北师版九年级数学上册同步培优讲义

1、第一节一一全等三角形【知识要点】1 .你能用数学符号叙述三角形全等的证明方法吗？2 .通过叙述你能总结出一些证明三角形全等的思路吗？3 .通过证明三角形全等我们可以得到些什么？4 .在遇到角平分线，高线，中线等时，你是如何构造辅助线得到三角形全等【典型例题】#例1 如图，已知正方形 ABC邛,E为CD上一点,F为BC延长线上一点，且CE =CF .(1)求证：ABCEADCF 若/FDC =30：,求/BEF的度数.#例2 如图，已知：BD, CE分另1J是4ABC的边AC和AB上的高，点 P在BD延长线上，BP=AC点 Q在 CE上,CQ=AB 求证：(1) AP=AQ(2) AP _L A

2、Q例3 .如图， MBC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜边BC的中点，E, F分别是AB, AC边上的点, 且 ED _L DF .若 BE=12, CF=5,求 DEF 的面积.例 4 如图，在 AABC 中，AB=AC, D, E, F 分别为AR BC, CA上的点，且BD =CE, /DEF =NB .求证：ADEF是等腰三角形例5 如图，M为BC中点，BE, CD相交于点 A,Z1 =N2,N3 =/4 .求证：ABMD 省 ACME例6如图，已知：正MBC的边长为a, D为AC边上的一个动点，延长 AB至E,使BE=CD连接DE,交BC于点P(1)求证：DP=EP(2)若D为A

3、C的中点，求BP的长.CGHDB例7如图，在等腰直角 MBC中，ZACB =90二， D是斜边AB上任一点， AE _L CD于E, BF _L CD , 交CD的延长线于F, CH _L AB于H,交AE于G 求证：BD=CG*例8 A , B, C三个村庄在一条东西走向的公路沿线（如图），AB=2千米，BC=3千米，在B村的正北方有 一个D村，测得/ADC =45 =,今将AACD区域规 划为开发区，除其中 4平方千米的水塘外，均作为建 筑或绿化用地，试求：这个开发区的建筑及绿化用地 的面积是多少平方千米？*例9 如图，在等月三角形 ABC中，延长边 AB到点D,延长边 CA到点E,连接D

4、E恰有AD=BC=CE=DE求证：.BAC =100* 例 10 如图，在 MBC 中，/BAC =100 ：AD=DC N1=22=10： EN_LAD 于点 N.D求/4的度数.大展身手_一、选择题:# 1.如图，D在AB上，E在AC上，且/B=/C,那么补充卜列一个条件后，仍无法判定AABE省AACD的是（A AD=AEB. . AEB = /ADCC. BE=CDD. AB = AC# 2 .如图，aabcaaef, ab=ae, /b=/e,则对于结论： AC =AF ;NFAB =NEAB ;EF =BC ；NEAB =NFAC ,其中正确的个数是（A 1B. 2C. 3D. 4#

5、 3.如图所示，&BDC是将矩形纸片 ABCD勺沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（）A 2对B. 3对C. 4对D. 5对# 4.如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点 O, 且 AD=AE AB=AC 若2B = 20 ：贝U /C =5 .如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上， 梯子顶端距地面的垂直距离 MA为a米，此时梯子的 倾斜角/MCA为75 ：如果梯子底端不动，顶端靠 在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角 /NCB为45 ：则这间房子的宽 AB是米.6 .如图，以等腰 RtAABC的斜边AB为边向

6、内作等边MBD，连接DC以DC为边作等边ADCE ,B E在CD的同侧，若 AB=/2,则BE=# 7.已知： MBC ( AB # AC )中，DE在 BC上, 且 DE=EC 过 D作 DF/AB 交 AE于点 F, DF=AC 求证：AE平分ZBAC# 8.如图，在 MBC中，AB=AC AD是中线，BE=CF(1)求证：ABDE 且 ACDF(2)当 /B =60 二时，过 AB中点 G,彳GH J. AD ,一一 1 _求证：GH AB4# 9.将一个长方形纸片 ABCDfe图所示沿对角线 AC折叠, 点B落在E点，AE交DC于F点.已知 AB=8cm, BC=4cm求：折叠后重合部

