立体几何的解题技巧

1、立体几何大题的解题技巧综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点：1 .线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2 .空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现3 .多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现4 .有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在 17-22分之间，题型一般为 1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点分析】 掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面

2、间的距离的概念【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角：“六个距离”：1 两点间距离 d = V（x1x2）2+（y1 y2）2+（4z2）2PQ*u2点P到线l的距离d = （ Q是直线l上任意一点，u为过点P的直线l法向量）uPQ*u3两异面直线的距离 d= （P、Q分别是两直线上任意两点 u为两直线公共法向量）uPQ*u4点P到平面的距离 d = （Q是平面上任意一点， u为平面法向量）u5直线与平面的距离【同上】6平行平面间的距离【同上】“三个角度”I V1V2一 人 A 1异面直线角0,0,元）cos9=【辨】直线倾斜角范围【Mg2线面角【0,JI 一2sin9 = cosv, n

3、) =&n 或者解三角形M|n|3二面角【0,cos9 = ;丁+ 或者找垂直线，解三角形 n1 n2不论是求空间距离还是空间角，都要按照 运算之中，正是本专题的一大特色.“一作，二证，三算” 的步骤来完成，即寓证明于求解空间距离和角的方法有 两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用 空间向量求空间距离和角的 套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工 具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题 例1 （福建卷）如图，正三棱柱

4、ABC _AB1cl的所有棱长都为2, D为CC1中点.（I ）求证： AB1，平面 A1BD ；（II）求二面角 A_A1D _B的大小；（田）求点C到平面ABD的距离.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.解：解法一：（I ）取 BC中点O ,连结AO .ABC为正三角形，AO BC .;正三棱柱abc _A1B1cl中，平面 ABC 平面BCC1B1 ,AO 平面 BCCiBi -连结BO，在正方形BB1C1C中，O, D分别为BC, CC1 的中点， ，BO，BD ,ABi BD .在正方形 AB

5、B1Al 中，AB1 AB , 二 AB1，平面 ABD .（n）设AB1与AB交于点G ,在平面A1BD中，作GF，AD于F ,连结AF ,由（I ）得 AB1，平面J.AFLA1D， AFG 为二面角 AA1DB 的平面角.在AAA1D中，由等面积法可求得 AF =4，5 ,5又？ AG=五-/afg =* =画2 AF 4.545所以二面角 A A D B的大小为arcsin叱0 .4（田） AAiBD 中，BD =AD =5 AB =2应, Sa abd =6，Sa bcd =1 在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为 用.设点c到平面AlBD的距离为d .由VA1旦CD=Vc

6、AiBD 型 38BCDL 3 -saA1BD-d3sx BCDd 二& AlBDJ.点C到平面A1BD的距离为 旦2解法二：（I）取BC中点O ,连结AO .，入ABC为正三角形， 二AO BC .在正三棱柱 ABC _A1B1cl中，平面 ABC 平面BCC1 B1 ,.AD，平面 BCCiBi -取B1G中点O1,以O为原点，OB , OO1 , OA的方向为x, y, Z轴的正方向建立空间直角坐标系，则BA1 =(一1,2,43) -yB(1,0,0), D(f1,0)，A(0,2,拘,A(0,0,我,B1(1,2,0),，AB，=(1,2, V3)，BD =(10)， *：遍1向=-

7、2+2+0=0，AB_BA1 = 1+43=0，J.AB，BD，AB1 1 BA1 -J.AB1，平面 ABD .（n）设平面 A1AD的法向量为n =（x, y, z） .AD=(T,1,-6)，AA =(0,2,0) 1n，AD, 2，令z=1得n =（01）为平面A AD的一个法向量.由（I ）知AB1，平面A1BD ,二AR为平面A1BD的法向量.n LAX T3 r/3 n LIab2U2.2二二面角A AD B的大小为arccosY3 -4(n)由(n),AB1为平面A1BD法向量,h=Q37BC =(2 0,0淘=(1,2,回，点C到平面A1BD的距离d Js n，AB1 ACL

8、ABl|_72 .=AB1二汇2 =方小结：本例中（田）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接 求的B点到平面AMBi的距离转化为容易求的点 K到平面AMBi的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优 先考虑使用这一种方法.考点2异面直线的距离 考查异目主面直线的距离的概念及其求法考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离 例2已知三棱锥S-ABC ,底面是边长为 4J2的正三角形，棱 SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于

9、异面直线 CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将 所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化 成求点到平面的距离.解：如图所示，取 BD的中点F,连结EF, SF, CF,. EF 为 ABCD 的中位线，EF II CD ,二 CD II 面 SEF,二CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离 .又线面之间的距离可转化为线 CD上一点C到平面SEF的距离，设其为 h,由题意知， BC=4j2,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，在 RtSCE中，SE = %SC2+CE2 =23在 RtASCF 中，SF =，SC2 +CF2 = 4+24+2=730又 EF = .

