人教版数学八年级下册一次函数对一道教材例题的剖析与学习变式思考

1、人教版数学八年级下册一次函数对一道教材例题的剖析与学习变式思考在人教版八年级数学 P76 页上有如下例题：如图 1,小明家，食堂，图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读 报，然后回家图 2 反映了这个过程中，小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系根据图像回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？（2）小明吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？（4）小明读报用了多少时间？（5 ）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？题意剖析：解答时，需要解决好如下几个问题：1. 理解运动过程中，两个变量的生

2、活意义，坐标原点：时间为0,离家距离为 0 叫做起点；时间增加，距离增加，叫做“上升线”；至 9 达某个地点，逗留，时间增加，距离保持不变，叫做“逗留线”或“水平线”；继续行进，时间增加，距离也继续增加，叫做“续增线”，注意，“续增线”的起点是第二个目的地；行进到第三个目的地，时间增加，距离再次保持不 变，叫做“再平线”，意义与首次“逗留线”相同；去的过程结束；接下来，是返回运动，意义：时间增加，距离减少，叫做“下降线”或叫做“回归线”，距离为 0 时，表示返回到家，理解了运动性质，掌握运动的意义，才能更好解题；2. 清楚坐标轴的意义：横轴表示时间，是自变量，纵轴表示距离，是因变量，描述的是距

3、离 与时间的变化关系；3. 能读懂图像，看懂图像，清楚图像上每一个位置的意义 解答直播 ：（1）从图像上看出，第一次“逗留线”对应的纵坐标是0.6 ，所以食堂离小明家的距离为0.6 千米，此时，对应的横坐标为 8，小明从家到食堂用了 8 分钟；（2）第一次“逗留线”的起点横坐标为 8，终点横坐标为 25，所以小明吃早餐用时间为： 25-8=17 分钟；0.6 千米处，“再平线”对应的纵坐标为 0.8 ，所0.8-0.6=0.2（千米），它们对应的横坐标分别为 25,28 ，所以小 明从食堂到图书馆用了：28-25=3（分钟）；4）“再平线”的起点横坐标为28，终点横坐标为 58，所以小明读报用

4、了：58-28=30 （分钟）；（5）从图像看出， “再平线”的纵坐标为 0.8 ，所以图书馆离小明家为 0.8 千米， 从“回归线”看出，开始回归时，对应横坐标为58，回归 0 距时，对应横坐标为 68，所以返回行程的用时为：68-58=10 （分钟），所以小明从图书馆回家的平均速度是：0.8 十 10=0.08千米 / 分钟 .点评：解答时，要抓牢如下几个关键：1 .熟悉运动的实际意义；2. 准确确定停留时间，运动时间；3. 准确理解“上升线” ，“逗留线”，“再平线”和“回归线”的意义和计算对接口；4. 熟练掌握平均速度的计算公式 .变式学习：变式 1：单人运动型，辨析运动的图像例 1（

5、2017 年山东东营）小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（ m 与时间 t （ min ）的大致图象是（）3）从图像看出，继续运动的起点距离为以食堂离图书馆的距离为：分析：开始行驶的路程 S 随时间的增加而增加， 图像表现为经过原点的上升直线；等了几分钟，图像表现为：“逗留线”即平行 x 轴的线段，坐上公交车，再次回归为“上升线”，且比第一次“上升线”上升的更快，表现在图像上，直线要更陡，一共三个阶段，对照选择答案 即可解：小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此S 随时间 t 的增长而增长，等了几分钟后

6、坐上了公交车，因此时间在增加，S 不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此 S 又随时间 t 的增长而增长，整个运动过程经历了三个阶段，简单描述为上升- 水平-上升，所以选 C点评：解题时，注意如下几点：1. 清楚两个变量的实际意义，这是解题的关键，意义理解不准，解答自然偏离方向；2. 整体把握运动过程经历几个运动阶段；3. 清楚每一个阶段运动的性质，对接的是“上升线”，“水平线”，还是“回归线”，大致画出运动的草图；4. 精心“上细”，对照作答.变式 2:单人运动型，根据图像定距离例 2 （ 2018 年衢州市）星期天，小明上午 8： 00 从家里出发，骑车到图书

7、馆去借书，再骑 车回到家，他离家的距离 y （千米）与时间 t （分钟）的关系如图 3 所示，则上午 8: 45 小 明离家的距离是_ 千米.A.B.C.D.分析：解答时，读懂图像是关键，其次，灵活运用待定系数法确定函数的解析式，是解题的根本，利用求代数式的值得方法，确定对应的函数值，是问题答案呈现的最后一道关解：根据题意，得小明行驶的时间是45 分钟，根据图像的信息，得 此时小明在“回归线”k _40k+b =2_10上，设直线的解析式为 y=kt+b,所以，解得.0Ok+b=Ob = 61 1所以函数的解析式为 y=-t+6,当 t=45 时，y=-X45+6=1.5，所以小明离家的距离是

