2017年中国西部数学邀请赛试题及解析

1、2021中国西部数学邀请赛np 2n.1,设素数p、正整数n满足p2k2 1 .证实:k 1n一21.根据 k 1中的因子所含 p的哥次分情形讨论.k 1一 2222(1)假设存在k 1 k n ,使得p k 1 ,那么p n 1.于是,p . n2 1 2n.一一22k n,使得p j 1且p k 122(2)右对任意的k 1 k n , p ? k 1 ,由条件,知存在1 j22那么 p k j .于是,p|(k j)(k j).当 p|(k j),那么 p k jn 1 2n ；当 p|(k j),那么 p k jn n 12n 1 2n ,综上,p 2n.2、n为正整数,使得存在正整数

2、X1,X2,L , Xn 满足：X1X2 LXnx2 LXn100n ,求n的最大可能值.2、n的最大可能值为 9702,X 100i 1n1Xin 1i 1显然：由等式得又等号无法成立,那么nn而 XiXi 1i 1X n ,所以： i 1 nXi 99i 1n1 1Xi 1i 1那么 x x n 1 n 9899(n 98)T00n n 99 98 9702i 1i 1取x1 99, x2x3 Lx9702 1 ,可使上式等号成立3.如图1,在 ABC中,D为边BC上一点,设 ABD、 ACD的内心分别为 U, AID, AI2D的外BC .心分别为Oq.2,直线I1O2与I2O1交于点P

3、.证实：PDHDC图13.由OiA O1I1QD及内心的性质,知 Oi为 ABD外接圆弧 Ad的中点.如图2,延长如1, DI 2交于点Ji ,那么11为ABD中 B内的旁心,且O1为I1J1的中点类似地,延长DIi,CI2交于点J2,那么J2为 ACD中 C内的旁心,且O2为I2J2的中点过点D作DP BC.只需证实I1O2、I2O1、DP三线共点对DI1I2用角元塞瓦定理,只需证实：sinPDI2 sinDIi02sinQE11sinP DI 1 sinO2I1I2sinDI 2O1事头上,由 O2J2O2I 2 ,知 S O2I1J2S O2I1I2 ,那么 sinDI 1O2sinO2

4、I1J22s O2IJ2I1J 2 11022So“I1I2 I1O2N 2I 1J2同理:sin O1I2I1sin DI 2O1I2J1 又 sin PDI2I1I2' sin PDI1cos CDI 2cos BDI1所以只需证实：IJ1cos CDl2 1I1J2 cos BDI1即I2J1、I1J2在边BC上的投影长度相同.如图3,设I112,J1, J2在边BC上的投影分别为H1,H2,K1,K2那么 H2K1 DKi DH 211八八-(AB AD BD) -(AD CD AC)1八 八-(AB AC BC)1八 八同理：H1K2 (AB AC BC)所以：H2K1H1K

5、2,命题得证sin O2I1I2sinO2I1I24、给定整数n,k n k 2 ,甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的 n n的方格纸上玩游戏：两人轮 流选择一个白色小方格将其染为黑色,甲先进行 .如果某个人染色后,每个 k k的正方形中都至少有一个 黑色小方格,那么游戏结束,此人获胜.问谁有必胜策略4、解将方格纸按从上到下标记行,从左到右标记列假设n 2k 1,那么甲将第k行第k列的小方格染为黑色后,每个 k k正方形中至少有一个黑格,因此甲 获胜.下面假设n 2k,我们证实当n为奇数时,甲存获胜策略；当n是偶数时,乙有获胜策略.对于一个已经有假设干个方格染为黑色白局面：如果有两个不相交的