10、 6, S SEF = 3.11 _ .2、3由于 VC -SEF =VS_CEF =一 S%EF h，即二 3 h =,解得333故CD与SE间的距离为小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程考点3直线到平面的距离偶尔会再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化BD至呼面GBiDi的距离.例3.如图，在棱长为 2的正方体 AC1中，G是AA1的中点，求思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离 的方法求解.解：解法一 : BD /平面GB1D1,二BD上任意一点到平面 GBi Di的距离皆为所求，以下求点O平面GBiDi的距离，丁 BiD

11、i _L AG, BiDi _LA1A，二 BiDi _L 平面 AACCi,又BiDi 二平面GBiDi二平面Ai ACCi J_ GBiDi,两个平面的交线是OiG,作OH _LO1G于h,则有OH，平面GBiDi，即oh是O点到平面GB）的距离.ii_在 AOiOG 中，Sog = OiO AO = 2 V2 = J2. 221 i 2.6又 S oqg =_ OH OiG= ，3OH = 2,. OH =.2 23即BD到平面GBiDi的距离等于解法二 : BD /平面GBiDi,二BD上任意一点到平面 GBiDi的距离皆为所求，以下求点B平面GBiDi的距离.设点B到平面GBiDi的

12、距离为h,将它视为三棱锥B-GBiDi的高，则V-V,由于；2.23V=3 2 2 2 2寸即BD到平面GBiDi的距离等于2.6.所以求线面距离关小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4异面直线所成的角【重难点】此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角典型例题例4如图，在RtAOB中，/0AB =，斜边AB=4. RtAAOC可以通过 -6RtAAOB以直线A0为轴旋转得到，且二面角B - A0 - C的直二面角.D是AB的中点.

13、(I)求证：平面COD，平面AOB；(II)求异面直线 A0与CD所成角的大小.思路启迪：(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解：解法 1： (I)由题意，CO_LAO, BO_LAO,:/BOC是二面角B -AO-C是直二面角，:.CO_LBO,又0口80=0,:.CO上平面AOB,又CO U平面COD .二平面COD，平面AOB.(II)作DE _LOB,垂足为E ,连结CE (如图)，则 DE / AO , ./CDE是异面直线 AO与CD所成的角.在 RtCOE 中，CO=BO=2, OE=1BO=1，2J.CE=jCO2 +OE2 =底又 DE J AO 二芯 2二

14、在 RtCDE 中，tanCDE =生=更=任DE 33二异面直线AO与CD所成角的大小为arctan或5 .3解法2: ( I)同解法1.(II)建立空间直角坐标系Oxyz,如图，则 O(0,0,0), A(qq2J3)，C(2,0,0), D(01,J3)，j.OA =(0,0,2而，CD=(-2,1,石)，k 二oaLcd.cos /17.故 SAL AD ,由 AD =BC =2点，SA = s/3, SAB的面积 S =1 ABSA2 -,11 AB J =& -连结 DB ,得 DAB 的面积 S2 =-ABL_AD sin135C =2 2设D到平面SAB的距离为h ,由于Vd_

15、sab =Vs_abd，得-hLs1 =-SOS ,解得 h = J2 -33设SD与平面SAB所成角为u，则sinOf =j-=五=必.SD 1111所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcSinY22 .11解法二：(I)作SOX BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC,底面ABCD,得SO,平面ABCD . 因为SA = SB,所以AO = BO .又/ABC =45 ZXA0B为等腰直角三角形，A0 10B .如图，以0为坐标原点， 0A为x轴正向，建立直角坐标系 Oxyz,A(虎A。)，B(0,短,0), C(0,-&,0), S(0,0,1), SA=(企,0,-1),CB=(0

16、,2x/2,0),=0,所以 SAX BC .DA(n)取AB中点E ,俚，立Qi,连结SE,取SE中点G ,连结OG ,SE#),AB = (-72, V2,0).SEOg =0, AB反二0,OG与平面SAB内两条相交直线SE, AB垂直.所以OG，平面SAB , OG与DS的夹角记为a,SD与平面SAB所成的角记为P ,则a与P互D(应 2 应 0)，DS=(-J? ,2&1).cos.二二OGLDs22 ,og |_ds - 11sin ：二M，11所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin 22L .11小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关

