奥数几何三角形五大模型带解析

1、三角形五大模型【专题知识点概述】精品文档本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分 知识的综合运用能力重点模型重温一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图G § a：b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 &acd反之,如果SxacdSa bcd ，则可知直线,I平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四 边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底

2、相等,面积比等于它们的高之比.、等分点结论（“鸟头定理”）2 1如图，三角形AED占三角形ABC面积的X=3 4三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) Si : S2=S 4 : S3 或者 Si XS3=S 2 XS4 AO : OC= (S1+S2) : (S4+S3)梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) Si : S3=a 2 : b2Si : S3 ： S2 ： S4= a 2 ： b2 ： ab : ab ;S的对应份数为(a+b) 2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。判断相似的方法：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角

3、形相似；两个三角形若有两条边对应成比例， 且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。a b £ABC Si : S2=a 2:A2模型五：燕尾定理SzABG: SMGC = SzBGE: Sz2GEC=BE: EC;SzBGA: SzBGC = S9GF: Sz2GFC = AF: FC;SzAGC: SzBCG = SADG: SzDGB = AD: DB;【重点难点解析】1.模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2.在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”1.三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级派）如图，长方形 ABCD勺面积是56平方厘米

4、，点 E、F、G分别 是长方形ABCM上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影 部分的面积.D【例2】（难度等级派）如右图，ABFE和CDEFtB是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.B【例3】（难度等级派）如图，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E F分别为AB和AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级派）如图，在面积为 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长 CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。【例5】（难度等级）如右图BE= BC, CD= AC,那么三角形AED

5、的面积是三角形 ABC面积的几分之几?【例6】（难度等级派）如图所示，四边形 ABCDW AEGFFTB是平行四边形，请你证明 它们的面积相等.【例7】（难度等级派）如图，在长方形 ABCD43, Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果 AB=24厘米，BC=8厘米,求三角形ZCY的面积.【例8】（难度等级）如图，正方形 ABCDW边长为4厘米，EF和BC平行，ECH 的面积是7平方厘米，求 EG的长。32,则图中阴影部分的面【例10（难度等级派）如图已知四边形 ABCDF口 CEFGTB是正方形，且正方形 ABCDW边长为10厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米 ？【例11 （

6、难度等级派）如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为12, 23,积为？【例12（难度等级派）如图，平行四边形 ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16 厘米。求平行四边形 ABCDB勺面积。【例13（难度等级）如右图，正方形 ABCD的边长为6厘米， ABE ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形 AEF的面积.【例14（难度等级）如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4 BE=3, AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几？ADDF【例15（难度等级M）某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线AC BD分成四个部分

7、，4AOB面积为1平方 千米，BOC®积为2平方千米，ACOD勺面积为3平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例16（难度等级派）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米？型【作业】1 .如图，三角形 ABC中，DC 2BD, CE 3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形 ABC的面积是多少？2 .如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13, 35, 49.那么图中阴影部分的面积是多少？小正方形的边长是3 .右图是由大、小两个正方形组成的, 求三角形ABC的面积。4 .如图，

8、平行四边形 ABCD BE=AB CF=2CB GD=3DCHA=4AD平行四边形ABCD勺面积是2,求平行四边 形ABCM四边形EFGH的面积比.1 一 ，一5 .如图，在4ABC中，延长BD=AB CE=- BC, F是AC的中点,2若 ABC的面积是2,则4 DEF的面积是多少？【例1】（难度等级派）如图，长方形 ABCD勺面积是56平方厘米，点 E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【分析与解】如右图，连接BH、HC,由E、F、G分别为AB、BC、CD 三边的中点有 AE=EB、BF=FC、CG= CD.因此S1= S2, S3= S4

9、 , S5= S6,而阴影部分面积= S2+ S3+ S6,空白部分面积=S1+ S4+ S5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴 影部分面积为28.【例2】（难度等级派）如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.【分析与解】上排4个阴影三角形的高都等于 BF,底边之和恰好为 AB ,他们1 _ 、，一的面积之和为 一BF AB ;下排4个三角形的图都等于 CF,底边之和恰好为 CD,他们的2一，1 -之和为CF CD21 1 一BF AB CF2 2面积1 -一一，CF AB.所以阴影部分面积为：21

