矩阵的秩ppt课件

1、数数=线线性性代代2 矩阵的秩矩阵的秩12()ijm nkAai ii矩阵的某 行行 和某某 列k k( ( , , , , ,) )k k定义定义 7 我们曾经知道,对于一个n阶矩阵A来说,其行列式|A|能否为零,成为判别A能否可逆的重要条件.对于任一个 矩阵 来说，也可以利用行列式实际来讨论 的内在特性,这就是矩阵的秩的概念.m nm nAm nA12kjjj列 相交处上的个元素按原来顺序排成的k阶行列式2 2( (, , , ,) )k k1 11 212 12 2212kkkkk ki ji ji ji ji ji ji ji ji jaaaaaaaaa (2.9)数数=线线性性代代1

2、1221min,),(2.9),;(2.9),;(2.9),.nnkm nkkij ijijAk称为矩阵 的当式等于零时 称其为 阶当式不为零时 称其为阶当式中有非时为阶称其的Ak(Ak(阶阶子式子式零子式零子式零子式零子式主子式主子式 显然，显然，n阶方阵只需一个阶方阵只需一个n阶子式，即为该方阵的行列式。阶子式，即为该方阵的行列式。 普通地， 矩阵A的k阶子式共有 个。下面给出矩阵A的秩的概念。m nkkmnC C定义定义 8 矩阵A的一切不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作R(A),并归定 R(O)=0.m n 假设假设n阶方阵阶方阵A的秩等于的秩等于n，那么称，那么称A为满秩矩阵

3、，为满秩矩阵，否那么称否那么称A为降秩矩阵。假设为降秩矩阵。假设 矩阵矩阵A的秩的秩R(A)=n,那么称矩阵那么称矩阵A为列满秩矩阵；假设为列满秩矩阵；假设 矩阵矩阵 的秩为的秩为m，那么称矩阵，那么称矩阵A为行满秩矩阵。为行满秩矩阵。 m nm n数数=线线性性代代0000500041201311A0 410 500420111 311031 2A阶子式有阶子式有阶子式有 例如对于矩阵例如对于矩阵所以矩阵所以矩阵A的秩的秩R(A)=3数数=线线性性代代 由矩阵的秩概念可得由矩阵的秩概念可得 , ( ), 1( )ArArArAr中至少有一个 阶子式不等于零并且 中阶数大于 的子式 若存在的话

4、 全都为零中至少有一个 阶子式不等于零并且 中所有的阶子式 若存在的话 全都为零定理定理 3 3( ),min , mnAR Ar rm n矩阵 的秩为数数=线线性性代代由定义由定义8知知:(1)0,( )1( )min,( )( )()( )m nTAar Am nbr Ar Ac mn矩阵A r(A)=0A=0(2)若A有一个k阶非零子式,则r(A) k,而在r(A)=k 时,表明A有k阶非零子式,但并不说明A的所以k 阶子式均不为零.(3)若则必有 r(kA)=r(A),k为非零常数. (4) 阶梯型矩阵的秩等于它的非零行的个数数数=线线性性代代的秩试求方阵111aaaaaaA, A A

5、AA可见 对于方阵为非奇异方阵为可逆方阵为满秩方阵(6)若矩阵A的秩为r,则A中必分别存在一个1,2, ,r阶非零子式.例例(5), ( )0,; ( )0,n nAr AnAAr AnAA对于此时称 为满秩方阵此时称 为降秩方阵数数=线线性性代代解解2112121211111(12 )1111111(12 ) 010(12 )(1)001aaaaaAaaaaa aaaaaaaaaaaaa2)(, 043121211 2, 0,21)2(; 3)(, 0,121) 1 (ArAAaArAaa故此时阶非零子式中存在而时当故此时时且当数数=线线性性代代1)(, 1,2, 0,1)3(ArAAa故此

6、时非零子式但有一阶阶子式都为零中任一时当定理定理 4秩行等价的矩阵有相同的即则成为经过若干次初等行变换若),()(,BrArBAnm证证)()(, 0,2,)()()(,ArkBrMDMkDBBADkAkArBrArBAkkkkk从而有故差一个非零倍数相最多与阶子式对应的中与则行变换成了种初等经前若阶非零子式中存在则设有成的矩阵经过一次初等行变换而先证数数=线线性性代代行的元素行元素也不含第的第既不含有行的元素行元素但不含第的第含有行的元素行元素但不含第的第含有行的元素行和第的第同时含有种情形以下只有则设种初等行变换对于第jiADijADjiADjiADDBAkkkkkrrji)4) 3)2)

7、 1:4,3 ,0.1),2),4)0kkkkkBDBkMMMD此时 取 中与同序号的行和列 便可构 成 的一个阶子式且对于情形显然，有数数=线线性性代代),5(),3kkkkDDMjM性质行写成两个行列式之和按第将对于情形)()(0, 0, 0,)(, 0ArkBrDDMkBrMkkkk故亦有有则因若则若)()()()(,).()(,BrArArBrBrAr从而有故亦有初等行变换可逆因为有经一次初等行变换综上可知经过一次初等行变换经过一次初等行变换,矩阵的秩不变矩阵的秩不变,经假设干经假设干次初等行变换次初等行变换,矩阵的秩当然还不会变矩阵的秩当然还不会变数数=线线性性代代推论推论 初等列变

8、换也不改动矩阵的秩初等列变换也不改动矩阵的秩证证 设设A经初等列变换化成了矩阵经初等列变换化成了矩阵B,那么有那么有)()()()(BrBrArArTT例例的秩求矩阵7654654354324321A解解 可把可把A化成阶梯型化成阶梯型,也可作如下初等变换也可作如下初等变换2)()(00000000111143211111111111114321BrArBA数数=线线性性代代推论推论)()()()( ,ArPAQrAQrPArQPAnnmmnm则有均可逆及设定理定理 5mn(),:0 , , I ,0 , I000m nrnr ArPQPAQII设则存在可逆矩阵 及使得成为下列矩阵之一)(nr

9、mr且当)(mnr当)(nmr当)(nmr当推论 同型矩阵A与B等价的充要条件是R(A)=R(B).推论推论数数=线线性性代代例 设,026328421421A求A的规范形. 3100000001421A,0000310001421 R(A) = 2. 0000001000012OOOI标标准准形形为为解数数=线线性性代代例 设A为n阶矩阵(n2),证明 . 1)(, 0,)(,)(*nARnARnAR证 假设R(A)=n:,)(det*IAAA , 0|)(det|* nAIAAA.)(, 0|*nARA 即即所以所以 R(A) n-1: detA0， A中一切中一切n-1阶子式均为零，阶子式均为零， ,1111*OAAAAAnnnn . 0)(* AR数数=线线性性代代例 证明).()(BRARBOOAR 证.)(,)(21rBRrAR 设设存在