总复习-安徽水利水电职业技术学院--以服务为宗旨以就业

1、安徽水利水电职业技术学院（一）函数（一）函数极限的概念极限的概念（二）函数极限的运算（二）函数极限的运算（三）函数连续的概念（三）函数连续的概念左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf含 用运算类型1.常

2、规型:00lim()()xxfxfx 2.特殊型:分段点处极限:)(lim0 xfx)(lim0 xfx型型: :倒数求无穷小A0型:有界变量与无穷小量之积和式极限:先求和式再求极限)00( . 3分解因式消零因子)(0 xx ).(4 用最高次或“最大”项除分子分母含(反)三角函数用.1xsinxlim0 x 0)5.(1)()(xgxfexxx )11 (limexxx 10)1(lim洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则01lim( )( )nbiiaifxf x dx 定积分的定义洛必达法则洛必达法则函数连续函数连续概念概念点连续点连续处处连连续续在在函函数数0 x)x(fy )x

3、(f)x(flim0 xx0 特殊：特殊：左左连续连续右右连续连续)x(f)x(flim0 xx0 )x(f)x(flim0 xx0 区间连续区间连续在区间上每一点都连续的函数初等函数初等函数连续性连续性基本初等函数在定义域内是连续的.闭闭区间上区间上连续函数连续函数性质性质最大值和最最大值和最小值定理小值定理有界性定理有界性定理零点定理零点定理 介值定理介值定理Mmab2 1 xyo)( xfy ab3 2 1 xyo)(xfy MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 例例42lim()tg xxtgx )x( g) x( f ) 01 (exxxxxx )(lim)(lim11

4、110解解42lim()tg xxtgx 42lim1(1)tg xxtgx 4lim1(1)xtgx 11tgx (1)2tgxtg x 2412(1)11lim1(1)tgxtgxtgxtg xxtgx 1e 典型例题典型例题洛必达法则洛必达法则解解2442ln()lim()limtgxtg xtgxxxtgxe 42ln()limtg xtgxxe 4lim (2ln()xtg xtgxe 4ln()lim2xtgxctg xe 4ln()lim21xtgxctg xee 例例4 43101tlim().1sinxxgxx 求求 10110 (10) exxxxxx )(lim)(lim

5、11110解法讨论解法讨论解解:3101tlim1(1)1sinxxgxx 原式原式310tsinlim11sinxxgxxx 31 sinsin1sin1 sin0tsinlim11 sinxtgxxtgxxxxxgxxx 31 sinsin1sin1 sin0tsinlim11sinxtgxxtgxxxxxgxxx 30tsin1lim1sinxgxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 2112.e )x( g) x( f ) 01 (例例4 43101tlim().1sinxxgxx 求求解解:解

6、法讨论解法讨论则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 3101tlim1(1)1sinxxgxx 原式原式310tsinlim11sinxxgxxx 30tsin1lim1sinxgxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21301 tsinlim1 sinxgxxxxe 10110 (10) 12e 0(10)e 301tsinlimln11 sinxgxxxx

7、e nnnn1321)(lim 5、例例n 10(12)3(1)nnn exxxxxx )(lim)(lim11110解解:10(12)3(1)nnn (10) 11lim(23 ) (1)23nnnnnn 11(23 )231lim(23 ) (1)23nnnnnnnnnn 11(23 )(23 )1lim(23 )(1)23nnnnnnnnnnn 11(23 )(23 )211lim3( )(1)3123nnnnnnnnnn 003 (01)3e0 )x( g) x( f ) 01 (nnnn1321)(lim 5、例例解解:113(123 )(3 3 )nnnnnlim33n 1lim(

8、3 3 )3nnn1lim(123 )3nnnn解解: 1112lim(123 )lim3( )133nnnnnnnnnn 10(12)3(1)nnn (10) 112lim3( )133nnnnn 121,( )30,3nnn0lim3 (001)3n.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nnnnzyzy,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间断间断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx

9、2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(连续连续在在故故 xxf.), 1()1,()(连续连续在在 xf例例6 6.1,2cos1,1)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解解改写成改写成将将)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(内内连连续续在在显显然然 xf例例).()21(1 ,0),1()0(,1 ,0)( ffffxf 使使得得证证明明必必有有一一点点且且上上连连续续在在闭闭区区间间设设讨论讨论:( )F 1()( )02ff1( )()(

10、 ),2F xf xf x .21, 0)(上连续上连续在在则则xF零点定理零点定理 ab3 2 1 xyo)(xfy 例例).()21(1 ,0),1()0(,1 ,0)( ffffxf 使使得得证证明明必必有有一一点点且且上上连连续续在在闭闭区区间间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:, 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0(

11、)21(ff . 0 由零点定理知由零点定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1 , 021, 0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且它不超过少有一个正根，并且它不超过ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上连续，上连续，bxxxan 21 则在则在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn)(.)()()(21 . .三、三、 设设)(xf在在,ba上连续，上连续，bdca , ,试证试证明：对任意正数明：对任意正数qp

12、和和；至少有一点；至少有一点,dc , ,使使)()()()( fqpxqfxpf . .（一）导数与微分的概念（一）导数与微分的概念（二）导数与微分的运算（二）导数与微分的运算导数的概念导数的概念导数的定义导数的定义dxxdfdxdyxfy)(),(,或或 xy 0lim xxxfxxfx )()(lim0=几何意义几何意义oxy)(xfy T0 xM)(,tan)(,)(,()()(0000为为倾倾角角即即切切线线的的斜斜率率处处的的在在点点表表示示曲曲线线 xfxfxMxfyxf可导与连续可导与连续的关系的关系函数可导一定连续，函数可导一定连续，但连续不一定可导但连续不一定可导.xy2x

13、y 0 xy 31xyxy1高阶导数的定义高阶导数的定义记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.0()( )( )limxfxxfxfxx 导数的运算导数的运算求导法则求导法则和、差、积、商和、差、积、商的求导法则的求导法则).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu反函数的导数反函数的导数)(1)(xx

14、f 复合函数的求导法则复合函数的求导法则)()(000 xufdxdyxx 初等函数初等函数的求导的求导分解成基本初等函数分解成基本初等函数(复合复合),或或常数与基本初等函数的和、常数与基本初等函数的和、差、积、商差、积、商.基本初等函数基本初等函数或常数的导数或常数的导数特殊求导特殊求导方法方法隐函数求导隐函数求导对数求导法对数求导法.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu参数方程所确定参数方程所确定的函数的导数的函数的导数间的函数间的函数与与确定确定参数方程参数方程xytytx )()( dtdxdtdydxdy 微分微分00()()()yf xxf x

15、Axox 可可微微在在点点函函数数0 x)x(fy (),000dydf xdyAxxxxx 记记作作或或即即).0(xfA .可可微微可可导导求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.dxxfdy)( 微微分分形形式式总总是是的的函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,xfyx dxxfdy)( 函数增量的近似值函数增量的近似值,很很小小时时当当x 00 xxdyxxy .)(0 xxf 函数的近似值函数的近似值xxfxfxxf )()()(000)(很很小小时时x ;0)(. 1附附近近的的近近似似值值在在点点求求xxxf ;0

16、)(.2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxfxffxf )0()0()(例例1 12221111arctan 1ln,.2411xyxyx 设设求求解解,12xu 设设,11ln41arctan21 uuuy则则)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 22( )(0,0),.yxd yyf xyx xydx设设函函数数由由方方程程所所确确定定 求求例例2 2解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1

17、(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.,)(sincosyxxyx 求求设设例例3 3解解)sinlncos(ln xxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx coslnln (sin )xyxx )(ln yyy解解 cosln sinxxyx e cosln sinxxx e 2cosln sincosln sincossinlnsinsinxxxxxex exxx cosln sincosln sinxxxxexe cosln sincosln sincoslnsinxxxxex exx ab1 2 xyo)(xf

18、y Cab1 2 xoy)(xfy ABCD)(1 F)(2 Fxoy )()(tfYtFX)(aFA)(bFBCDRolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理型型型型及及 00),1 ,0,0(00型型 洛必达法则洛必达法则)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 单调性单调性单调性的判别法单调性的判别法xyo)( xfy abAB0)( xf单单调调增增加加xyo)(xfy 0)( xfabBA单单调调减减少少单调区间的求法单调区间的求