7、分的面积.10.如图， MBC 中，AB=AD AD平分/BAC , CM1， _ 一 垂直AD交AD延长线于 M.求证： AM = (AB + AC)11.如图，已知 AABC为等边三角形，相交于点 巳BQ _L AD于Q求证：2 /、AE=CD AD, BE.BP=2PQ八、A.12.如图，在四边形 ABCD,平分ZBAD, AC =BC.求证：*13.如图，在四边形 ABCDKRD C_ _ _ _片AB=2AD AC/小CD-ADL 二二AB=AD BAD =60 ,/BCD =120：求证：BC+CD=AC* 14.如图，在等边MBC中，D, 边上，且 AE=DC AD与BE相交十F

8、 求AF: BF的值.E分别在BC, ACA产D C小试锋芒姓名：成绩：# 1.如图，在AABC中，D是BC的中点，DE_LAB,DF _L AC ,垂足分别是E, F,且BE=CF求证：AB=AC# 2 .如图，AD为MBC的角平分线，M为BC中点,ME/DA,交BA的延长线于E.一 一 1, 一 求证：BE =CF =(AB AC)23.如图，已知： AABC 中，AC = BC,/ACB = 90 :D是AC上一点，AE _L BD ,交BD的延长线于E,一一 1 一一且AE =BD ,求证：BD是2ABC的角平分线. 24.如图，在AABC中，AD为NBAC的平分线，BP -LAD ,

9、垂足为 P,已知 AB=5, BP=2, AC=9试证明. ABC =3.C*5.如图，在 AABC 中，/C=60： AO BC,ABC ' , ABCA ' , ACAB '都是 MBC形外的等边三角形，点 D在AC上，且BC=DC(1)证明 AC' Bg AB' DG(2)证明 ACC g ADB' A;(3)对 AABC , AABC ' , &BCA ' , ACAB ', 从面积大小关系上，你能得出什么结论？* 6.如图，在凸四边形 ABC邛，/ABC=30：, /ADC =60二，AD=DC 证明：B

10、D2 = AB2 + BC 2第二节垂直平分线与角平分线【知识要点】1 .你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗？从做法上你得到什么启示 ？2 .你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗？从做法上你得到什么启示 ？3 .你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗？4 .你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗？【典型例题】# 例1 如图，AB=AC DE垂直平分 AB交AB于D,交ACA于E.若 MBC的周长为28, BC=8求ABCE的周长.# 例2 如图，AB> AG /A的平分线与BC的垂直平分线 DM相交于D,自D作DE _L AB于E,DF _LAC 于

11、F.求证：BE=CF# 例3如图，在 MBC中，NA =108AB=AG /1 =/2 .求证：BC=AC+CD# 例4 如图，AB=AC /B=/C,BAC的平分线 AF交DE于F.求证：AF为DE的垂直平分线.例5如图，P为AABC的BC边的垂直平分线 PG上一点，且NPBC =/A . BP, CP的延长线分别交 2AC AB于点 D, E.求证：BE=CD例 6 如图，在 AABC 中，NABC=3/C, /1 =/2 , AD -L BD ,求证：AC=AB+2BD例7 如图，已知 AD是AABC中NA的平分线，DE/AC 交 AB于 E, DF/AB 交 AC于 F.求证：点E,

12、F关于直线AD对称* 例 8 如图，在 AABC 中，AB> BC,2B=60： Z BAC ,/ACB的平分线交于点 G (1)图中是否有相等的线段？若有，请写出相等的线段，并证明.(2)图中线段AC是否等于其他两条线段的和？若有，请写出等式，并证明；若无，请 说明理由.* 例9 如图，AABC是边长为1的正三角形，&BDC 是顶角ZBDC =120 ：的等腰三角形，以D为顶点作一 个60 1,角的两边分别交 AB于M交AC于N,连接 MN形成 MMN ,求证：AAMN的周长等于2* 例10设4ABC的外心为O,在其边AB和BC上分别取点M和点N,使得2/MON =/AOC .

13、求证：AMBN的周长不小于边AC的长.大展身手姓名：成绩：* 1 .如图，已知 AC平分NPAQ，点B, B'分别在边AP, AQ上，如果添加一个条件，即可推出 AB=AB ,那么该条件可以是（）A B B' LACB. BC= B' CC. /ACB = /AC B'D. ZABC=Z A B' C# 2. M, N, A, B是同一平面上的四个点，如果 MA=MB NA=NB 则点、在线段 的垂直平分线上.# 3.设线段 AB的垂直平分线 MN交AB于点C, P是MN±不同 于点C的一点，那么 APAB是 三角形，PC是APAB的线、线和.

