2019-2020年高考数学《基本不等式》专题复习教学案

1、2019-2020年高考数学基本不等式专题复习教学案【知识梳理】一、基本不等式qabwa2b1 .基本不等式成立的条件：a0, b0.2 .等号成立的条件：当且仅当a = b时取等号.二、几个重要的不等式 .22a四、利用基本不等式求最值问题已知x0, y0,则：如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2vp.(简记：积定和最 (2)如果和x+ y是定值p,那么当且仅当 x= y时,xy有最大值是pp(简记：和定积最大)【基础自测】1.函数y=x+1(x0)的值域为 x、1解析： .x0,y=x+ -2,当且仅当x=1时取等号.答案：2, +8)x2.已知 m0, n0,且m

2、n=81,则m+n的最小值为 解析： m0, n0,. m+ n24mn= 18.当且仅当 m= n=9时，等号成立.3.已知0x1 ,则x+；的取小值为 .x 1,一 444解析：x+ xj4=x- 1+彳+14+1 = 5.当且仅当x-1 = x,SP x= 3时等号成立.答案：5,一 2 5.5,已知 x 0, y0, lg x+ lg y= 1,则 z=x + ,的取小值为 .解析：由已知条件lg x+lg y=1,可得xy= 10.+ b22ab(a, bC R)； a+b2(a, b 同号).abj2(a, bC R)；区2(a,bC R).三、算术平均数与几何平均数a b设a0,

3、 b0,则a, b的算术平均数为-|-,几何平均数为 强,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.则 2+5_ 210= 2,故 2 + 5 )in= 2,当且仅当 2y=5x 时取等号.又 xy=10,即 x=2, x yxyx y miny= 5时等号成立. 答案：21 .在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一一各项均为正；二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得，若忽略了某个条件， 就会出现 错误.2 .对于公式a+ b2-7ab, abwjaj,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab和a+ b的转化关系.3

4、.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b22ab2+ b2b产 4 b 逆用就是abyOB(a, b0)逆用就是ab0)等.还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等.【考点探究】考点一利用基本不等式求最值4【例1】(1)已知x0,则f(x)=2 + -+x的最大值为 .x(2)(2012浙江高考)若正数x, y满足x+ 3y=5xy,则3x+4y的最小值是 .4 八 一 4解(1) /x 0,f(x)=2 + -+x=2- -x,- -4+ (-x)2/4=4,当且仅当一x=,即x= 2时等号成立. x， x .f(x) = 2- Z4x+x 24= 2,

5、f(x)的最大值为一2.(2) . x0, y0,由 x+3y=5xy 得5+，：= 1.12y x0,11 , 31 3x ,3x+ 4y = 5 (3x + 4y) b+J=5y+4+9 +X 23x 12y= 5(当且仅当x= 2y时取等号)，3x+ 4y的最小值为5.【一题多变】 本例(2)条件不变，求xy的最小值.解：.x0, y0,则 5xy=x+3y、212,当且仅当 x=3y 时取等号.【由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值.在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本

6、不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件.【以题试法】1. (1)当x0时，则f(x)=x22x1的最大值为 (2)(2011天津高考)已知log2a+log2b 1,则3a+9b的最小值为(3)已知x0, y0, xy=x+ 2y,若xy m 2恒成立，则实数 m的最大值是一，一2x 22 ，一 . ，1 一 一_ ,解析：(1).x0, - f(x) = 2Xi=7 1 得 log2(ab) 1,即 ab2,3a+9b=3a+32b 2X 3a22b(当且仅当 3a=32b,即 a=2b 时取等号).又 a+ 2b2#0b4(当且仅

7、当 a=2b 时取等号)，3a +9b2X 32= 18.即当a=2b时,3a +9b有最小值18.(3)由 x0, y0, xy= x+ 2y2/2,得 xy 8,于是由 m- 2。且a(a +b+c)+bc = 4 2 J3 ,求2a + b + c的最小值.解：由 a,b,c 0,知2a+b+c = (a+b)+(a+c) _2、(a b)(a c) =2 . a2 ab ac bc =2_26 =2而-2,当且仅当b=c, 即b = c = -3-1a时，等号成立.故2a - b c的最小值为2-、3-2.考点三基本不等式的实际应用【例3】(2012江苏高考)如图，建立平面直角坐标系x

