第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1、第九章平面解析几何知识点考纲卜载直线的方程n在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.0理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系 .两直线的位置关系能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的 距离.圆的方程掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程直线、圆的位置关系n能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方

2、程判断两圆的位置关系.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.椭圆掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质抛物线了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质圆锥曲线的简单应用 了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用.园理解数形结合的思想,了解圆锥曲线的简单应用第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程教材回忆夯实根底1.直线的倾斜角当直线与x轴(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.平行或重合时,规定它的倾斜角为0

3、.(2)倾斜角的范围为0,兀2,直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k= tan a,倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式,一、,一_ y2 yi y1 一y2经过两点Pi(xi, yi), P2(X2, y2)(XWX2)的直线的斜率公式为 k= x；x = x二兄.3.直线方程名称几何条件方程局限性点斜式过点(X0, yo),斜率为ky_ yg= k(XXq)不含垂直于X轴的直线斜截式斜率为k,纵截距为by= kX+ b不含垂直于X轴的直线两 点 式过两点(Xi , yi) , (X2, y2)(xi

4、WX2, ywy2)y_yi xi y2一 y-X2-xi不包括垂直于坐标轴的直线续表名称几何条件方程局限性截距式在x轴、y轴上的截距分别为 a, b(a, bw0)X , V .一 十 *= iab不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A： B 不全为0)根底自测o判断正误(正确的打,错误的打“X)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.()直线的斜率为tan %那么其倾斜角为 “()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(6)经过任意两个不同的点Pi(xi, y

5、i), P2(X2, y2)的直线都可以用方程(y-yi)(X2-Xi)=(x一X1)(y2yi)表示.()答案：(i), (2)X (3)X (4)X (5)X (6),(教材习题改编)经过两点A(m, 3), B(i, 2m)的直线的倾斜角为i35° ,那么m的值为()A. 2B.2C. 4D. - 4解析：选B.由题意得2m二= tan i350= i, i m即2m 3=mi,所以m= 2,应选B.(教材习题改编)经过点P0(2, 3),倾斜角为45°的直线方程为()A . x+y+i = 0B.x+yi = 0C. xy+5=0D. x y5= 0解析：选D.由点

6、斜式得直线方程为 y-(-3) = tan 45° (x-2) = x- 2,即xy 5=0, 应选D.(教材习题改编)倾斜角为i20.,在x轴上的截距为i的直线方程是()A. V3x-y+ i = 0B.V3x-y-V3= 0C. 3x+y-V3= 0D. V3x+ y+V3=0解析：选D.由于倾斜角为i20° ,所以斜率k=-73.又由于直线过点(一1, 0),所以直线方程为y=J3(x+1),即/x+ y+43=0.身如果ACV0, BC<0,那么直线 Ax+By+C = 0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C.由题意知直线的斜率

7、k=-A<0,直线在y轴上的截距b=-C>0,应选BBC.(教材习题改编)过点P(2, 3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .解析：当纵、横截距为0时,直线方程为3x-2y=0;当截距不为0时,设直线方程为 ：+ ：=1,那么；+=1,解得a = 5,所以直线方程为x+y5=0.答案：3x2y=0或 x+ y5 = 0名师导也以例说法典例剖析考点突破考点直线的倾斜角与斜率学生用书P144典例引领例1 (1)直线xsin a+ y+ 2= 0的倾斜角的取值范围是()A.,)B. 0,号可C. ° £D, 0, 4,U *, 兀；(2)直线l过点P(1, 0),

8、且与以A(2, 1), B(0,3)为端点的线段有公共点,那么直线 l斜 率的取值范围为.【解析】(1)设直线的倾斜角为依那么有tan 0= - sin a,由于sin - 1, 1,所以一1wtan阪1,又长0,兀101(2)如图,由于 kAP=231 =1,kBP=" ：= -木,所以直线 l 的斜率 k ( °°, -JS U 1, +°°). 0_ 1【答案】(1)B (2)(8, 6U1, +8)1 .假设将本例(2)中P(1, 0)改为P(-1, 0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围. 一 ,L 1-01-J3- 0解：由于

9、P(-1, 0), A(2, 1), B(0,小),所以 kAP=- = -, kBP=c ; 彳2 ( 1)30 ( 1=3.如图可知,直线l斜率的取值范围为2 .假设将本例(2)中的B点坐标改为(2, 1),其他条件不变,求直线 l倾斜角的范围.解：如图,直线PA的倾斜角为45° ,直线PB的倾斜角为135° ,由图象知l的倾斜 角的范围为0° , 45° U135° , 180° ).(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤求出斜率k=tan 的取值范围.利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角a的取值范围.(2)斜率的求法定义法：