14、# 4.在AABC中，E为BC中点，DELBC交AB于点D, 若 ZB =25 二，AD=CD 则 /B =25 ; AD=CD 则 /ADC /ACB =.# 5 .在 MBC中，AB=AC DE是AB边的中垂线，垂足为 E, 交AC于D.若ABDC的周长为24, AB=14,贝U BC= 若 ZA =40 ：则 /DBC =.# 6.在 MBC中，/BAC =120 PM为AB边的中垂线，垂足为M,交BC于P; QN为AC边的中垂线，垂足为 N,交BC于Q则NPAQ =,或BC=9cm则MPQ的周长为cm.# 7.在 MBC中，/B , /C的平分线交于D点，已知/BDC =100 :则/

15、A的度数为# 8.在 MBC中，/B , £C的平分线交于 D点，过D作EF/ BC,分另1J交 AR AC于 E, F 两点，若 AB=6, AC=5 贝U AAEF 的周长为.# 9.如图，在 Rt&ABC 中，/C=90：, BE平分/ABC ,交AC于E, DE是斜边AB的垂直平分线， 且 DE=1cm 则 AC= cm.10 .如图，P为正方形外一点，/PAD =NPBC =15 一,求证：APDC为等边三角形.11 .在 AABC 中，ZC =22B,BC = 2AC .求/A 的度数.12 .如图，在AABC中，/ABC的平分线与2ACB的外角平分线相交于点 D

16、,过D作DE/ BC分别交AB, AC于 E, F,求证：EF=BE-CF13 .如图，在 AABC 中，AB=AC ZA =36 1/1=/2, E为AB中点，EDD BC延长线交于点 F.求证：AB=CF*14.如图,ABC 中，4 =/2 , AB=2AC DA=DB求证：AC± CD*15.如图，在 ABC 中，/ABC =90 二，/ACB=60：,/BAC和/ABC的平分线AD, BE相交于点F.求证：EF=DF*16. A, B两港在大湖南岸，C港在大湖北岸.A, B, C三港恰为一等边三角形的三个顶点.A港的甲船与B港的乙船同时出发都沿直线向C港匀速行驶，当乙船行驶出

17、 40千米时，甲、乙 两船与C港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行 驶达C港时，乙船尚距 C港20千米.问：A, B两港之间的距 离是多少千米？第二节一一平行四边形和梯形【知识要点】1 .你所了解的平行四边形的边线角具有怎样的性质吗？2 .我们是否可以根据平行四边形的性质来判定四边形为口？你总结了一定的规律没有?3 .回想一下常见梯形的辅助线做法，你能说明每种辅助线的用处吗?4 .三角形，梯形的中位线告诉我们怎样的数量或位置关系？5 .与梯形有关的动点问题如何解决？【典型例题】# 例1 如图，已知：梯形 ABC邛,AB/ DC,E是BC中点，AE, DC的延长线相交于点 F。连接AC

18、, BFo(1)求证：AB=CF(2)四边形ABFC是什么四边形？并说明你的理由。# 例2 已知：四边形 ABCD勺对角线AC BD相交于点O,给出下列5个条件：AB/ CQOA=OC AB=CD /BAD =/DCB ; AD/ BC(1)从以上5个条件中任意选取 2个条件，能推出四边形 ABC虚平行四边形的有 (用序号 表小)：O(2)对由以上5个条件中任意选取 2个条件，不能推出四边形 ABC比平行四边形的，请选 取一种情形举出反例说明。# 例 3.如图，在 DABCD, BE! AC于 E, DF± AC于F。G, H分别为BC AD中点。求证：四边形EGFH平行四边形。#

19、例4.如图，已知：等腰梯形 ABCD, AD/ BC, BD平分 NABC。 (1)求让：AB=AD (2)若 AD=2 /c=60 :求梯形ABCM周长。例 5 如图，在梯形 ABCD43, ABII CD> /C+/D=90；, 1 一 _、E、F分别为AB, CD的中点。求证： EF = (DC AB)。2例6 如图，在直角梯形 ABCD, AD/ BC, /B=90：, AD=24crm AB=8cm BC=26cm 动点 P 从 A 开始沿 AD边 向D以每秒1cm的速度运动；动点 Q从点C开始沿CB 边向B以每秒3cm的速度运动。P, Q分别从A, C同时 出发，当其中一点到