17、系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造一一作出斜线与射影所成的角，证明一一论证作出的角为所求的角，计算一一常用解三角形的方法求角，结论一一点明直线和平面所成的角的值考点6二面角【重点】线线角放到一个合适的三此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为角形中进行求解.二面角是高考的热点典型例题例6.（湖南卷）如图，已知直角， AW PQ , B亡a , C w P , CA =CB , /BAP = 45、直线CA和平面a所成二面的角为30：.(I)证明 BC，PQ ;（II）求二面角 BACP的大小.命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象

18、能力、逻辑思维能力和 运算能力.过程指引：（I）在平面P内过点C作CO，PQ于点O ,连结OB .因为 a P , a|P=PQ,所以 CO a , 又因为CA=CB，所以OA = OB.而 NBAO =45,所以 ZABO =45, , NAOB =90 ,从而 BO，PQ ,又 CO，PQ ,所以PQ，平面OBC.因为BC仁平面OBC，故PQ，BC .（II）解法一：由（I）知，BO，PQ ,又 a，P , 口口 P = PQ ,BO 仁 o（,所以 BO P .过点O作OH，AC于点H ,连结BH ,由三垂线定理知，BH AC .故/BHO是二面角B ACP的平面角.由（I）知，COa

19、,所以NCAO是CA和平面a所成的角，则 /CAO = 30 ,不妨设 AC =2 ,则 AO = J3 OH = AOsin30 =.2在 RtzXOAB 中，/ABO =/BAO =45,所以 BO=AO=V3,于是在 RtBOH 中，tan/BHO=_BO = W!=2.OH 32故二面角B - AC P的大小为arctan2 .解法二：由（I）知，OC OA , OCXOB, OA OB ,故可以O为原点，分别以直线OB, OA, OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）.因为CO，a ,所以/CAO是CA和平面口所成的角，则 /CAO = 30 .不妨设 AC=2,则 AO=

20、J3, CO=1.在 RtzXOAB 中，/ABO= /BAO =45所以 BO =A0 = J3.则相关各点的坐标分别是0(0,0,0), B(石A0),A(0,百,0), 0(0,0,1).所以 AB =(*, J3,0),AC=(0,-黎 1).设口 =x, y, z是平面ABC的一个法向量，由rUaB=0“、.3x i 3y = 0, 倚n1AC=03y z-0取 x=1,得 n1 =(1,1,.易知n2 =(10,0)是平面P的一个法向量.设二面角BACP的平面角为0,由图可知,所以cos?故二面角B-AC-P的大小为arccos5小结：本题是一个无棱二面角的求解问题 .解法一是确定

21、二面角的棱，进而找出二面角的平面角 面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内 的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解 决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面.无棱二角的大小.【课后练习】E、F分别为(I )试证：如图，在四棱锥 P ABCD中，PA_L底面ABCD/ DAB为直角，AB | CD , PC、CD的中点.CD 1 平面 BEF;AD=CD=2AB,(n)设PA=kAB,且二面角E-BD-C的平面角大于 301 求k的取值范围.过程指引：方法

22、一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法 【高考热点】空间几何体的表面积与体积 (一)空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积0 = 2兀/1 + 2n r223圆锥的表面积： S = n rl+n r2224圆台的表面积S=nrl+nr +nRl + nR 5球的表面积S = 4nR2n 二 R21 一6扇形的面积 S扇形-二1r （其中l表示弧长，r表示半径）3602注：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长 （二）空间几何体的体积V =S底 h11柱体的体积3台体的体积【例题解析】2锥体的体积 V = S

23、底h3143V = （ S上+，S上S下+ S下）父h 4球体的体积V =一冗R3-3考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通 常结合多面体的定义、性质进行判断 典型例题例12 .如图（1）,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大.思路启迪设四边形一边 AD,然后写出六棱柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时AD长度即可.解答过程：如图(2)设 AD = a,易知/ ABC = 60 ,且/ ABD = 30 = AB= J3a .BD = 2

24、a= 正六棱柱体积为 V .129 ,、2V= 6 (12a) sin60 = 73a= (12a) a22(1 2a)(1 2a)4a ()3 .88 3，一1当且仅当12a=4a = a=时，体积年大，61 2此时底面边长为 1 2a=12X=631答案为1 .6考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积 直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.棱锥体积V等于1 Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.3例 15.如图，在三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB= J2a, BC = CA=AA1 = a,A1在底面4 ABC上的射