8、Oy, x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为 1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y= kx12 2,，、， , , , , 20(1 + k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解(1)令y = 0,得kx(I + k2)x2= 0,由实际意义和题设条件知 x0, k0,故*=普=10,当且仅当k=1时取等号.1 十 k 12喝所以炮的最大射程为 10千米.199 x(2)因为

9、a0,所以炮弹可击中目标 ？存在k 0,使3.2=ka-0(1 + k)a成立?关于k的方程a2k220ak+a2+64=0有正根?判别式 A= (-20a)2-4a2(a2+64)0 ? a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.【由题悟法】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题 目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基 本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解【以题试法】2. (2

10、012福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入6(x2600)万元作为技改费用，投入 501万兀作为固定宣传费用，投入 -x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时 每件商品的定价.解：(1)设每件定价为t元，依题意，有 他号5X0.2杵25X8

11、,整理得 t2-65t+ 1 000W0,解得 25t25 时，不等式 ax25X 8 + 50 + %x2600) + % 有解， 65等价于x25时，a-50+-x+1有解.x 65.150, 1. 150 1- -x- + 6x2 y-x-6x=10(当且仅当 x=30 时，等号成立)，a102因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.【巩固练习】1 .函数y= x + j(x1)的最小值是 x 1解析：x1, . . x- 10.x2+2 x22x+ 2x+2 x22x+ 1 + 2(x 1 4 3

12、y x1x 1x 1(x-1 2+2(x-1 计 33x3= x- 1 +1 +22当且仅当x1=岛，即x= 1 + V3时，取等号1 1 k2 .设a b0，且不等式a+b+帝恒成立,则头数k的取小值等于 .11 k一解析：由一+1 +0得kAa b a+b/a + b 2 b a以一喏J4,因此要使Q恒成立，应有k -4,即实数k的最小值等于一而（、=a+b+2（a=b时取等号），所4.x2 5 .3 .求函数y =. 的值域. x2 4解：令收+4 =t（t22）,则x2 5一211=qx2 4 : t (t _ 2),x2 4 tE11 _,.、，因t 0,t = =1 ,但t =-解

13、得t =1不在区间 匕,，故等号不成立，考虑单调性.tt15因为y=t+1在区间1,+无）单调递增，所以在其子区间2,）为单调递增函数，故y之5.，5所以，所求函数的值域为-,：IL214、求函数y=x+7（x1）的取小值.解析：1y = x (x 1) =(x -1)2(x-1)22（x -1）21x-1 x -112 1(x 1)=2 1(x 1) 2(x -1)2222(x-1)2-33x -1 x -11222 2(x-1)21-3 125x -115 ,当且仅当 口 =1(x1)即x = 2时，“二”222(x-1)2号成立，故此函数最小值是525.求函数y =x2(32x)(0 x

14、 当 的最大值23o3解：.0 x 0 , . y = x2(32x)(0 x一) = x x (32x)22b0,求a+ 一1的最小值.b(a - b)8 .已知函数f(x)=x+ 右(p为常数，且p0)若f(x)在(1, +8)上的最小值为4,则实数p 的值为.解析：由题意得x- 10, f(x) = x-1+-p-+12/p+1,当且仅当x =8+1时取等x 1号，因为f(x)在(1 , + 8)上的最小值为4,所以2/p+ 1=4,解得p = 9.9 .已知x 0, a为大于2x的常数， 一一.1(1)求函数y=x(a 2x)的最大值；化)求y = aT2x x的取小值.1 _ . 一

15、、解：(1) x0, a2x,. . y=x(a 2x)=2x 2x(a2x)J*尘警Nxm=a,当且仅当x=a时取等号，故函数的最大值为a-. 2 -2 一 848(2)y=a 2x1 a 2x当且仅当x=a2时取等号.故丫=x的最小值为由一a.2 a-2x210,正数x, y满足X+；=1. 求xy的最小值；(2)求x + 2y的最小值.解：(1)由1 =1+92、1 9得xy 36,当且仅当1=9,即y= 9x= 18时取等号，故xy x y ; x yx y的最小值为36.(2)由题意可得 x+ 2y =(x+2y)+ :尸 19+2y+9x 19+2 9 = 19+642,当且仅x+2y的最小值为19+62.当红=双，即9x2 = 2y2时取等号，故 x y11.若 x, y (0, + ), x+2y+ xy= 30.求xy的取值范围；(2)求x + y的取值范围.解：由 x+