20、达端点时，另一点也随之停止，设 运动时间为ts ,求t分别为何值时，四边形 PQC时平 行四边形？为等腰梯形？例7如图，已知：四边形 ABCD等腰才!形，P 为底边CD上任意一点，过 P作PE/ BC交BD于F, 求证：PE+PF=AD# 例8.已知在&ABC中，E, F分别是AR BC的中点，G H分别是AC的三等分点，EGD FH的延长线交于 D.求：四边形ABCD平行四边形.# 例9 如图，已知 DABCID AB=q BC=b, (a<b),P为AB边上的一动点，直线 DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ勺最小值.# 例10如图所示，在平面直角坐标中，四边形OAB%等腰梯

21、形,BC/ OA OA=7 AB=4, / COA=60 , 点P为x轴上的一个动点，点 P不与点0、点A重合. 连结CP,过点P作PD交AB于点D.求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时， OCP为等腰三角形， 求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得/ CPD=/ OABBD 5且=,求这时点P的坐标。AB 8大显身手姓名：成绩：# 1 .平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形共有()A. 2对B. 4对C. 6对D. 8对# 2. DABCD43, AC为对角开,A已 BC于 E, C。AD于 F,则图中的全等三角形共有()D. 6对A. 3对B. 4对C. 5对# 3

22、. DABCM对角线交于 。点，过。作EF将AD于E,交BC于F,若AB=4, BC=5 OE=1.5,则四边形 EFCD勺周长为()A. 10B. 12C. 14D. 16# 4 .等腰梯形上底为4,腰长为5行,下底与腰的夹角为 45则梯形面积为（）A.45B.54C. 45.2D.90# 5.等腰梯形上底与高相等，下底是上底的 3倍，则底角为（）A.30B.45C. 60D.90# 6.如图，在四边形 ABCD43, /ADC =90一，AC=CB=10 E,F分别是AC AB中点，且NDEA =/ACB =45 求DF长.7,已知：如图， DC/ AB, DBL AB,若 AB+BD+D

23、C=16梯形ABC曲面积为32,求AC的长.A88.如图，已知： AABC , MDF , &CDE均为等边三角形 求证：EF与BD互相平分.9.如图，已知： BD为DABCD寸角线，过 C作CE/ BD,连接AE交BD延长线于F点。求证：AF=FE10 .如图，梯形 ABCM, AD)/ BC, AD=2 BC=6 E, F 分别是 对角线BD AC中点，求EF的长.11 .如图，在四边形 ABC阴鱼塘的四个顶点处，是四棵古树, 现在要将鱼塘面积扩大 1倍，又要保护古树，请你画图说明扩 大的方法.12 .如图，四边形 ABCN, E, F, G, H分别是AB, CDAC BD的中点

24、，且 E, F, G, H不在同一条直线上.求证：EF与GHE相平分.* 13.在四边形 ABCD43, AB/ CD 且 AB+AD=CD+BC.求证：AD=BC* 14.如图，在菱形 ABCM, AB=10 /BAD = 60 1点 M从点 A以每秒1个单位长的速度沿着 AD边向D移动，设点M移动的时间为t 秒(0wtwi0)口(1)点N为BC边上任意一点，在点 M的移动过程中，线段 MN>J一否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由(2)点N从点B (与点M出发的时刻相同)以每秒 2个单位长的AS速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形 ABNM勺面积最大？并求出最大值

25、.(3)点N从点B (与点M出发的时刻相同)以每秒 a(a>2)个单 位长的速度沿着射线 BC的方向移动，过点 M作MP/ AB,将BC于 点巳当AMPN叁AABC时，设AMPN与菱形ABCD1叠部分的 面积为S,求出用t表示S的关系式，并求出 S=0时a的值.小试锋芒# 1.平行四边形的周长为 56cm,两邻边之比为1:3,那么它的较短边长为cm.# 2.已知平行四边形中一组对角的和是200 :则其中较小内角的度数为 # 3. ABC湄长为60cm,对角线交于。点，MOB的周长比BOC的周长多8cm,则AB= cm.# 4.在等腰梯形 ABCD43, DC/ AB, AC平分- DAB

26、, /DAB =60：梯形周长为8cm,则AD的长为 cm.# 5.在梯形 ABC邛,AD/ BC, AD=AB=DC BD± CD 贝UC =度.6 .如图，ABCM,对角线 AC和BD相交于点 O,如果 AC=12BD=1Q AB=m那么m的取值范围是()A. 1V m< 11C. 10Vm< 12B. 2Vm< 22D. 5Vm< 6nE7 .如图，在等腰梯形 ABCD, AD/ BC AB=DC CD=BC E 是 BA CD延长线的交点，ZE =40 1则ZACD=8 .如图，已知 E是ABCD43 DC边的延长线上一点，且 CE=DC连接AE,分另