25、影 O在AC上B 求AB与侧面ACi所成角； 若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.思路启迪找出AB与侧面ACi所成角即是/ CAB;三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面四边形，分别求其面积即可 .解答过程：点 Ai在底面ABC的射影在AC上,平面ACCiA平面 abc.BCCiBi是正方形，侧面 ACCiAi和侧面ABBiAi是平行在AABC 中，由 BC = AC= a, AB=n；2a. /ACB = 90 , BC AC. BCL平面 ACCiAi.即/ cab为AB与侧面ACi所成的角在 AB与侧面AC1所成角是45 .RtAABC 中，/ CAB =45 。是AC中点，在

26、RtA AAiO中,AAi = a, AO一 3 - AOi = a.2侧面ACCiAi面积SAC,AO产 a2.2面积&= a2.又BCL平面ACCiAi 又 BBi=BC = a ,过O作OD AB于D ,BCXCCi.侧面bcc1b1是正方形,i AiO,平面 abc, AiDXAB.在 RtAAOD 中，AO = - a2,/ CAD = 45 在 RtAAiOD 中，AiDqOD2+ AiO2 =,2a)2+ (ya)27a.侧面 ABBiAi 面积 S3= AB AD = v2a、三棱柱侧面积S= Si + S2 + S3 = (2+ J3+ 7 7) a22MN将AAMN折起，使

27、得面AMN与面MNCB所成的二面角为30 ,则四棱锥 A MNCB的体积为A、B、,3万C、,3D、3思路启迪先找出二面角平面角,即/ AKL ,再在AAKL中求出棱锥的高一 i h ,再利用V= Sh即可.例16.等边三角形 ABC的边长为4, M、N分别为AB、AC的中点，沿L.则 AKXMN , /AKL=；KLXMN .30解答过程：在平面图中，过 A作ALXBC,交MN于K,交BC于3则四棱铤A MNCB的图h= AK sin300=-2Smncb一VA MNCB =答案A 【专题综合训练】 一、选择题如图，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，已知AB=i, D在BBi上， 且BD=

28、i ,若AD与侧面AAiCCi所成的角为二，则口的值为 （）2.3.A. 一3C. arctan4直线a与平面unB.46 d. arcsin4成日角，a是平面口的斜线，b是平面a内与a异面的任意直线，则 a与b所成的角（）A.最小值8 ,最大值n -0C.最小值8 ,无最大值B.最小值日，最大值D.无最小值,最大值在一个45O的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成所成的角为（A.)30B. 45C. 60445。角，则此直线与二面角的另一平面D. 90i A.2AB4.如图，直平行六面体 ABCD-AiBiCiDi的棱长均为 2, /BAD =60,则对角线AiC与侧面DCCiDi所成的

29、角的正弦值为（3B.2C.D.5,已知在AABC中，AB=9, AC=15, /BAC=120,它所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都是14,那么点P到平面AABC的距离为（）A. 13B. 11C. 96.如图，在棱长为 3的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是 棱A1B1、A1D1的中点，则点 B到平面AMN的距离是（）B. 3D. 2D. 79A. 一26.5C.5A1D1AB7,将 ZQMN =601 边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折AB成6015的二面角，则 MP与NQ间的距离等于（）6C. a4、3d. a433a. a b. -a248 .二面角a -1

30、一 口的平面角为120。，在a内，AB _L l于b, AB=2,在口内，CD _L l于D,CD=3,BD=1, M是棱l上的一个动点，则 AM+CM的最小值为（）A. 2 5B. 2.2C. . 26D. 2 . 69 .空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上,则P与Q的最短距离为（）d. a1. 2. 3a. ab. aC.a22210 .在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为 纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（a ,现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪）2. 6A. ( 2.6)a B.2aC.(13)a1.3D.