10、-1、一，AB-BCAB-3 46（平方厘米）.2 21 -、一，一 S ABC6平方厘米.4【例3】（难度等级派）如图，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E F分别为AB和AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【分析与解】、， 八1八 一 一一，一 一 ，首先，S ABC BC AD 24平方厘米，而F是AC中点，21八一，-1八所以 S ABF S ABC .又 E AB 中点，所以 S EBF - S ABF22【例4】（难度等级派）如图，在面积为 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长 CF交AB边于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面积

11、之和。【分析与解】连接DE,于是三角形AEF的面积二三角形EFD的面积，所求被转化为三角形 EDC的面积。因为F是AD中点，所以三角形 AEC的面积和三角形 EDC的面积相等，设 S BDE为1份，贝U S AEC=S EDC为3份 因此S ABC 一共7份,每份面积为所以S EDC占3份为。77【例5】（难度等级）如右图BE=（ BC, CD= AC,那么三角形 AED的面积是三角形 ABC面积的几分之几?【分析与解】上图中，三角形 AEC与三角形ABC的高相等，而BE= * BC,于又由于三角形 AED与三角形 AEC的高相等，而 CD= 1AC,于4BC,SAECSABCAD= 3 AC

12、,4SAEDSAEC所以，三角形AED三角形ABC的面积3的面积=X三角形AEC的面积=41。，.=一 X三角形ABC的面积2【例6】（难度等级派）如图所示，四边形 ABCDW AEGF都是平行四边形,们的面积相等.【分析与解】连接BE日显然有S ABE1S八 SABCD ，2S ABE1s八 SAEGF2所以SABCDSAEGF【例7】（难度等级如图，在长方形 ABCD43,Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米,求三角形ZCY的面积.【分析与解】SABCDAB BC 192平方厘米因为Y是BD中点，Z是DY中点，所以c1 ,1 c 、1,1 ,1 cV.1 CS

13、ZCY二（二 S CDB ）二二（二 SABCD）二 SABCD242 22 2 28【例8】（难度等级）如图，正方形ABCDW边长为4厘米，EF和BC平行，ECH 的面积是7平方厘米，求 EG的长。【分析与解】1XEGXAE + 1XEGXEB = 7 平方厘米22 rr 1即_XEGXAB=7平万厘米；EG=3.5厘米2【例10（难度等级派）如图已知四边形 ABCD CEFGtB是正方形，且正方形 ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米？【分析与解】 连接CF 由ABCD和CEFG都是正方形有 BDC DCF 45所以BD PCF .由平行线间距离相等知三

14、角形BDF和三角形BDC同底等高C 11 -所以 s BFD S BCD - SABCD502【例11 （难度等级派）如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为 12, 23, 32,则图中阴影部分的面积为？【分析与解】如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.【例12（难度等级）如图，平行四边形 ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形 ABCDB勺面积。【分析与解】BCX14=CD X16,BC: CD=16 : 14 ,BC+CD=752，BC=75216x16 14=20ABCD面积=14

15、 X20=280 （平方厘米）【例13（难度等级派）如右图，正方形 ABCD勺边长为6厘米， ABE 4ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.【分析与解】因为ABE、9DF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与 ABE、AADF的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是:SI边形 AECF & ABESA ADF1-6 6 123【例14】如图，三角形在GABE中，因为 AB=6.所以BE=4,同理 DF = 4,因此 CE=CF = 2, ，ZECF 的面积为 2X2+2 =2.所以Sa AEFS四边形 AECF SaECF =12 2=10

16、（平方厘米）（难度等级派）ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4BE=3, AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几?【分析与解】由 BD DC BD=DC有羯41,有 BD BC ;由 BE 3, 21二S ABC , SL S ABC S甲6AE 6 ,有 BE5c-S ABC，故 S甲61，- AB.由鸟头定理3【例15（难度等级派）某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线AG BD分成四个部分， AOB面积为1平方千米， BOC®积为2平方千米， COD勺面积为3平方千米，公园陆地的面积是 6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析与解】由任意四

17、边形的蝴蝶定理有S AOB S COD S AOD S BOC1 3 2 1.5 7.5平方千米，人工湖面积为7.5 6.92 0.58平方千米【例16（难度等级派）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG.设GAEG的面积为x,显然AEBG、ABFG、AFCG的面积均为 x,则4ABF的面积为3x ,内空白部分的面积为1S ABF 一2,4004x3r 100、.20 10 100即x ，那么正万形 3所以原题中阴影部分面积为2020400800 丁、一 （平万厘米）.33所以Saod 1 3 2 1.5平方千米，故公园总面积为则【作业】1 .如图，三角形 ABC中，DC 2BD, CE 3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形 ABC的面积是多少？【答案】1202 .