27、1J交BC, BD于F, G连接AG交BD于O,连接FO.求证：AB=2FO.9 .如图，在 AABC 中，ZBAC =90 延长 BA到点 D,彳AD =- AB ,点E, F分别为边BC AC的中点.(1)求证：DF=BE(2)过点 A作AG/ BC,交DF于点G,求证：AG=DG第三节一一特殊平行四边形【知识要点】1 .你能叙述特殊平行四边形和平行四边形的性质有哪些区别和联系吗？2 .由平行四边形转化为特殊平行四边形的证明中你总结了哪些易记实用的方法?3 .在解决特殊平行四边形的计算问题上你能举出哪些有效的方法吗？4 .特殊平行四边形的综合题中是如何将数形结合、方程、分析等思想展现的？【

28、典型例题】# 例1 如图，已知：过 DABCD勺对角线交点 。作 互相垂直的两条直线 EG FH,与DABC格边分别相 交于点E, F, G, H.求证：四边形 EFGK菱形.# 例2 如图， ABC中，。为AC边上一个动点,过O作直线MN/ BC NACB及其外角的平分线， 分别交 MNF E, F. (1)证明：EO=FO(2)当点O运动何处时，四边形 AECF是矩形？ 简要说明理由.# 例3 如图，已知在菱形 ABC邛，E, F分别是BC CD上的点，且CE=CF.(1)求证：MBE MDF(2)过点C作CG/ EA交AF于H,交AD于G.若NBAE =25 ： /BCD =130 :求

29、AHC 的度数.B#例4 如图，在正方形 ABCD, P为对角线 AC上任 意一点，PH AB于E, PF, BC于F.试猜想EF与PD的 数量关系、位置关系，并说明理由 .例5 如图，在矩形 ABCM, E为AD上一点，且 BE=EDP为对角线 BD上一点，PGL AD于G, PF± BE于F.求证：AB=PF+PG例6如图，已知四边形 ABC虚正方形，对角线 AC,BD相交于O,四边形AEFC是菱形，EHL AC,垂足为H.，、一1求证：EH = FC2例7如图，已知AABC ,分别以国AB, CA为边向外作等边APBA和等边AQAC ,并在BC上方作等边ABCR ,(1)求证：

30、四边形 APR址平行四边形.(2)当 MBC是什么三角形时，四边形 APRQ菱形？(3)当NBAC多大时，四边形 APRQ矩形？# 例8 已知：如图，正方形 ABCM,延长 AD到E, 使DE=AD再延长 DE至ij F,使DF=BD连接BF,交CE 于M 交DC于N.求证：MD=MN.# 例9 如图，M是边长为1的正方形ABCDrt一点.ZCMD =90 ： MA2 MB 2 =1，求/MCD 的度数2# 例10 已知：如图矩形 ABC邛,AB=4m BC=6m E为BC的中点，动点P以每秒2m的速度从A出发，沿着 AED 的边，按照从 A一DA的顺序环行一周，设 P从A出发 经x秒后， A

31、BP的面积为ym2,求y与x的函数关系式.大显身手姓名：成绩：# 1 .顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（）A等腰三角形B.正方形C.菱形D.矩形# 2.下列说法中，错误的是（A 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B.两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C.四个角都相等的四边形是矩形D.邻边相等的四边形是矩形# 3.如图，有一矩形纸片 ABCD AB=10, AD=6将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为 AE再将AAED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F,则CEFF的面积为()A 4B. 6C. 8D. 10# 4.在菱形 ABCD43, E是AB的中点，作 EF/ BC,交

32、AC于点F.如果EF=4,那么CD的长为( )A 2B. 4C. 6D. 8# 5.如图，E, F, G H分别是正方形 ABC陷边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5,则大正方形的边长应该是( )A 2 5B. 3 5C. 5D. 5# 6.菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm,那么这个菱形的周长为()A 40cmB. 20cmC. 10cmD. 5cm# 7.矩形ABCD, M是BC的中点，且 MAL MD若矩形的周长为48cm,则矢I形ABCD勺面积为3 cm# 8.如图，菱形 ABCD勺对角线的长分别为 2和5, P是对角线AC上任一点（点 P不与点A, C重合），且PE/ B