31、 a2P,使D1P _L PC，则棱AD的长A. 0,1 1B. 0, 2 112.将正方形 ABCD沿对角线AC折起，使点 于()A. 30B. 45D. 90C. 0,21D. 1,、. 21D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等C. 60、填空题如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, E是A1B1的中点，则下列四个命题:1 E到平面ABC1D1的距离是 一；2 直线BC与平面ABC1D1所成角等于45；空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成一。一，1面积最小值为-2BE与CD 1所成的角为.10 arcsin102.如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C

32、1D1中，P是A1C1上的动点，E为CD上的动点，四边形 ABCD满时，体积VPqEB恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）3.边长为1的等边三角形折起，使得折后二面角ABC中，沿BC边高线ADB-AD-C为60 ,则点A到4.5.6.BC的距离为为,点D到平面ABC的距离在水平横梁上 A、B两点处各挂长为 50cm的细绳，AM、BN、AB的长度为 60cm,在 MN处挂长为 60cm 的木条，MN平行于横梁，木条的中点为 O,若木条 绕过O的铅垂线旋转60。，则木条比原来升高了多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点 A在a平面内.其余顶点在a的同侧，正方 体上与顶

33、点A相邻的三个顶点到 a的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面口的距离可能是:3;4;5;6;7.以上结论正确的为 . （写出所有正确结论的编号 ）如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的（不计小孔直径）。1、。2、。3它们分别是所在面的中心.如果恰当容器，容器存水的最大容积是 三、解答题小孔放置1.在正三棱柱 ABC A1B1C1中，底面边长为 a,D为BC为中点,BB1 上，且 BM= 1 B1M ,又 CM AC1；(1)(2)3求证：CM XC1D;求AA 1的长.M在2 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是矩形且 AD=2 , AB=P

34、A= 22 , PAL底面 ABCD , E是AD的中点，F在PC上.(1)求F在何处时，EFL平面 PBC;(2)在的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3)在(1)的条件下，求直线 BD与平面BEF所成的角.3 .如图，四棱锥 S ABCD的底面是边长为 1的正方形，SD垂直于底面 ABCD , SB= J3 .(1)求证 BC _SC;(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小；(3)设棱SA的中点为 M ,求异面直线 DM与SB所成角的 大小.4 .在直角梯形 ABCD中，R=：BAD=90 ?AD=DC=1AB=a,(如图一)将 AD

35、C 沿AC折起，使 D U 2D 记面AC D 为？面ABC为？面BC D 为?.(1)若二面角 HAC ?为直二面角(如图二)，求二面角?BC k的大小；(2)若二面角 期C 皿 60 ?(如图三)，求三棱锥D/ABC的体积.5 .如图，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= J2, AF=1 , M是线段EF的中点.(1)求证AM/平面BDE ;(2)求二面角 ARF汨的大小；(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60 ?.【参考答案】一.选择题1.D 提示：AD在面ACC1A1上的射影应在 AC与A1C1中点的连线上，令射影为E,则/ EAD为所求

36、的3 角.在 Rt A EAD 中，DE =一 , AD 2DE-2. sin EAD 二AD,32.2.62.B提示：由最小角定理知，最小角为9 ,又异面直线所成角的范围为0 一，:最大角为,23 .A 提示：由最小角定理知，此直线与另一面所成的角应小于等于它与交线所成的角，故排除C、D,又此二面角为 45。，则此直线与另一平面所成的角只能小于它与交线所成的角，故选A.4 .D 提示：由题意， Ai在面DCCiDi上的射影应在 CiDi延长线E上，且D1E=1 ,则/ AiCE为所求角,在 RtAAA1C 中，A1C 7AA +AC2 =4,A1E =d3,，sin /ACE =AE =A1

37、C45 .D 提示：由P到 ABC三个顶点的距离都是 14,知P在底面ABC的射影是 ABC的外心，所以 POBC21一为所求.由余弦定理得：BC=21.由2R =- =143得外接圆半径为sin 120、3OB=7而，在 RtAPOB 中，PO =JPB2 BO2 =7.6.D7.B一，1 c 1提不：由题图得 VBSMN =VN4MB - - h S AMN =二33提示：连结 MP、NQ交于O,由四边形 MNPQ是菱形得2 S.AMBMP LNQ 于 O,将QN, OPXQN,所以/ MOP=60，且 QN，面 MOP,过 O 作 OHLMP,所以. 3为异面直线 mp、QN的公垂线，经

38、计算得 OH =-a.4MNQ折起后易得MOOHLQN,从而 OH8 .C 提示：把 0半平面展到半平面 P内，此时，连结AC与棱的交点为 M ,这时AM +CM取最小值等于 AC.(AM+CM ) min = .；1，(2 3) . 26 .9 .B 提示：P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当 P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.2. 610.B 提示：将正棱锥展开，设正方形边长为m,则J2m = a +V3ar m =211 .A提示：: DiP .L PC二DP _L PC,.-,在长方形ABCD中AB边存在P,作DP _L PC ,又因为AB=2,由对称性可知，P为