8、 1.51010千米点评：正确从图像中，获得解题真正需要的信息是解题的关键，其次，读懂图像的内涵也是解题的根本之一，熟练驾驭数学方法是解题工具选择的核心变式 3:单人运动型，根据图像解综合 例 3 (2018?南京)小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回， 刚好在第 16min 回到家中.设小明出发第 t min 时的速度为 vm/min，离家的距离为 s m,v 与 t 之间的函数 关系如图 4 所示(图中的空心圈表示不包含这一点).(1)小明出发第 2min 时离家的距离为m(2)当 2vt 5 时，求 s 与 t 之间的函数表达式;(3) 画出 s 与 t 之间的函数图象.m

9、intR1分析：解答时，要正确处理好以下几点：1. 最先要解决的就是读懂图像的意义， 明确图像是描述的哪两个变量之间的关系？实际意义又是如何？这一点是最重要的；2. 熟知距离、速度、时间的关系，灵活变形，熟练求解；3. 解答时，还要做到三个细心即读图细心，准确确定各时间段的运动速度；计算细心，会用(t-a )的方式表示最后时间段的时间；审题细心，刚好16 分钟回家，表明最后的运动需要分类求解即直接返回，还是先前行一段时间后返回，确定了最后阶段的运动类型，才能确定解答的方式；4. 根据图像的意义，需要分类讨论即OWt 2、2vtw5、5vtw6.25 和 6.25vt 16 四种情况，画出各自的

10、图形即可求解.解：(1)根据速度-时间图像知道，当运动第2min 时，小明的运动速度为 100m/min,所以小明出发第 2min 时离家的距离为： 100X2=200 (m).因此小明出发第 2min 时离家的 距离为 200m(2) 当 2vtw5 时，运动类型有两种，一是经历了 0-2min 的运动过程，第二阶段是超过 2 分钟，却不超过 5 分钟， 根据图像知道， 0-2 分钟时， 运动速度 100m/min， 当 2vtw5 时， 运动速度为 160m/min，所以 S=100X2+160X(t - 2) =160t - 120.所以 s 与 t 之间的函数表达式为160t - 12

11、0；(3) 当运动 5 分钟时，运动的路程为 160t - 120=160X5- 120=680 米，若运动时间超过 5 分钟时即作返回运动，需要的时间为680 十 80=8.5 分钟,从图像知道，最后阶段运动的时间为16-5=11 分钟，不符合题意，因此超过 5 分钟后，没有直接返回；假设超过 5 分钟后，继续运动了 x 分钟后返回，根据题意，得：680+80 x=80(11-x),解得 x=1.25,所以整个运动过程中，距离S 与时间 t 的函数关系如下:当 OWt5 时，S=100t ;当 2vt5 时，S=100X2+160X(t-2)=160t-120;当 5vtW6.25 时，S=

12、160X5+80X(t-5)=80t+280;当 6.25vtW16 时，S=80X6.25+280-80X(t-6.25)=1280-80t;100t;(0 兰 t 兰 2)160t120;(2t 兰 5)所以 s 与 t 之间的函数关系式为80t +280; (5vt E6.25)1280 - 80t;(6.25 r16)作图如下:点评：读懂图像，找到解题需要的信息是解题的第一个重要环节，熟练用 t 表示分段的时间，是解题的第二个重要环节；准确确定运动的属性，是解题的第三个重要环节，准确分类，是解题的第四个重要环节变式 4 变单一运动为双物运动，直线追击，定范围例 4 （2018 年杭州）

13、某日上午，甲、乙两车先后从 A 地出发沿一条公路匀速前往 B 地，甲 车 8 点出发，如图 5 是其行驶路程 s （千米）随行驶时间 t （小时）变化的图象乙车 9 点 出发，若要在 10 点至 11 点之间（含 10 点和 11 点）追上甲车，则乙车的速度 v （单位：千米/小时）的范围是_.120 - - - XiX |i / i / Z JFJjf|jTb图53屁分析：解答时，把握好两个关键点，一是先确定乙追上甲所用点的时间，二是根据这个时间，结合图像，确定甲运动的距离，从而确定乙的速度解：根据图像，当 Owt 3 时，s 是 t 的正比例函数，设 s=kt ,把 s=120,t=3 ,

14、代入解析式，得，120=3k，解得 k=40,所以 S=40t.当 10 点时，乙追上甲，甲行驶时间为t=10-8=2,所以 S=80,乙行驶时间为：10-9=1 小时，所以乙的速度为 80-仁 80 千米/小时；当 11 点时，乙追上甲，甲行驶时间为t=11-8=3,所以 S=120，乙行驶时间为：11-9=2 小时,所以乙的速度为 120- 2=60 千米/小时；所以乙车的速度 v 的取值范围是 60Wv 16 时，两车之间再次产生距离，此时乙车已经行驶在甲车的前面；当乙到达终点时，两车再次产生距离差；接下来的就是，乙车不动，甲车运动，直到终点解：列表如下：04163440t甲041634

