中,/ABC=90, AB=8cm, BC=6cm .动点P,Q分别从点 A,B同时开始移动,点 P的 速度为1cm/秒,点Q的速度为2cmz秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.几秒后 PBQ的 面积为15 cm2 ?crn6 .如下图,在 4ABC中,Z B=90 ,AB=6cm, BC=3cm,点P以1cm/s的速度从点 A开始沿边 AB向点B 移动,点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,多少 秒后P、Q之间的距离等于 4,2 cm.T77 .在平面直角坐标系 xOy中,过原点 O及点A (0,2)、C (

3、6, 0)作矩形OABC , Z AOC的平分线交AB 于点D.点P从点O出发,以每秒 J2个单位长度的速度沿射线 OD方向移动；同时点Q从点O出发,以每 秒2个单位长度的速度沿 x轴正方向移动.设移动时间为 t秒,当t为多少时,4PQB为直角三角形.Q8 .直角4ABC中,斜边AB=5,直角边BC、AC之长是一元二次方程 x- (2mT) x+4 (m- 1)=0的两根, 求那么m的值.9 .等腰4ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直 线运动,P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,

4、 4PCQ的面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式；(2)当点P运动几秒时,Sapcq=Saabc?DE的长度是否改变证实你的结论.(3)作PE,AC于点E,当点P、Q运动时,线段10 .某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地,方案在其中修建两块相同的矩形绿地,使它们的面积之和为 60m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如下图),求人行通道的宽度.11 .女吧,四边形ACDE是证实勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是RtABC和RtA BED边长,易知这时我们把关于 X的形如社十五匚肝白口的一元二次方程称为 勾系一元二次方程请解决以下问题：(1)写出一个 勾系一

5、元二次方程；求证：关于X的勾系一元二次方程“口/+、历1s+匕二0必有实数根；(3)假设X=-1是 勾系一元二次方程5ck+MQ的一个根,且四边形ACDE的周长是 6%,求4ABC 面积.12 .：如图,在 4ABC中,/B=90, AB=5cm, BC=7cm.点P从点A开始沿 AB边向点 B以1cm/s的 速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P, Q分别从A, B同时出发,那么几秒后,4PBQ的面积等于6cm2?5 cm?(2)如果P, Q分别从A, B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于1中 PQB的面积能否等于_2 一 ,8cm ?说明理由.13 .

6、如图,四边形ABCD为矩形,AB=16cm. AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s 的速度向B点移动,一直到达B点为止,点Q以2cm/s的速度向D点移动.(1)P、Q两点从出发开始到几秒时,四边形PBCQ的面积为33cm2?(2)P、Q两点从出发开始到几秒时,点P和点Q之间的距离第一次是 10cm?(3)在运动过程中,点P和点Q之问的距离可能是18cm吗如果可能,求出运动时间t,如果不可能,请说明理由.(户取1.4)14 .如图,在矩形 ABCD 中,BC=20cm, P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发沿 AD, BC, CB, DA 方 向在矩形的边上同

7、时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.在相同时间内,假设 BQ=xcm (x,贝U AP=2xcm, CM=3xcm, DN=x2cm.(1)当x为何值时,以PQ, MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一局部为第三边构成一个三角形 ；(2)当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；(3)以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形如果能,求x的值；如果不能,请说明理由.参考答案1 .【解答】解：设CD与AC交于点H,AC与AB交于点G,由平移的性质知, AB与CD平行且相等,/ACB=45, / DHA=/DA H=45, ADAH是等腰直角三角形,A

8、D=DH,四边形AGCH是平行四边形,. SAGCH=HC?BC= (CD-DH) ?DH=1,DH=AD=1,AA=AD - AD=1 .故答案为1.2 .【解答】解：设竖彩条的宽为 xcm,那么横彩条的宽为 2xcm,那么(30- 2x) ( 20 - 4x) =30 20 X (1一4),75整理得：x2-20x+19=0,解得：x1=1 , x2=19 (不合题意,舍去).答:竖彩条的宽度为1cm.3 . x (58-2x) =200解得：x1=25, x2=4,另一边为8米或50米.答：当矩形长为25米时宽为8米,当矩形长为50米时宽为4米.4 .【解答】解：设围成面积为 acm2的

9、长方形的长为xcm,那么宽为(60登-x) cm,依题意,得x (60-；2 - x)=a,整理,得x2 - 30x+a=0, =900 4a 用,解得a 35,a的值不可能为240;25 .【解答】解：设动点P,Q运动t秒后,能使4PBQ的面积为15cm , 那么BP为(8 - t)cm,BQ为2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得,Tjx (8-t) X2t=15,cm,解得t1=3, t2=5 (当t=5时,BQ=10,不合题意,舍去). 答：动点P, Q运动3秒时,能使4PBQ的面积为15cm2.6 .【解答】解：设点P、Q分别从点A、B同时出发,xs后P、Q之间的距离等于 AP=1