6、k k正方形所含的全是白格,并且方格纸内白格总数为奇数,我们称其为“好局面；如果有两个不相交的 k k正方形所含的全是白格, 并且方格纸内白格总数为偶数,称其为“坏局面我们证实当某人面对好局面时,他有获胜策略A假设甲面对好局面, 他先取定两个不相交的 k k正方形A和b,其中都是白格,由于白格总数为奇 数,可选取不在 A, B中的另一个白格,将它染为黑色,此时白格总数为偶数,且A, B中仍然都是白格,因此变为一个坏局面轮到乙面对坏局面,如果他染色后仍有两个不相交的k k正方形中都 是白格,此时白格总数是奇数,又回到好局面；如果他染色后,不存在两个不相交的k k正方形,注意到此时至少有一个全白格

7、的k k正方形,设A,L ,Am是所有全白格k k正方形,那么它们两两相交,故必包含于某个 2k 1 2k 1的正方形S,因此S的中央方格P是Ai,L ,Am的公共格,这样甲将 P染为黑色后, 所有k k正方形中都含有黑格,于是甲获胜.总之,当某人面对好局面时,他可以在自己的下一回合获胜或是仍面对好局面,而游戏必在有限步 内结束,因此他有获胜策略 曲上述论证亦可知.当某人面对坏局面时,他要么让对方下一回合即可获胜, 要么留给对方好局面,因此对方有获胜策略；在n 2k时.由于四个角上的k k正方形互不相交,且一开始都是白格.因此当n是奇数时,一开始是好局面,甲有获胜策略；当n是偶数时.一开始是坏

8、局面,乙有获胜策略.5.九个正整数ai,a2,L ,a9 允许相同满足：对任意的1 i j k 9,均存在与i、j、k不同的l 1 l 9 ,使得ai aj ak ai 100；求满足上述要求的有序九元数组ai,a2,L 自 的个数.5.对满足条件的正整数组 a,a2,L ,&,将ai,a2,L ,a从小到大排列为b1 2 L bg.由条件,知分别存在l 4,5, L ,9及l 1,2,L ,6,使得bi b2b3b blby bs bg100 .注意到,bb1,byb2,bsb3,bgb 结合式,知结论中的不等号均为等号于是,b2 b3 Lb8.因此,设 t1,b2,L ,bs,bg

9、(x, y,L , y,z),其中,x y z.由条件,知使x y z bl 100的bl的值只能为y,即x 2y z 100.(1)当x y z 25时,有 bb,L ,bg(25,25,L ,25),此时,得到一组 现向.(2)当x,z中恰有一个为y时,记另一个为 w,由式知w 3y 100.该条件也是充分的.此时,y可以取1,2,L ,24,26,27, L ,33这32种不同值,且每个 y值对应一组b1,b2,L,b9,进而,对应九组不同的a1,a2,L,a9,共有32 9288个数组a1,a2,L,a .(3)当x y z时,由条件,知存在某个 bl x, y, z,使得3y bl

10、100 ,与式比拟得y bl x z,那么必有bly.故y 25,x z 50.该条件也是充分的.此时,对x 1,2,L ,24,每个x值对应一组 b1,b2,L ,bg ,进而,对应9 8 72组不同的 a1,a2,L ,ag ,共有24 72 1728个数组 a1,a2,L ,ag .综上,知符合条件的数组个数为1 288 1728 2021.6.如图,在锐角 ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,线段BE与DC交于点H, M、N分别为线段BD、CE的中点.证实：H为 AMN的垂心的充分必要条件是 B、C、E、D四点共圆且BE CD .6.如图4,延长MH ,与AC交于点P ,延长NH

11、,与AB交于点Q.充分性.由B、C、E、D四点共圆知 BDH CEH .又BE CD ,从而,DHB、EHC均为直角三角形.注意到,M、N分别为斜边BD、CE的中点.那么 MDHMHD, MHB故 EHPHEC MHBHDB MBH HDB90所以：MHAC .类似地,NHAB .因此,H为AMN的垂心.必要性.AMN的垂心,那么MPAN, NQAM .故也QBDH sin DHQBH sin BHQDHsin CHNDH EH类似地,EPPCDH EHBH CH利用比例性质及如 EC DB知一PC QBBH sin EHN曰里四 无 PC QBDM MB,EN NC,NC MBNC MBPC