33、C交AB于E, PE/ CD交AD于F,则阴影部分的面积是# 9.如图，在长方形 ABCD43, BD是对角线，/ABD =30:将AABD沿直线BD折叠，点A落在点E处，则/CDD.10 .如图，矩形 ABCM,对角线 AC, BD相交于点O, E为矩形外一点，且 AE± EC.求证：BEX DE.11 .如图，已知：BF, BE分另为AABC的/ABC及其邻 补角的平分线.AELBE于E, AF± BF于F.EF分别交AB, AC于M N.求证：（1）四边形 AEBF是矩形；（2） BC=2MN.12 .已知：如图，菱形 ABCD43, E是BC上一点，AE, BD.1

34、D交于 F,若.DAE =2. BAE, AB=AE 求证：AF=BE.*13.如图，在正方形 ABC邛，E为CD上一点，且 /AED = 2/DAE.F 为点 AE中点，FMLBD交CD于 M.求证:EN=2EM.* 14.如图，在矩形 ABCD43, AB= 6 米，BC= 8 米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移 动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB 向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0<t<5）后，四 边形ABQP勺面积为S米2. （1）求面积S与时间t的 关系式；（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形 ABQP 与 CPQ的面积能否相等？若能，

35、求出此时点P的位置；若不能，请说明理由.*15.如图，已知： DABCD43, M为CD边中点，AD=DMBNL AD于 N,连接 MN求证：/CMN =3ZMND第四节一元二次方程解法与应用【知识要点】1 . 一元二次方程你知道有哪些常用解法？2 .还记得如何用配方法解方程吗？3 .因式分解法解方程的理论依据是什么？4 .如何解决实际应用中的增长率和经营问题？【典型例题】#例1判断下列方程是不是一元二次方程：24(1) x2y=1(2)二=1(3) xy 1=0x 1(4) 2x+x2=3(5)(a1X2+k=1 (a、k 是常数)(6) x -1 x2 x 1 = x2 - 2x 1 x

36、-1#例2 .当m为何值时，方程 3mx2 - 2mx =5x2 + m是关于x的一元二次方程?(2) 81 x -2 2 =162-2 一(4) x 2ax + a = 0#例3.用适当的方法解下列方程:(1) x -1 2 =5(3) x2 -4x - 5 = 0例4.用配方法解下列方程 2x2 -5x 1=0(2)x2px q =0(p2 - 4q _ 0)(4) y-2 y 1 y y-1 =0例5.用适当的方法解方程(1) 3x2 5x =4x(x 3)-2(2) (x2)(x 3) = 6(3) x2 - 3x - . 2x 6=02(4) (2y1)2 =3(12y)例6.容器盛

37、满纯酒精 50升，第一次倒出一部分纯酒精后用水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液，再用水加满，这时容器里的溶液含纯酒精32升，求每次倒出溶液的升数.例7某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元现售，很快售完.由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了 150元，所购数量比第一次多 10本.当这批书售出 时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余5的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了(不考虑其它因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？J 3 - 1,4 L 32* 例8.已知a =，求a -5a +6a 5a + 4 3 1* 例9

38、.已知方程x2+bx+c =0及x2+cx+b =0分别各有两个整数根 x1，X2及x；,x2,且 x1x2 A0,x11x2 >0. (1)求证：x1 <0, x2 < 0,x11 <0,x2 < 0 ； (2)求证：b1McMb + 1； (3)求b,c所有可能的值.* 例10.小强有5张人民币，面值合计 20元。(1)小强的 5 张人民币的面值分别是 元，元，元，元，元.(2)小强到水果店，称了 x斤苹果(x是整数)，按标价应付y元，正好等于小强那五张人民币中的两张面值之和。这时果筐里还剩6斤苹果。店主便对小强说：“如果你把这剩下的也都买去，那么连同刚才已经

39、称的，一共就付10元钱吧。”小强一算，这样相当于每斤比原标价减少了 0.5元。本着互利原则，便答应了，试求x和V。【大展身手】一、选择题(每小题4分，共20分)* 1 .下列方程中，关于 x的一元二次方程是().2_11A. 3x1=2x1B. -2=0x xC. ax2 bx c = 0D. x2 2x =x2 14 2# 2、已知3是关于x的万程x 2a+1=0的一个解，则2a的值是()3A.11B.12C.13D.14A. x2-2x-99=0 化为(x-1) 2=1002.7 c 81C.2 t -7t-4=0 化为(t)2=一 4163# 4.万程x 4x=0的解是()A、一 2,

