上海交通大学物理竞赛试题解答

1、上海交通大学物理竞赛试题解答第八届上海交通大学大学生物理竞赛试题及参考答案上海交通大学物理协会版权所有，未经授权不得修改、复制、翻录、传播、翻译、汇 编、公之于众。第一试1，一雨滴的初始质量为mO,在重力的影响下，由静止开始降落。假定此雨滴从云中 得到质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度的乘积：dm?kmv dt式中k为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为常量，并给出终极速率 的表达式。忽略空气的阻力。答：由变质量的运动方程：(m?dm) (v?dv)?mv?udm?mgdtt 此处 u?0dmdvv?m?mgdtdtdm?kmvdtdv?kmv2?m?mgdtdv?g?kv2dt

2、?速度增加到右边为。时，加速度为0,速度不再变化。2,考虑一个平面，一条直线把平面分为左右两边，质点在两边的势能分别为U1和Ur, 当一个质点以速率v斜入射并通过这条直线时，方向如何变化？答：设左右两边分界线为直线1,粒子运动速度与1的法线夹角为?1。当粒子经过1 后，速度为vr ,与法线夹角?上平行于界面动量不变：mvsin?l?mvrsin?r机械能守恒:121mv?Ul?mvr2?Ur 22 由此解出：vr?vsin?12(Ul?Ur)?v2m2(Ul?Ur)?v2 m?2?arcsin()3, 一个理想成像的薄凸透镜，一个直的傍轴物体，与主光轴有一定倾斜角，它的像 是直的还是弯的？(1

3、)请回答此问题并根据成像公式给出严格的数学证明。(只需在平面坐标下证明)(2)你能从物理角度给出一个非常简洁的的证明么？答：(1)设y轴为凸透镜，焦距f ,物所在直线方程为尸kx+b (x<0) o由成像公111式：？?，且物处于y轴左侧，有uvflll?xx，fy*x'?y?xx*x*?y*?y?(kx?b)xxll?y' ?(k?b(?)x*x' fb?y，?(k?)x' ?bf所以，像所在曲线方程y'?(k?b)x'?b仍为直线，所以成像是直的。f (2)假设一束 光通过此物体所有点，即沿着此物体传播，那么此光线的折射光线仍然要沿着像

4、上个点传 播。由于折射后光仍是直线传播，所以成像必须是直的。4,已知哈雷彗星的周期为76年，试估计其轨道的长半轴。答：由开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与周期平方成正比。用a,T表示 哈雷彗星轨道的半长轴和周期，用aO, TO表示地球轨道的半长轴和周期。则：a3a0?22TT0?a?3376years?a01year?a?17. 94AulAu?l. 49?1011m?a?2. 67?1012m 本题只要估计合理即可。如果了解光从太阳射到地球大概要8分钟，对Au的数量级估计是不会错的。5, 一质点在xy平面运动，受力?CF?e?r?其中r为离开原点的距离，e?为横向（垂直于位移矢量r）单

5、位矢量。试分析此力对质点的做功情况，这个力是保守力还是非保守力？答：在平面极坐标下：c?F?Or r? ?rd?ds?drr 做功 W：W?F?ds?O?cd?c?1此力做功仅和角度有关，？?为路径绕过原点的角度。沿一条包围原点的闭合路径做功，则W?2?c?0,所以F不能沿任何闭合路径做功为零，所以F不是保守力。6,水的定压比热容为4.186kJ/（kg?K）,可近似看成与温度无关。（a）在恒压条件下, OoC的1. 0kg水突然与100oC的热库接触，当水达到100oC时,求水和热库的总烦变。（b） 在恒压条件下，如果OoC的1. 0kg水先与50oC的热库接触，平衡后再与100oC的热库接 触，求整个系统的爆变。附注：炳的定义：端是一