12、 QBPN QM又由于H为AMN的垂心,所以,DMHBHENPNCHDMQMENHD图4QM PN DM ENMH NH MH NHDMH s ENHMDH NEH所以：B、C、E、D四点共圆.设四边形BCED的外心为O易知,OM AB .从而,OM /NH .类似地,ON /MH .于是,四边形 MHNO为平行四边形,即 MH ON .过点B作MH的平行线,与 DC交于点X注意到,M为边BD的中点.那么 BX 2MH 2ON .由熟知的外心性质,知 X为 BCE的垂心.因此,CX BE ,即 CD BE .22_27.设正整数n 2q,其中,为非负整数,q为奇数.证实：对任意正整数 m ,方

13、程为 x? L % m1 .的整数解 X,x2,L ,xn的个数能被2 整除.7 .设方程的解的个数为 N m , Xi, X2,L , Xn为方程的一个非负整数解,不妨设其中有k个非零项注意到, x, x2,L , xn的每个分量有正负两种情形,恰对应原方程的2k个整数解.n_ k _设Sk为该方程恰有k k 1,2,L ,n个非零项的非负整数解的个数,那么 N(m)2 Sk.k 1由于k个非零项的非负整数解有 C：种位置可选,所以, C： |Sk .于是,要证实21|N m ,只需证实：2 k 1 Cnkk n(n 1)L (n k 1)汪忌到,Cn .k!log2 k 卜k那么分子中2的

14、因子个数至少为,而分母中2的因子个数为 ki i 2ii i 2i其中,x表示不超过实数 x的最大整数.kik故分母中2的因子至多有k 1个.因此,2Cn ,即2 1|N(m).nnn28 .整数n2 .证实：对任息正实数 a1,a2,L,an,均有 maxajmin aj一a .i i 1 j ii j,n2, n1 i 18.对n用第二数学归纳法.当n 2时,式左边a1 min a1,a2a2 max a1 ,a2 .假设a1a2 ,那么式2 一22a1a2 a a2 )命题成立;假设a1a2 ,那么式2222aa2a1a2,命题成立.假设命题对所有正整数k 2 k n成立,考虑n时的情形

15、.,记Gj,定义C12 JC2C3Cn,记 Mmax a1 j nj,并设akM .当k 1时,式左边nmin a.i j ni 1由 minnajmin aj2 j n jn-ai ,且当1 i 2n 有 min aj, aii j n Jn所以： minaji j n ji 1naii 2naii 2由均值不等式得式左边n-M 1ain 时,min a由归纳假设得:所以：式左边n2,n 1M2M2min aj那么式左边max a, 1 j imin a,i j n 1 j12ai1M2当2 k n 1时,结合k式左边maxaj.1 j i ji 1max a.1 j i ji 1k 1 2

16、Ck 1 aii 1k 1 2Ck 1 aii 1n2aii 2nn2-ai2 n 1 i imax aj1 j i j_2A ,min1a2 /n-1n 12aiMi 12 ；n-1 in2ai11,n时的证实得:min aii j n jmin a.i j k 1 jn k 12、. n kn 2Cn k 1aii kmini ki j najnaik 12aii k 1n2.n 1n2ai综上,命题得证注：取 2. n 1,a2 a3 Lan1知常数j为最正确2 .n 1附：本届邀请赛预选题1.如图5, ABC的外接圆为eO, D为 BAC平 分线上一点, BD与AC交于点F, CD与A