39、AB的中点时，AD最大为1,AD W (0,1故选A.12 .D提示：若BD与平面ABC所成的角为90 1则平面ABD _L平面ABC ,取AC的中点。，则BD 1 AC, DO 1 AC且BO=DO, 1, BD与BO不垂直，故bd与平面ABC所成的角一定不等于 90 .二.填空题.一 2 1 一 1 .一1 . 提不：对于，由 VEsBCi =VC3BE倚h S&BC1 =父1父S&BE， 1133二卜二SbE =三2 ,错.对于连CB1交BCi于。，则。为C在面ABCiDi上的射影，S.ABC12二/CBO =450为所成的线面角，正确.作图易知正确，对于连AiB,则jABE为所成的角,

40、10解&ABE得sin /A1 BE =,正确102. AB II CD 提示： Vpueb10ZBDC =60口又由 BD =DC1 _，3 ,3一,得 DE =,又 AD = 2421-hP SBE ,要使体积为定值，则S#BE为定值，与E点位置无关，则 AB/ CD15.153., 提不：作DE B BC与E,易知AD _1_干面BCD ,从而AE B BC ,15To一2一 2. 15 ，一一一，. AE=4DE +AD 一，由可解的点到平面的距离为44.10cm 提示：MO=NO=30cm,过。作M N与旋转前的MN平行且相等，所以旋转后AB与平面M ON的距离为,502 302 =

41、40,故升高了 50-40=10cm.5.6.5.6三、解答题1 . (1)证明：在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D为BC中点，则AD，面BCC1B1,从而AD，MC 又CM AC1,则MC和平面ADC 1内两相交直线 AD , AC1均垂口，尸MC，面 ADC 1,于是 MC DC,(2)解：在矩形 BB1C1C 中，由 CM DC 1j知 DCCiA BMC ,设 BB1=h,则 BM= 1 h|1 h:a= ： h,求得 h=&a 42从而所求aa 1= -、2a2 .解：(I)以A为坐标原点，以射线 AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 p(0 ,0,衣)，A

42、(0, 0, 0), B(0,衣，0), C(2,衣，0), D(2, 0, 0), E(1, 0, 0) F 在 PC 上，可令 PF=KPC,设 F(x, y, z) EFL平面 PBC, EF PC =0且 EF BC=0 ,又 PF =ZPC ,一 1-2 一可得 九=一，x =1,y =z =故F为PC的中点.22(n )由(I )可知：EFXPC,且 EFXBC 即 EFXADEF是PC与AD的公垂线段，其长为|EF |=1(田)由(1)可知PC =(2,? -41 )即为平面BEF的一个法向量而 BD =(2,72,0)设BD与平面BEF所成角0 ,则:sin 0 =cos B

43、BD .PCBD 4 PCBD PC.33 - 0 =arcsin.故BD与平面 BEF所成角为 arcsin2-3. (1)证法一：如图，底面ABCD是正方形，BC DC .,SD，底面 ABCD，: DC是SC在平面 ABCD上的射影，由三垂线定理得 BCXSC.证法二：如图 1, ,底面 ABCD 是正方形， BCXDC . .SD，底面 ABCD , SDLBC,又 DC nSD=D,. BC，平面 SDC , . BC，SC .(2)解：如图2,过点S作直线l /AD,. l在面ASD上， 底面ABCD为正方形，,l / AD / BC;l在面BSC上，l为面ASD与面BSC的交线.

44、 / CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.BD=池,SB= 33, SAD=1 .NCSD = 45.(3)解 1:如图 2, SD=AD=1 , / SDA=90 ” , .SDA是等腰直角三角形.又 M是斜边SA的中点，DM SA . BA AD , BA SD, AD n SD=D ,BA，面 ASD , SA 是 SB 在面 ASD 上的射影.由 三垂线定理得 DM，SB .异面直线DM与SB所成的角为90解2:如图3,取AB中点P,连结MP, DP.在 ABS中，由中位线定理得MP/SB，二N DMP是异面直线DM与SB所成的角.丁 MP =-SB =,又DM =2 DP = ,1+(1)2 =理222 ,22, 在 DMP 中，有 DP2=MP2+DM 2,二 NDMP =90rl.异面直线DM与SB所成的角为90 .4.解：(1)在直角梯形 ABCD中，由已知DAC为等腰直角三角形，AC =q2a,/CAB =45 :过 C 作 CH XAB ,由 A