10、 ?x=x , BQ=2x,BP=AB AP=6 - x, bp2+bq2=pq2, 即(6 x) 2+ (2x) 2= (42) 2,5解得:x1=-,x2=2 (不合题意,舍去).答:点P、Q分别从点A、B同时出发；|s后P、Q之间的距离等于4在cm.I回7.【解答】 解:作PGXOC于点G,在RtAPOG中, / POQ=45 ,/ OPG=45 ,OP=2iZt, .OG=PG=t,点 P (t, t),又.Q (2t, 0), B (6,2),根据勾股定理可得：PB2=(6-t)2+(2-t)2, QB2=(6-2t) 2+22, PQ2=(2t-t)2+t2=2t2, 假设/PQB

11、=90.,那么有 PQ2+BQ2=PB2,即:2t2+(6 2t) 2+221 = (6t)2+ (2-t) 2,整理得：4t2 - 8t=0,解得：ti=0(舍去),t2=2,.t=2, 假设/PBQ=90.,那么有 PB2+QB2=PQ2,. (6-t) 2+ (2-t) 2 + (6-2t) 2+22=2t2,整理得:t2-10t+20=0,解得：t=51后.当t=2或t=5+V反Kt=5 - 时, PQB为直角三角形.故答案为：2或5+、月或5-而.8 .【解答】 解：如图.设 BC=a,AC=b.根据题意得 a+ b=2m- 1, ab=4 (m-1).由勾股定理可知 a2+b2=2

12、5,/. a2+b2= (a+b)2 - 2ab=(2m T ) 2-8(mT) =4m2 - 12m+9=25 , 4m2 12m - 16=0,即 m2 - 3m - 4=0,解得 m1= - 1, m2=4 .a+b=2m- 1 0,即mm=4.故答案为：4.9 .【解答】 解：1当tv 10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t, PB=10- t ,二.- -：i -|-：当t10秒时,P在线段AB得延长线上,此时 CQ=t, PB=t- 10一二. . J 二 一 1.2 ,一$ abc=ABBO50,当 tv10 秒时,S；A PCQ=W101一 t二 50整理得t2- 10t+10

13、0=0无解6分当 t 10 秒时,SApcq=-L (/-10t)二50整理得t2T0tT00=0解得t=5把寸亏(舍去负值)(7分),当点P运动5+冗,剂时,Sapcq=Sa abc (8分)(3)当点P、Q运动时,线段 DE的长度不会改变. 证实：过Q作QMLAC,交直线AC于点M 易证APEQCM ,AE=PE=CM=QM四边形PEQM是平行四边形,且 DE是对角线EM的一半. 又 EM=AC=10匹= DE=5T2,当点P、Q运动时,线段 DE的长度不会改变.同理,当点P在点B右侧时,DE=5j2综上所述,当点 P、Q运动时,线段 DE的长度不会改变.10 【解答】解：设人行道的宽度为

14、 x米,根据题意得, (18-3x) (6-2x)=60,化简整理得,(x- 1) (x- 8) =0.解得xi=i, x2=8(不合题意,舍去).答：人行通道的宽度是 1m.11 .【解答】(1)解：当a=3,上=4, c=5时勾系一元二次方程为 3x2+5V2x+4=0 ;(2)证些根据题意,得 = (Vc) 2- 4ab=2c2- 4ab a2+b2=c22c2-4ab=2 ( a2+b2) - 4ab=2 (a-b) %0即可,勾系一元二次方程 b二.必有实数根;(3)解：当 x= 1 时,有 a Jc+b=0,即 a+b=V2c,2a+2b+&c=6&,即 2 (a+b)+&c=&历

15、 .3 2c=6 工c=2a2+b2=c2=4, a+b=2/2-.1 (a+b)2=a2+b2+2abab=2Sa abc=ab=1.12 【解答】 解：(1)设 经过x秒以后4PBQ面积为6X (5 - x) 2x=62整理得：x2 - 5x+6=0解得:x=2或x=3答：2或3秒后 PBQ的面积等于6cm2(2)当 PQ=5 时,在 RtA PBQ 中,BP2+BQ2=PQ2, (5-t) 2+ (2t) 2=525t2- 10t=0,t (5t 10)=0, t1=0,t2=2,当t=0或2时,PQ的长度等于 5cm.3设经过x秒以后 PBQ面积为8,5 - x 2x=8整理得：x2

16、- 5x+8=0 =25 32= - 76=33,解得x=5;答：P、Q两点从出发开始到 5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2;2设P, Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm, 作QELAB,垂足为E,贝U QE=AD=6,PQ=10,FA=3t, CQ=BE=2t,PE=AB-AP-BE=|16- 5t|,由勾股定理,得16-5t 2+62=102,解得 t1=4.8, t2=1.6.答：从出发到1.6秒或4.8秒时,点P和点Q的距离是10cm.3 ; VaB2BC2=V16-f62= 20,不符合题意.故点Q与点M不能重合.所以所求x的值为-1.(2)由知,点Q只能在点M的左侧,当点P在点N的左侧时,由 20 - (x+3x) =20 - (2x+x2),解得xi=0 (舍去),x2=2.当x=2时四边形PQMN是平行四边形.当点P在点N的右侧时,由 20 - (x+3x) =(2x+x2) - 20,解得 xi