17、B交于 点E, EF与e O交于点G、H 点E在线段GF 上,GD、HD与e O分别交于点 N、M .证实：MN /BC1 .先证实一个引理引理如图6,在圆 中,AD、BE、CF三条弦共点于 P, AC与BE交于点X1,AE与CF交于点X2, X1X2与圆 交于Q,Q两点.假设QP,QP与圆 分别交于点 R、R, RR分别与BE、CF交于点 丫,丫2,那么B、丫、D, F、Y? D分别三点共线.证实：设BD与RR交于点Y, ER与DQ交于点Z 假设平行, 设其交于无穷远处.对圆内接六边形 DBERRQ ,由帕斯卡定理,知 Y、P、Z三 点共线.对圆内接六边形 READQ Q ,由帕斯卡定理,知

18、 X2,P,Z三 点共线.于是,X2,Y,P三点共线.从而,点Y与丫重合,此即B、丫、D三点共线.类似地,F、% D三点共线.引理得证.如图7,延长AD、CE、BF分别与e O交于点P、S T ,记PS、PT分别与MN交于点Q、R.由引理,知S Q、P, T、R、P分别三点共线.联结ST.由P为弧?C的中点PSC PTBT、R Q、S四点共圆QR/BC MN/BCQRS QTS BTS BCS2 .P为锐角 ABC内的一点,P关于边BC的中点Ma的对称点为Pa, Pa关于边BC的对称点为Qa ,AQa的中点记为Ra ,类似定义点RB, RC .假设点P在边BC、CA、AB上的射影分别为 H A

19、, H B, HC证实:RaRbRc与HaHbHc中央对称.3 .如图8,设线段H aRa,HbRb的中点分别为 M,N.下面证实点M与N重合,即只需证实：点M ,N到BC的距离相等,点M,N到AC的距离也相等.设点K到BC所在的直线的距离为 Yk ,即证yM YN ,依题意得PQa/BC.于是,YqaYp一11故YM2Y02YHa11YRa二YQaVa2 A4A1 Yp4Ya延长PH b至点Tb ,使得PH bH bTb ,那么 PTb AC .又 QbPb AC ,从而,QbFB / /PTb结合PQb /AC,TbPb/AC ,知四边形PTbPbQb为矩形.坨1故 Yn2 yq1YQb4

20、12 yH12 yH14 B1YQb4Yb12yHB14 YpYTb1414YqbYaYp14 Vp14 Ya1yC4 yp从而,Vm Vn ,即点M、N到BC的距离相等 类似地,点 M、N到AC的距离也相等因此,点M与N重合.设HcRc的中点为L ,类似可得点 M与L也重合.综上,RARBRC与 HaHbHc中央对称3.给定整数n 2 .求最小的正实数c,使得对任意复数n4,Z2,L ,Zn ,均有 Z CZii 11 i j nnZj|Zi 13.当 n2m 时,取 4Z2LZm1,zm1zm2 Lz2m当 n 2m 1 时,取Z1Z2LZm1,Zm1Zm2 LZ2m 1以上两种情形均有c

21、 2 .nn卜面证实：对任意复数 Z1, z2,L , Zn ,均有 Zi i 1zjnn事实上,对1 k n ,由三角不等式zzk zji 1j 1Zi i 1ZkZjj 1n Zk对k从1到n求和即得:nn Z 2ZkZji 11 k j nZkL-2综上,所求最小的正实数为 -.n4.设S为正实数集,满足：(1)1 S ,且对任意的x, y S,有x y,xy S.(两种写(2)存在S的一个子集P ,使得S1中的数均能唯一表示成 P中假设干数(允许相同)的乘积法假设只有因子顺序不同,那么视为同一种)问：S是否一定为正整数集?4.不一定.取S f | f为整系数多项式,且对任意的x 0有f x 0.易知集合S满足条件(1).接下来证实集合 S满足条件(2).取P f m S| f在Z x上不可约.对集合S中的任一元素f , f可以分解为首项系数为正的假设干不可约整系数多项式的乘积fflf2L fn.那么 f( ) fi( )f2( )L fn().由于f没有正实根,其任一因子fi均没有正实根,且fi首项系数为正,于是,对所有的x 0 ,均有f, x 0 .从而,fi ( ) P .下面证实分解的