15、40S甲024096020402400t乙00123036E乙009602400S003600由图可得，甲步行的速度为：240 十 4=60 米/分，故正确，乙走完全程用的时间为：2400+ ( 960+12) =30 (分钟)，故错误，乙追上甲用的时间为：16 -4=12 (分钟)，故错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-( 4+30)X60=360 米，故错误，所以选 A.点评：以甲的时间为自变量，在同一表格中列出甲，乙的运动关系，及两车间的距离是解题的关键，其次，要准确理解两次距离为 0 的意义，也是解题的核心之一，最后要强调的是一定要熟练掌握距离， 速度，时间三者之间的关系，能

16、根据题意随时计算速度的大小，距离的大小，时间的大小，既要局部求解，也要整体思考求解，让自己的解题具有全局意识，这样 才能提高解题的成功率 变式 8 双车相向相遇，同时，不返回型例 8 (2018?南通模拟)一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为 ykm,图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系,根据图象解决以下问题：(1)_ 慢车的速度为 _km/h，快车的速度为km/h ;(2) 解释图中点 C 的实际意义并求出点 C 的坐标；(3)求当 x 为多少时，两车之间的距离为500km.分析：正确理解 A,B,C,D 四点的实际意义是

17、解题的根本所在，具体意义如下：1点 A 的意义 当 x=0 时，y 最大值，意味着两车同时运动相向而行，且甲、乙两地相距 720千米；2点 B 的意义：甲、乙两车同时行驶3.6 小时相遇，两车距离为 0;3点 C 的意义：相遇后，两车继续前行，车距增加，点C 时，快车到达目的地；4点 D 的意义：乙车到达目的地，慢车继续前行，距离增加仅有甲车行驶得到，当甲到达目的地时，两车距离再次达到最大值，且此时的时间恰好是慢车行驶完全程的时间明确了上述四点的意义，解题自然顺利 解：(1)从图像看出，当 x=0 时，y 最大值，意味着两车同时运动相向而行，且两地相距720 千米，当 x=9 时，两车距离再次

18、最大，所以慢车的速度为:720 - 9=80 千米/小时,因为两车行驶 3.6 小时相遇，设快车的速度为bkm/h，所以 3.6 ( 80+b)=720,解得 b=120,所以快车的速度为 120 千米/小时，所以应该分别填写80，120;(2)图中点 C 的实际意义是：快车到达乙地；因为快车走完全程所需时间为720 十 120=6( h),所以点 C 的横坐标为 6,纵坐标为(80+120)x(6 - 3.6 ) =480,所以点 C (6, 480);(3)当 0Wx 3.6 时，设直线的解析式为 y=kx+720,把(3.6,0 )代入解析式，得3.6k+720=0,解得 k=-200，

19、所以直线的解析式为y=-200 x+720 ;当 3.6vxw6 时，设直线的解析式为y=kx+b,把(3.6,0 )，点 C (6, 480)代入解析式，得3.6k+ b = 0k = 200,解得,所以直线的解析式为 y=200 x-720 ;6k+ b = 480b = -720当 6vxw9 时，设直线的解析式为y=kx+b,把(9,720 ),点 C (6, 480)代入解析式，得9k+ b = 720k = 806，所以此情形不成立；当 y=80 x 的函数值 y=500 时，得 80 x=500 ,解得 x=6.25 ;综上所述，当 x=1.1 小时或 6.25 小时，两车之间的

20、距离为500km.点评：解答时，要处理好如下四个关键：1. 根据图像，正确理解四个特殊点的意义是解题的第一关键点；2. 正确把握两车距离产生的原理，是解题的第二个关键点；3. 根据图像，用待定系数法确定分段函数的解析式，是解题的第三个关键点；4.分类确定函数值对应的自变量，是防止漏解的有效方法，是解题的第四个关键点变式 9 两人相向相遇，同时，不返回型例 9. (2018?盐城)学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y (米)与时间 t (分钟)之间的函数关系如图10 所示.(1)_根据图象信息，当 t=

21、分钟时甲乙两人相遇， 甲的速度为_ _米/分钟；(2)求出线段 AB 所表示的函数表达式.分析：解答时，正确处理好图像展示的四条关键信息：1. 当 x=0 时，y=2400,表明学校与图书馆的距离为2400 米；2. ( 24,0 )表示 24 分钟后，两人相遇了；3点 A 表示乙回到了学校；4点 B 表示甲到达图书馆用时 60 分钟，从而可以确定甲的速度.解：(1)根据图象信息，当t=24 分钟时甲、乙两人相遇；点B 表示甲到达图书馆用时60分钟，所以甲的速度为2400 十 60=40 米/分钟所以分别填 24, 40；(2)因为 t=24 分钟时甲、乙两人相遇，所以甲、乙两人的速度和为 2400- 24=100 米/分钟， 所以乙的速度为 100- 40=60 米/分钟.所以乙从图书馆回学校的时间为2400- 60=40 分钟，所以两人的距离为(40+60)X(40-24 ) =1600,所以 A 点的坐标为(40 ,1600).设线段AB 所表示的函数表达式为y=kx+b，因为 A (40, 1600), B (60, 2400),点评：读懂图像中各个拐点的意义是解题的根本所在，其次，用线段图示法来帮助理解题意也是解题的一种重要辅助手段，希望同学们能把图像与图示紧密结合