10、假设直线的倾斜角a或a的某种三角函数值,一般根据k= tan a求斜率.y2 Vi公式法：右直线上两点A(xi, yi), B(X2, V2), 一般根据斜率公式 k=r-7(xiWX2 x1X2)求斜率.注意直线倾斜角的范围是0,兀),而这个区间不是正切函数的单调区间 ,因此根据 斜率求倾斜角的范围时,要分o, 2：, 2与日兀,三种情况讨论.由正切函数图象可以看出, 当倾斜角 底0, 21时,斜率k0, +8)；当斜率不存在；当“eg,兀;时,斜率 kC (一巴 0).通关练习1,直线2xcos a- y3 = 0 1代 涓,倾斜角的变化范围是()兀 兀IA. 6 3j兀兀ICi 2717

11、1Bi 3D.兀 2 71 IZ"3解析：选B.直线2xcos a y3=0的斜率k= 2cos a由于一2J|S 3' . 1所以cos2乎,因此k=2cos衣1 ,峋.设直线的倾斜角为0,那么有tan长1 , 响.由于0,兀)所以底；3J即倾斜角的变化范围是2.假设点A(4, 3), B(5, a), 0(6, 5)三点共线,那么 a的值为53a-3斛析：由于 kA0=1, kAB= a 3.6 45 4由于A, B, C三点共线,所以a-3= 1,即a= 4.答案：4考点求直线的方程学生用书P145典例引领例a根据所给条件求直线的方程：直线过点(一4, 0),倾斜角的正

12、弦值为 曙;(2)直线过点(3, 4),且在两坐标轴上的截距之和为12;直线过点(5, 10),且与原点的距离为5.【解】(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为%那么sin a="°(0W a兀)10从而 cos a=正110,贝U k= tan a=冬故所求直线方程为y=m"(x + 4),3即 x+ 3y+ 4= 0 或 x 3y+ 4= 0.(2)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为：+12、=1,又直线过点(-3, 4), 一34一r八一从而+=1, 解得 a=4或a=9.a12-a故所求直线方程为 4x-y+16= 0或x+3y9

13、= 0.(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x5=0满足题意；当斜率存在时,设其为k,那么所求直线方程为 y-10=k(x-5),即kxy+105k=0.由点线距离公式|10 二 5k|=5,解得k=故所求直线方程为 3x- 4y+ 25 = 0.综上知,所求直线方程为 x5=0或3x 4y+25=0.反思提开求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时,应先选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件 .(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(假设采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况；假设采用截距式,应判断截距是否为零).通关练习求适合以下条件的直线方程：(1)经过点A(-5,

14、 2),且在x轴上的截距等于在 y轴上截距的2倍；(2)经过点B(3, 4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解：(1)当直线不过原点时,设所求直线方程为 2+ 丫=1,将(5, 2)代入所设方程,解2a a/日 1得a=一万,所以直线方程为x+ 2y+1 = 0;当直线过原点时,设直线方程为y=kx,2那么一 5k= 2,斛得 k=1,52所以直线万程为 y=一即2x+5y=0.故所求直线方程为 2x+ 5y =0或x+2y+1 = 0.(2)由题意可知,所求直线的斜率为 ±1.又过点(3, 4),由点斜式得y-4= i(x- 3).所求直线的方程为 xy+1 = 0或x+y7

15、= 0.考点直线方程的综合应用学生用书P145典例引领例3：过点P(4, 1)作直线l分别交x, y轴正半轴于A, B两点.(1)当 AOB面积最小时,求直线l的方程；(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.【解】 设直线l ： j+b=1(a>0,b>0),由于直线l经过点P(4, 1),所以4+ 1=1.a b4 , 14 14a+Kg通,所以ab>16,当且仅当a= 8, b= 2时等号成立,所以当a=8, b=2时, AOB的面积最小,此时直线l的方程为x + '=1,即x+ 4y 8 28=0.(2)由于 4 + 1=1, a>0, b&

16、gt;0, a b所以 |OA|+|OB|=a+b= (a+b)=5+亘 + 4b> 9, b a当且仅当a= 6, b = 3时等号成立,所以当|OA|+ |OB|取最小值时,直线l的方程为x +2y-6=0.直线方程的应用问题常见的类型及解法(1)与函数相结合命题：解决这类问题,一般是利用直线方程中 x、y的关系,将问题转化成关于x的某函数,借助函数性质来解决.(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决.通关练习直线 li： ax- 2y=2a-4, I2 : 2x+a2y= 2a2+4,当 0vav2 时,直线 l1,I2 与两坐 标轴围成一个四边形,当四边

17、形的面积最小时,求实数 a的值.解：由题意知直线l1,匕恒过定点P(2, 2),直线l1在y轴上的截距为2 a,直线l2在11OOx轴上的截距为 a2+2,所以四边形的面积S= X2X(2 a) + 2X2X(a2+2)=a2a+4 =3一2,+ ? 当a=1时,面积最小.课堂小结O直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角 a和斜率k之间的对应关系：a0°0° V a< 90°90°90° V a< 180°k0k>0不存在k<06直线方程形式的选择在求

18、直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,假设采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零；假设采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.解决直线方程应关注三点(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角,但不一定每条 直线都存在斜率.(2)根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略练促学,强技提能分层演练上直击高考学生用