19、法函数极值函数极值函数极值的定义函数极值的定义函数极值的求法函数极值的求法oxy0 xoxy0 xxyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x 函数最值函数最值最值存在判别法最值存在判别法oxyoxybaoxyabab函数最值的求法函数最值的求法曲线凹凸性曲线凹凸性曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法xyo)( xfy 1x2xxyo1x2x)( xfy xyo)(xfy abAB递递增增)( xf 0 yxyo)(xfy abBA递递减减)(xf 0 y0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf型型及

20、00),1 ,0,0(00型型 1212()().()22f xf xxxf P223 P223 证明多项式证明多项式 在在 上不可能有两个零点上不可能有两个零点. .3( )3f xxxa 0,122( )333(1)0f 分析分析: :反证法反证法 12()0;()0f xf x1201xx12()()f xf x 由罗尔定理由罗尔定理1201xx ( )0f 1 矛盾矛盾1201xx 设有两个零点设有两个零点P223 4. 设设 ,证明多项式证明多项式 在在 内至内至少有一个零点少有一个零点 10021naaan 01( )nnf xaa xa x (0,1)10021naaan 01(

21、 )0nnfaaa分析分析: :,01 设想设想( )( )0Ff ,01 造辅助函数造辅助函数( )F x适合于中值定理适合于中值定理01( )( )nnFxf xaa xa x 2110( )21nnaaF xa xxxn (0)0,F (1)0F P224 5. P224 5. 设设 在在 上连续上连续, ,在在 内可导内可导, ,且且 , ,证明存在证明存在一点一点 , ,使使 . .( )f x0, a(0, )a( )0f a (0, )a ( )( )0ff ( )( )0ff 分析分析: :设想设想( )( )( )0Fff造辅助函数造辅助函数( )F x适合于中值定理适合于中

22、值定理( )( )( )Fxf xxfx( )( )F xxf x (0)0,( )0FF a0a 0a P224 10. 证明不等式证明不等式120,2xx 2211tgxxtgxx 分析分析: :2211tgxxtgxx 2121tgxtgxxx 120,2xx 21()()f xf x 21,xx 单调递增性单调递增性( )tgxf xx 单调递增性单调递增性222sec( )0 xxtgxxtgxfxxx 例例2,1.xyxx 求求函函数数的的单单调调区区间间 极极值值 凹凹凸凸区区间间 拐拐点点 渐渐近近线线并并作作函函数数的的图图形形解解:)1(定义域定义域, 1 x), 1()1

23、 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函数奇函数y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐点的横坐标得可能拐点的横坐标,lim)3( yx;没有水平渐近线没有水平渐近线,lim01 yx又又,lim01 yx;1的的铅铅直直渐渐近近线线为为曲曲线线 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的的铅铅直直渐渐近近线线为为曲曲线线 yx xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxy

24、x 1lim2 xxx, 0 .的斜渐近线的斜渐近线为曲线为曲线直线直线yxy (4)(1),(3,0,3),xxxx 以以函函数数的的不不连连续续点点驻驻点点和和可可能能拐拐点点的的横横坐坐标标为为分分点点xyoxy 1 1作图作图x)3,( ) 1 , 0() 1, 3( 3 ) 0 , 1( y y y 1 0 极大极大值值0拐点拐点00 x31y y y 极小值极小值0 )3, 1(), 3( 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念不定积分的概念原函数原函数)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( 原函数存在定理原函数存在定理连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数

25、. .不定积分的定义不定积分的定义函函数数)(xf的的带带有有任任意意常常数数项项的的原原函函数数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. .C)x(F 基本积分表基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式式得出积分公式.不定积分的性质不定积分的性质 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况） dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k不定积分计算方法及类型不定积分计

26、算方法及类型被积函数进行恒等变形，使用基本积分表被积函数进行恒等变形，使用基本积分表计算不定积分计算不定积分的的方法方法 dxxxf)()( )()(xuduuf )()()()(xtdtttfdxxf duvuvudv 将有理函数化为部分分式之和的积分将有理函数化为部分分式之和的积分. dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR ),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法解决方法 作代换去掉根号作代换去掉根号. .)1(多项式；多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 万能万能置换置换公式公式;nbaxt 令令;necxbaxt 令令