40、2B、0,-22# 5.用配万法将二次二项式a + 4aA. (a-2)2 1C. (a-2)2-1二、填空题(每空3分，共30分) 22# 1、右万程 mx + 3x - 4 = 3x 是# 3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是(B. x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25D.3y -4 y-2=0 化为(y )2 39C 0, 2D> 0, - 2, 2+ 5变形，结果是()2B. (a 2)2 12D. (a 2)2-1关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是# 2、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：(1) 4x2 +16x =5 ,应选用 法；(2) 2(x

41、+2)(x -1) =(x +2)(x +4),应选用 法；(3) 2x2 3x 3 = 0 ,选用 法.# 3、已知代数式7x(x+5)+10与代数式9x9的值互为相反数，则 x=.2# 4,方程x2 +2x3 = 0的解是_；5 .如果(2a +2b +1)(2a +2b -1) =63,那么 a +b 的值为；6 .已知关于x的一元二次方程(2m1)x2 +3mx + 5=0有一根是x=1,则m=。7 .设x2 +3x = y ,那么方程x4 +6x3 +x2 24x 20 = 0可化为关于y的方程8 .方程（x2 3）2 +12 =8（x2 3）的实数根是 。三、解下列方程（每小题6分

42、，共36分）1 .（配方法）x2+4x12 = 02.（公式法）3x2 + 5（2x + 1） = 03 .(因式分解法)3(x-5)2 =2(5-x)2 22 cx - y =16x y = 2r 2 ,2“x +y =13x + y =12x _ y = 16 .2x2 -3x-2y-10 = 0五.应用题（每小题 7分，共14分）1 .某百货商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件赢利 40元，为了迎接六一国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出 8件.要想每天在销售这种

43、童装上赢利1200元，那么每件童装应降价多少元？2 .表示我国农村居民的小康生活水平实现程度： 某贫困县地处西部，农村人口约50万.2002 年农村小康生活的综合实现程度才达到68%即没有达到小康程度的人口约为( 1-68%) X50万=16万.解答下列问题：(1)假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底使没有达到小康程度的16万农村人口降至10.24万，那么平均每年降低的百分率是多少？(2)如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近上图哪一年的水平(假设该县人口 两年内不变？)【附加题】* 1 .解方程(1) 169x2 39x2 =0(2) (1 +V2)x2 (3+J2)x

44、+V2 = 02* 2.当x为何整数时，代数式 9x2 +23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积?* 3.有一特殊材料制成的质量为 30克的泥块，现把它切开为大、小两块，将较大的泥块放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克。若只考虑该天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你根据杠杆平衡原理，求 出较大泥块和较小泥块的质量。元二次方程综合【知识要点】I、你能用公式形式写出一元二次方程的四种常见解法吗？1 . 2 . 3 . 4 . 【练习】# 1,已知方程x +幽工+ 2=0的一个根是2,则m=# 2,下列一元二次方程中，两根分别为-1+J5、1

45、J5的是（）A . x2+2x+4=0B. x2+2x-4=022C . x 2x+4=0d. x 2x4 = 03.设一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a # 0）的两个根是x1, x2，给出下列等式不成立的是A.22 b -2acxix2 =2aC.x2cV b2 -4acB. x2 x1=.；la2D. ax bx c = (x-x1)(x-x2)221* 4.已知抛物线 y = x +x + b经过点（a,-）和（a,y1），则y1的值是 4* 5.已知：m, n是有理数，方程 x2 +mx + n=0有一根为 J52则m+n=II、一元二次方程的判别式说明了怎样的充要关系

46、？* 1.当m=时，方程x2+mx+4=°有两个相等的实数根；2 当m 时，万程mx +4x+1 =0有两个不相等的实数根; 如果x2 2(m+1)x + m2+5是一个完全平方式，则 m= 方程2x(mx-4) =x2 -6没有实数根，则最小的整数 m=2 2# 2 .关于x的方程x +(3m1)x+ 2m m 0的根的情况是A .有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C .没有实数根D.有两个实数根y = (m 1)x m -1 不经过D.第四象限3 .若一元二次方程x2 -2x-m=0无实数根，则一次函数( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限4 .已知a、 b、c是不全

