人教版九年级数学上册《22-3 第1课时 几何图形的最大面积》导学案设计优秀公开课3

1、第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第 1 课时 几何图形的最大面积学习目标：1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 难点：能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系.自主学习一、知识链接写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. (1) y=x24x5；(配方法)(2) y=x23x+4.(公式法)课堂探究二、要点探究探究点 1：求二次函数的最大(或最小)值引例从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小

2、球的运动时间 t(单位：s)之间的关系式是 h= 30t5t 2(0t6)小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？问题 1二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？问题 2当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？问题 3当自变量 x 有限制时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？试一试根据探究得出的结论，解决引例的问题：典例精析例 1求下列函数的最大值与最小值.(1)y = x2 + 3x - 2(-3 x 1)(2)y = - 1 x2 - 2x + 1(-3 x 1) 5方法归纳

3、：当自变量的范围有限制时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值可以根据以下步骤来确定：1. 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.2. 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明 x 的取值范围.3. 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当 x取何值时函数有最大或最小值.然后根据 x 的值，求出函数的最值. 探究点 2：二次函数与几何图形面积的最值例2用总长为60 米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？(1) 矩形面积公式是什么？(2) 如何用 l 表示其邻边的长？(3

4、) 面积 S 的函数关系式是什么？(4) 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？变式题如图，用一段长为 60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.(1) 当墙长 32m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 m.矩形菜园的面积 S= .想一想如何求解自变量 x 的取值范围？墙长 32m 对此题有什么作用？解决问题：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？问题 1与(1)有什么区别？试一试在(2)中，求

5、自变量的取值范围.问题 2当 21 x30 时，S 的值随 x 的增大，是如何变化的？当 x 取何值时，S 取得最大值？注意：实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值.例 3用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？(铝合金型材宽度不计)要点归纳：二次函数解决几何面积最值问题的方法1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；2. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3. 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.三、课堂小结几何面积最值问题一个关键

6、依据常见几何图形的面积公式建立函数关系式一个注意最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定当堂检测1.二次函数 y=(x+1)2-2 的最小值是（ ）A-2B-1C1D22.二次函数 y=-2x2-4x+3（x-2）的最大值为 .3. 已知直角三角形的两直角边之和为 8，则该三角形的面积的最大值是 .4. 某小区在一块一边靠墙(墙长 25m)的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40m 的栅栏围住设绿化带的边长 BC 为 xm，绿化带的面积为 ym2(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(2) 当 x 为何值时，满足条件的绿化带

7、的面积最大？5. 某广告公司设计一幅周长为 12m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000元，设矩形的一边长为 x(m)，面积为 S(m2).(1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.能力提升6. 如图，在ABC 中，B=90，AB=12cm，BC=24cm，动点 P 从点 A 开始沿AB 向 B 以 2cm/s 的速度移动)不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始 BC 以 4cm/s 的速度移动(不与点 C 重合).如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 秒， 四边形 APQC 的

8、面积最小.参考答案自主学习知识链接解：（1）y=x2-4x-5=(x-2)2-9,开口方向：向上；对称轴：直线 x=2； 顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；(2)y= x2 3x+4, 开口方向： 向上； 对称轴： 直线 x= - b2a= - 3 ; 顶点坐标：2 - b4ac - b2 3 25 ；最大值为 4ac - b2 = 25 .,2a4a = - ,4a4 2 4 课堂探究二、要点探究探究点 1：求二次函数的最大(或最小)值问题 1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 及自变量的取值范围决定.问题 2 当 a0 时，yx= - b .2a= 4ac -

9、b2 ，此时 x= -最小值 4ab .当 a0 时，y2a= 4ac - b2 ，此时最大值4a问题 3 先判断 x= - b2a是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x= - b2a时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.试一试 解： t= - b2a= -30 2 (-5)=036，h= 4ac - b23,=4a-3024 (-5)= 45.则小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m典例精析例 1解：（1）y= 3 29 ,即 y= 3 21 3， x + 2- 2 -4 x + 2- 4 .4-3 - 12所以当 x=

10、- 3 时，y 最小值= -4 1 .24当 x=1 时，y 最大值=1+3-2=2.（2）y= - 1 ( x + 5)2 + 6, -5 -3 ，即 x 在对称轴的右侧.函数的值随着 x 的增大而5减小.所以当 x=-3 时，y 最大值= 26 . 当 x=1 时，y 最小值= - 6 .55探究点 2：二次函数与几何图形面积的最值例 2解：（1）矩形面积=长宽；（2）邻边长为(30-l)米；（3）S=(30-l)l=-l2+30l.（4）解：根据题意得 S=-l2+30l (0l 0, 故 022 x 2. 矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是 y = xg6 - 3x ，

11、 即2y = - 3 x 2 + 3x. 配方得 y = - 3 ( x -1)2 + 3 . 所以当 x=1 时，函数取得最大值，最大值222y=1.5.x=1 满足 0x2，这时 6 - 3x = 1.5. 因此，所做矩形窗框的宽为 1 m、高为21.5 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m2.当堂检测1.A2.33.84.解：（1）BC=xm， AB = 40 - x m . y = 40 - x x = - 1 x2 + 20 x(0 x 25).222（2） y = - 1 x2 + 20 x = - 1 ( x2 - 40 x) = - 1 ( x - 20)2 + 200.0x25，当