专题--数列求和的基本方法和技巧

1、数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n（at +an）n（n -1）1、等差数列求和公式：Sn二二na 7d2 22、na1等比数列求和公式：Sn二a1（1 -qn）1_q a1 anq1 -q(q = 1)3、Jn(n 1)24、&八 k2 Jn(n 1)(2n 1)

2、k a65、例1已知log3 xlog2 3，求 XX2X3 亠 亠 xnn项和.解：由log3 x-1=log3 x =Tog3 2 二log 2 3由等比数列求和公式得（利用常用公式）x(1 xn)1 -x1 1-(1 -)22丿=1 _丄1 2n1 -2例 2设 Sn= 1+2+3+ +n , n N*,求 f(n)Sn(n 32)Sn 1的最大值.解：由等差数列求和公式得1 1S1n(n 1)，(n 1)(n 2)（利用常用公式）Snf(n)(n - 32)Sn 12n 34n 641n 3464n当、n 8,8即n= 8时,f （n） max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比

3、数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3求和：Sn =1 3x 5x2 7x3 亠 亠(2n - 1)xn J 解：由题可知，(2n- 1)x2的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列 x1的通项之积设 xSn =1x 3x2 5x3 - 7x 2n- 1）xn （设制错位）得（1 -x）Sn =1 2x 2x2 2x3 2x4一 2xn-（2 n - 1）xn（错位相减）1 _ xn再利用等比数列的求和公式得：（1 -x）Sn =1 2x丄 -（2n - 1）xn1 -xSn =（2n -1）xn 1

4、-（2n 1）xn （1 x）（1-x）22 46例4求数列一，-2 2李，前n项的和.2n解：由题可知,设Sn2Sn2 ' 23 '2 n班的通项是等差数列2n的通项与等比数列22 23 2n匕空空1n的通项之积22=_2_2 22 32 42门11一得(-)Sn222222n+ +22223242n2门1二2 -珀(设制错位)(错位相减)2n2n 1n +2Sn "2心三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到 n个(a1 an).例 5求证：C； 3C： 5C；(2n 1)C：

5、二(n 1)2n证明：设 Sn -C； 3C1 5C2 - (2n 1)C； .把式右边倒转过来得Sn 二（2n 1）Cn （2n 一 1）C：C0（反序）又由可得Sn =（2n 1）C0（2n 1）C： 3C：C； .+得2Sn =（2n+2）（C0+C：十+C："*+C：） = 2（n+1），2n（反序相加）5 =(n 1) 2n例 6求 sin 1 sin2sin 3 飞in88 sin 89 的值解：设 S = sin1sin 2sin 3sin 88 sin89 将式右边反序得_ 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 / .S = sin 89 sin 88 飞 i n

6、3 s i n 2 s i n 1 .(反序)2 2又因为 sinx 二cos(90 x),sin x cos x= 1+得(反序相加)2 0 2。 2。 2。 2。 2。2S =(sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )亠 亠(sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可幽111例7求数列的前n项和：1 - 1,4, 27,；n4 ' 3n - 2，a aa1 1 1解：设 Sn = (1 1) ( 4)(飞 7)嘉

7、7 3n - 2) aaa将其每一项拆开再重新组合得1n 4)(147 3n - 2)al(3 n 1)n(3n +1) n=n=2 2_1 _an + (3n T)n a -a1+ (3n -1)n2= a-12a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.当a= 1时,当a =1时,SnSn（分组）（分组求和）45解：设 ak =k(k 1)(2k1)二2k3 3k2 k#6（分组）（分组求和）这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an=f (n 1)-f(n)(2

8、)sin1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tann(3)ann(n 1)(4)(2n)2n _(21)(2n 1)2 2n 1 2n 1(5)ann(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)2(n1) -n 1n(n 1) 2nn(n 1)2n n -2n4(n 1)2n，则Sn(n 1)2n1例9求数列1 .展 6二”",n项和.解：设 an = = Jn +1 - TnJn 十 Jn +1（裂项）则 S1-Sn 12.2.3.n "1（裂项求和）=(2 -1) ( 3 -、2)( n 1 -n)32Sn 八 k(k 1)(2k 1)八

9、(2k 3k k)k 4k 4将其每一项拆开再重新组合得nnnSn= 2k3 3、 k2、kk 4k Ak 4=2(13 23 亠亠 n3) 3(12 22 亠亠 n2) (1 2 亠亠 n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 2 n(n 1)2( n 2)2五、裂项法求和例10在数列an中，an12n2，又bn，求数列bn的前n项的和.n 1 n 1 n 1an an d解:12nnan=+ 八 +=n 1n 1n 12bn2=8（一一-丄）n n 1nn 12 2数列b n的前n项和（裂项）1 1、 ，1 1111111Sn"2)(厂3)4)(n)

10、（裂项求和）1=8（1 一冷8nn 1例11 求证:111C0S12cos0 cos1 cos1 cos 2cos88 cos89 sin 11 1 1解：设S-cos0 cosC cos1cos2cos88 _cos89 '（裂项）oil I Iotan(n 1) - tanncos n cos(n 1)1 1 1S1一一(裂项求和)cos0 cos1 cos1 cos 2cos88 cos891 =(tan 1 -ta nO ) (ta n2 - tan1 ) (tan3 - tan2 ) tan 89 - ta n88 sin 1I(tan 89 -tan 0 )= sin 11

11、sin 1-cot1cos1sin21原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：设 Sn= cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° cosn 二-cos(180 -n)(找特殊性质项).Sn=(cos1 ° + COS1

12、79 ° ) + ( cos2° + cos178 ° ) + ( cos3° + cos177 °) + + (cos89° + cos91 °) + cos90°(合并求和)=0例 13数列an : a =1月2 =3, a3 = 2,an 2 二 an 1 - an ,求 S2002.解：设 S2002= a1a2 a3 亠 亠 a2002由 ai = 1, a2 = 3, a3 = 2, a* 2 = a* .1 - an 可得a4 = -1, a5 = - 3, a6 = _2,a? =1, a$ =3,

13、a9 = 2, a® - -1,di 二 _3,a12a6k 1 - 1,a6k2 - 3,a6k 3 - 2,36k4 - -1,a6k 5- -3, a6k6 - -2 a6k 1 'a6k2 ' a6k3 '4 'a6k5 ' a6k 6= 0(找特殊性质项)-S2002 = &1 a? ' a-a2002(合并求和)=(a1a2aa6)(a7aa12)(a6k 1'a6k()2厂a6k6)+ ' ' '+(a1993 + 3994 +，''+a1998)+ a1999 +

14、a2000 + a2001 * a2002=a1999 a 2000 ' a2001 ' a2002=a6k 1' a6k 2' a6k 3'觅总牌=5例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 =9,求logsa1logs a亠logsaw的值解：设Sn二也印 log3a2他3印0由等比数列的性质m n二p q= aman二apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质loga M loga N = log a M N 得Sn = (loga a1Iog3a10) (loga a2loga a9"(loga a5 loga a6)(合并求和)=(

15、logad 日10) (loga a2 a?)(logaa5 a6)=loga 9 loga 9 亠 亠 loga 9=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法例 15求 1111111111 之和.n个1解:1由于 11119999 =V= * Q 1 vf= 1k个 19k 个 11(10k -1)9（找通项及特征）1 11 11 111 1n个1(101 -1) 19(102 -1)19(103 一1) 19(10n-1)（分组求和）A .何)(1 1 1)9n个11 10(10n -1) n910-1 一 9=丄(10n 1 -10 _9n)81例16已知数列an: an8(n 1)(n3)oC,求v