47、为0的3个实数，那么关于x的一元二次方程2.、.2_22、一x +(a+b+c)x+(a +b +c ) = 0的根的情况是()A.有2个负根B.有2个正根C.有2个异号的实根D.无实根22* 5.已知关于x的二次万程x +p1x + q1=0与x +p2x + q2=0,求证：当Pi P2 =2(q +q?)时，这两个方程中至少有一个方程有实根。、一 22* 6.已知关于x的万程x +(2m + 1)x + m +2 = 0有两个不相等的实数根，试判断直线y=(2m3)x4m+7能否通过点 M(-2,)并说明为什么？2_III、万程ax2 +bx + c = 0(a#0,b 4ac至0)韦达

48、定理公式是：? # 1.已知方程3x2 -6x -2 =0的两根分别是x1，x2,不解方程，求下列代数式的值：22，、11(1) x1 +x2(2)+(3) |x1 - x2 |xi x2# 2.已知x1,x2是关于x的方程x2 -6x +k =0的两个实数根，且 x2x2 -x1 -x2 = 115,22(1)求k的值；(2)求x1 +x2 +8的值.3 .关于x的二次方程ax2 -(3-a)x+1 =0的两根的倒数和比两根的相反数的和大2,则a=.4 . (1)已知：a、b是互不相等的实数，且 a2 -a -1 = 0, b2b1=0, 求a2 +b2的值。111c ab 1 .* (2)

49、已知一2+_1 =0, b4 +b2 1 =0,且一#b：求的值。a aaaIV、什么样的二次三项式可以在实数范围内因式分解？# 1,已知二次三项式 3x2+4x + m,当m为何值时(1) 3x2 +4x+m能在实数范围内分解因式(2) 3x2+4x+m不能在实数范围内分解因式(3) 3x2 +4x+m是完全平方式2_ _.2 1 7- 2 - ,. 7 一. . 一.# 2.已知万程 3x +4x1=0两根为x =, x=,则二次三项式3323x "X -1分解因式的结果是 3 .在实数范围内分解因式：2x2 -x -24 .实数范围内分解因式：(x2 x)2 -1V、我们学到了

50、那些通过一元二次方程来降次或求值的方法?r 12004* 1 .当 x =2时,多项式(4x3 2007x 2004)2005 的值为432x +3x 16x +3x -17 的值1 c* 2.已知：x + =3, x、一 232* 3.已知x1, x2是万程x -x-9 =0的两个实数根，求代数式x1 +7x2 +3x2-66的值.VI、一元二次方程的应用题与可化为一元二次方程的分式方程的应用题有那些联系和区别：# 1.某科研公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，签定的合同上约定两年到期一次性还本付息，利息为本金的8%该产品投放市场后，由于产销对路，公司在两年

51、到期时，除还清货款的本金和利息外，还盈余 72万元.若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分率相同，则每年资金增长的百分率是多少？2 .某商店经销一种销售成本为每千克 40元的水产品，据市场分析，若按每千克 50元销信, 一个月能售出500千克；销售单价每涨 0.5元，月销售量就减少 5千克.针对这种水产品的 销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价为每千克不超过 100元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为多少?3 .在抗击“ SARS的过程中，某厂甲、乙两工人按上

52、级指示同时做一批等数量的防护服，开始时，乙比甲每天少做 3件，到甲乙两人都剩下 80件时，乙比甲多做了 2天，这时，甲保持工作效率不变，乙提高了工作效率后比原来每天多做5件，这样甲乙两人同时完成任务。求甲乙两人原来每天各做多少防护服* 4.两列火车分别从 A B两站同时发出，相向而行，第一列车的速度比第二列车每小时快10 km,两车在距A、B中点28 km处相遇，若第一列车比原来晚发出45分，则两车恰在 AB中点相遇，求 A、B距离及两车的速度.【大展身手】,、一1 J# 1.解万程 x+=2,得 x =;x 222# 2.解万程1993x 1991x 2 =0的较大的根为 m,方程x +19

53、91x1992 =0的较小的根为n,求m -n ；3.解方程组：J x +y=54.在实数范围内分解因式 x22j3x + 3y -3x + 5 = 011 b a5.已知 a =,b =-:则 一 十 + 2 的值;.5 -25 2 a b4 - , 7 _x2* 6.已知：x=,求不o的值。3 x x 1第五节相似图形【知识要点】1 .形状相同的图形是相似图形。2 .对应边成比例，对应角相等的多边形称为相似多边形。3 .相似图形对应边的比称为相似比。4 .相似三角形的对应中线，对应高线，对应角平分线之比等于相似比。5 .相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。【典型例题】例1已知：如下图， ABSDEF则这两个三角形的相