27、三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换（凑微分法）（凑微分法）例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx 32x()t 令令例例2 2解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 21(ta

28、n)22cos2xxxedxedxx 例例9 9解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx (tan)tan22xxxddx例例3 3解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 22ln(1)5ln(1)5xxxdx 原原式式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx ?例例6 6解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222

29、Cxxx 22211(arct1)ln(1)na22xdxxx 原原式式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 22221arctan (1)ln(1)3ln(1).222xxxxxxxC例例7 7解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx 10 xt 110(2)dttt 111()20(2)dttt 1lnln(2)20ttC 例例8 8解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342

30、 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 则有则有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 212()1(1)xxx 定积分的概念定积分的概念定积分的定义定积分的定义定积分的几何意义定积分的几何意义, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值特殊和式的极限特殊和式的极限定积分的性质定积分的性质性质性质1 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性质性质2 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).性质

31、性质3 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.dxba 1dxba ab .性质性质4性质性质5推论推论（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba （2）性质性质6（估计值的大致范围）（估计值的大致范围）性质性质7（中值定理）（中值定理）积分中值公式积分中值公式01lim( )( )nbiiaifxf x dx 定积分计算定积分计算 积分上限函数积分上限函数定义定义性质性质( (导数导数) )微积分基本公式微积分基本公式(牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba baxF )( 定积分的换元法定积分的换元法分部积分法分部积分法 bababavdu

32、uvudv广义积分广义积分无穷限的广义积分无穷限的广义积分dtttfdxxfba b b )()()( adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim dxxf)( 0)( dxxf 0)( dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0 badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数)()()(xfdttfdx

33、dxxa )(bxa P259 10设设( )f x 201)xx ，1,2x x ， xadxxf)( xadttfx)()( 01,x0( )( )xxf t dt 233001133xxt dttx 12,x 0( )( )xxf t dt 101( )( )xf t dtf t dt1201xt dttdt3 12011132xtt221111132226xx( ) x 01,x 31,3x211,26x 12,x 求求 在在 上的表达式，并讨论在上的表达式，并讨论在 内的连续性。内的连续性。 0( )( )xxf t dt 0, 2(0,2)31111lim( )lim,33xxxx

34、 211111lim( )lim(),263xxxx1(1),3在在 内连续性。内连续性。(0,2)0()( )xxf t dt 2( ) , ( )0.( )() .( )bbaadxf xa bf xf x dxbaf x设设在在区区间间上上连连续续，且且证证明明作辅助函数作辅助函数2( )()0( )bbaadtf t dtbaf t11( )( )( )2()( )( )xxaaF xf xdtf t dtxaf tf x ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf( )( )2( )( )f xf tf tf x, 0)( xf.)(单单调调增增加加xF分析：分析

35、：2( )( )()( )xxaadtF xf t dtxaf t 0 ( )F a ( )( ),F xF axa ( )0Fx ( )( )2( )( )xaf xf tdtf tf x 0 22( )( )2( ) ( )fxftf t f x 2( )( )0f xf t计算下列极限计算下列极限P331 2lim( )xaxaxf t dtxa 其中其中 连续连续( )f t分析：分析：( )limxaxaxf t dtxa 00 ( )( )( )limlim1xxxaaaxaxaxf t dtf t dtxf t dtxa lim( )( )xaxaf t dtxf x lim(

36、)lim( )xaxaxaf t dtxf x 0( )( )af aaf a)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 计算下列极限计算下列极限P331 2lim( )xaxaxf t dtxa 其中其中 连续连续( )f t分析：分析： lim( )li( )mxaxaxaaxxf t dtxaxafxa ( )af a 计算下列极限计算下列极限P331 2202(arctan )lim1xxtdtx 1 分析：分析：)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 202(arctan )lim1xxtdtx 202(arctan )lim1xxtdtx 22(arctan )lim1xxxx 2221lim(arctan )4xxx