19、书P309单独成册根底达标,1.直线l过点1, 0,且倾斜角为直线Io： x2y2=0的倾斜角的2倍,那么直线 l的方程为A. 4x-3y-3=0B.3x-4y-3=0C. 3x-4y-4=0D. 4x- 3y- 4= 0解析：选D.由题意可设直线I.,l的倾斜角分别为 2%由于直线I.： x-2y- 2=012 X -的斜率为!那么tan a= 1,所以直线l的斜率k=tan 2“= 2tan 2 =一身221 - tan a 也 31-5所以由点斜式可得直线l的方程为y0=*x1,即4x 3y4=0.32.直线ax+by+c = 0同时要经过第一、第二、第四象限,那么a, b, c应满足A

20、. ab>0, bc<0B.ab>0 , bc>0C. ab<0, bc>0D. ab<0, bc<0解析：选A.由于直线ax+ by+c=0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方 程变形为 y= 一,x,.易知a<0 且b>0,故 ab>0, bc<0.3 .两直线区一y=a与xV=a其中a为不为零的常数的图象可能是ABCD解析：选B.直线方程京y=a可化为丫=也na,直线:'=2可化为y=：xma, 由此可知两条直线的斜率同号.4 .直线x+a2y-a=0a>0, a是常数,当此直线在x, y轴上的

21、截距之和最小时, a的值是A. 1B.2C. 2D. 0解析：选A.直线方程可化为：+ ：=1,由于a>0,a所以截距之和t=a + 1>2,当且仅当a=1,即a=1时取等号.aa5.直线x 2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是A. -2, 2B.(巴2 U 2, +oo)C. -2, 0) U (0, 2D . ( 一 00 ,+ 8 )解析：选C.令x=0,得y=2,令 y= 0,得 x= b,1 b 11所以所求三角形的面积为 2 b |-b|=4b2,且bw0, ；b2wi,所以b2<4,所以b的取值 范围是2, 0)U(0, 2.6

22、 .直线l过原点且平分？ABCD的面积,假设平行四边形的两个顶点为 B(1, 4), D(5, 0), 那么直线l的方程为.解析：直线l平分平行四边形 ABCD的面积,那么直线l过BD的中点(3, 2),那么直线1:2 y=3x.,一 2答案:y=|x7 .过点M( 3, 5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .解析：(1)当直线过原点时,直线方程为y= 5x；3(2)当直线不过原点时,设直线方程为x + t=1, a - a即 xy=a.代入点(一3, 5),得 a= - 8.即直线方程为x y+8=0.5答案：y= qx 或 x y+8=038 .直线l: (a-2)x+(a+1

23、)y+6=0,那么直线l恒过定点.解析：直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由 I+y"由2x+ y+6=0,解得 x=2, y=- 2,所以直线l恒过定点(2, -2).答案：(2, -2)9 .直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足以下条件的直线l的方程：(1)过定点 A(-3, 4);,1(2)斜率为6.解：(1)设直线l的方程为y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是一-3, 3k + k4,由,彳#(3k+ 4)x(+3 = d6,解得 ki = -3或 k2= -3.故直线l的方程为2x+3y6 = 0或8x+3y+12=0.1 一(2

24、)设直线l在y轴上的截距为b,那么直线l的方程是y=gx+ b,它在x轴上的截距是一 6b,由,得|6bb|=6,所以b= ±1.所以直线l的方程为x 6y+ 6= 0或x 6y 6= 0.10.0收1*如图,射线OA, OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1, 0)作直线AB分别交OA, OB于A, B两点,当AB的中点C恰好落在直线 y = gx上时,求直线 AB的方程.解：由题意可得 koA=tan 45° = 1,kOB=tan(180° 30° )=-所以直线 1oa： y=x, 1ob： y= ¥3x

25、.3设 A(m, m), B(-3n, n),所以AB的中点Cm + n '2'1 由点C在直线y=x上,且A, P, B三点共线得m m+ n_ 1 m V3n2=22,m 0n 0- m一 1 一 . 3n一 11解得m=4§,所以A(木,y/3).又 P(1, 0),所以 kAB=kAP= 沪 =33 ,3-12皿-3+V3所以 1ab： y=(x-1),即直线 AB的方程为(3 + V3)x-2y-3-V3= 0.1.假设直线x+y= 1(a>0, b>0)过点(1, 1),那么a+b的最小值等于 a bA. 2B.3C. 4D. 5解析：选C.将

26、(1 , 1)代入直线2+y= 1,得+1=1,a>0, b>0,故 a + b= (a+1 ba1)=2+a+2+2=4,等号当且仅当a=b时取到,应选C.2,点P(x, y)在直线x+y4=0上,那么x2 + y2的最小值是(A. 8B.2 ,2C. 2D. 16解析：选A.由于点P(x, y)在直线x+ y4=0上,所以y= 4-x, x)2=2(x 2)2+8,当 x=2 时,x2+y2取得最小值 8.所以 x2+ y2=x2+ (43.假设直线l与直线y=1, x= 7分别交于点P, Q,且线段PQ的中点坐标为(1, 1),那么直线l的斜率为()1 B.- 3解析：选B.依题意,设点P(a, 1), Q(7