计算方法公式总结

1、计算方法公式总结绪论绝对误差 e xx ， x 为准确值， x 为近似值。绝对误差限|e| |xx|，为正数，称为绝对误差限r相对误差 exx*xr 通常用 erxxe 表示相对误差x相对误差限 |er | r或 |er |有效数字元函数y=f (x)绝对误差e(y)f (x)e(x)相对误差er (y)e(y)f (x) e(x)xf (x) er(x) f (x) r二元函数绝对误差y=f (x1,x 2)f ( x1, x2) dx1e(y)f (x1, x2 ) dx2x1x2相对误差er(y)f(x1,x2) x1x1er (x1) yf(x1,x2) x2 er(x2)yx2机器数

2、系 注： 1. 2，且通常取 2、4、6、82. n 为计算机字长3. 指数 p 称为阶码（指数），有固定上下限 L、U4. 尾数部 s 0.a1a2 L an ，定位部 p5. 机器数个数 1 2( 1) n 1(U L 1) 机器数误差限np1 n p舍入绝对 |x fl(x)| 2 n p 截断绝对 |x fl(x)|舍入相对|x fl(x)|x|截断相对|x fl(x)|x|1n秦九韶算法方程求根f (x) (x x )mg(x) ， g(x) 0， x*为 f (x)=0 的 m重根。二分法迭代法f(x) 0xk 1(xk ) k=0 、1、2*xk 为迭代序列， (x) 为迭代函数

3、， lim xk x (x ) k局部收敛注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理 3 判断是否局部收敛牛顿迭代法f (x) f (xk) f '(xk)(x xk) 0xk 1 xkf'(xk) (k 0,1,2,L )f '(xk )注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条 件注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间 ,M( ), 其中M ( )ff '( ) , 在这个区间内验证这四个条件。如果知道根的位置，构造 ，M() 时应该包括根，即 +常数线性方程组求解

4、有两种方法： 消去法 和迭代法高斯消去法将第一列不为 0 的某一行与第一行交换位置，继续初利用线性代数中初等行变换将 增广矩阵 转化为等价上三角矩阵。 注意：第一行第一列为 0，等行变换。 对角占优矩阵a1na11a2nan1an2ann| aii |aij |(ij11,2,L , n) 则称 A为按行 严格对角占优矩阵| ajj | aij |(ji11,2,L ,n) 则称 A为按列严格对角占优矩阵aij aji (i 1,j n) x Rn,x 0,( x, Ax) 0 则称 A 是对称正定的。当 A 是上面三种情况时，用高斯消去法消元时 akk 0 ，不用换行。追赶法是高斯消元法的一

5、种特例列主元高斯消元法( k)(k)当|ask | mk ai xn |aik |，即第k 次消元把 kn 行第 k 列绝对值最大的行( s行)调到第 k 行，再进行高斯消元迭代序列构造Ax b x Bx f x(k 1) Bx (k) f 第三个等式为迭代序列， B 为迭代矩阵。迭代收敛判别1. 充分条件：迭代矩阵范数小于 1，PB P 1 结论： Ax=b 有唯一解 x*2. 充要条件：迭代矩阵谱半径小于 1, (B ) 1Jacobi 迭代法AL素D U 其中 L （low ）为下三角，U 为上三角， D 为对角线元迭代格式：x(k 1) D 1(L U)x( k)D 1b1迭代矩阵 J

6、 D (L U )收敛性判据：| I J| 0 |D 1|?|L D U| 0 |L D U | 0求出 最大值小于 1（J 的谱半径小于 1）即迭代格式收敛Gauss-Seidel 迭代法迭代格式b)( k 1) xD 1(Lx(k 1) U: x(k)(k 1)x(DL: ) 1 U: x(k)(DL:)1b迭代矩阵：G(D L) 1 U常数矩阵：g(D L) 1b收敛性判据：| (D L) U | 0| I G| 0 |(D L) 1|?| (D L) U | 0求出 最大值小于 1（G的谱半径小于 1）即迭代格式收敛 .结论 ：当 A是严格对角占优的，则 Jacobi 和 Gauss-

7、Seidal 迭代法均是收敛 的值法用插值多项式 p( x)代替被插函数 f(x)插值多项式： P( x) a0 a1x L an x n+1 个点 P(xi) yi(i 0 : n)插值区间： a,b ，插值点满足 a x0x1 Lxn求插值多项式 P( x)，即求多项式系数的过程为插值法 带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0，有唯一解。 即 n+1 插值条件对应的不超过 n 次的插值函数 P(x)只有一个。次线性P1(x) xx0 xx11 y0xx1 xx00 y1y0l0( x) y1l1( x)lk(x)i 0(xxi)ikxi)n (x xi ) k0 (xk xi

8、)ikLagrange 插值多项式Ln(x)yklk(x)k0nk0n(i 0ikxxkxixi)yk插值余项非插值节点上 Lagrange 插值多项式为被插函数 f(x) 的近似值f (n 1) ( ) nRn(x) f (x) Ln(x)xi)(x(n 1)! i 0(a,b)带导数插值条件的余项估计注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数 (t) Rn(t) K (x)Wn 1(t)第二条性质用于可以证明阶数不大于 n的 f(x) 的插值余项为 0.差商和 Newton 插值法 记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临 近 k 元素的差商，第二项是第一个临近 k

9、个元素的差商。牛顿插值多项式 通常记作 Nn(x) 分段样条插值 分段二次样条插值讨论 n 为奇偶情况时的三个点 余项估计式 三次样条插值函数第一类边界条件(端点一阶导数已知)D0 等于第一个式子， dn 等于第二个式子 自然边界条件(端点二阶导数已知 二阶导数和 M0，Mn=0)曲线拟合最小二乘原理函数关于 n 个点线性无关2 3 n 注：线性无关的函数为 1,x, x , x ,L , x 才是最小二乘多项式注：记住公式即可。数值积分和数值微分xk 为求积节点， Ak 为求积系数。 插值求积公式梯形公式Simpson 公式Cotes 公式 截断误差代数精度当 f(x) 为不超过 m次多项式

10、时上式成立， f (x )为 m+1多项式时上式不成立。则称为求积 公式有 m次代数精度。梯形公式代数精度为 1， Simpson 公式代数精度为 3， Cotes 公式代数精度为 5截断误差 梯形公式Simpson 公式Cotes 公式Gauss求积公式 求积公式代数精度为 2n+1-1,1 上的两点 Gauss公式( 3 次代数精度)11 f ( x)dxf(11 f (x)dx-1,1 上的三点 Gauss公式( 5 次代数精度)5 f ( 3) 8 f (0) 5 f ( 3)95 9 9 5记住 xk tk ， Ak Ak 的关系， tk Ak 查表即可复化梯形公式 2 阶，复化 Simpson 公式 4 阶，复化 Cote 公式 6 阶 计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可1给定精度， 2p 1|I2n(f ) In(f)| 时1|I(f) I2n(f )| 2p 1|I2n(f ) In(f)| 因而可以取 I2n(f ) 为I ( f )的近似值。梯形Simpson数值微分 数值微分截断误