统计学中常见分布的应用0001

1、统计学中常见分布的应用1 引言在数理统计中，常见的分布包括指数分布， 普哇松分布，正态分布， 2 分布， t 分 布， F 分布这些常见分布的参数的区间估计和假设检验问题是在日常生产生活中我们 常用到的问题， 在大部分的文献资料中对正态分布的这一问题讨论较多， 本文将就其它五个 常见分布的参数的区间估计和假设检验问题进行详细的介绍 其中包括这五种分布的密度函 数、性质及其在数理统计中的应用 五中常见分布的定义及其相关性质2.1 2 分布定义1（P225）称随机变量 X 服从 2 分布，自由度为 n1 n 1 x22x2 e 2n2 n2 2 ( )2如果它有密度函数x0fX (x)x0性质假设

2、 X1,X2,X3,X n, 独立同标准正态分布，则随机变量22X X12 X 22Xn2服从 2分布，自由度等于 n2.2 t 分布定义 21 （P228） 称随机变量X 服从 t 分布，自由度为 n ，如果它有密度函数fX (x)(n21)2 (1 n (n2)2 n 1x2) 2 ,( n性质 假设 X 服从标准正态分布， Y 服从 2 分布，自由度为 n ，而且 X 和 Y 相互，服从 t 分布，自由度为 n 独立，那么随机变量2.3 F 分布定义 31(P230) 称随机变量 X 服从 F 分布，自由度为 (m,n) ，如果它有密度函数fX (x)m 2 n 2 m m n m n

3、x 2 (n mx) 2 B(m,n)22x00 x 0注 B(m,n) (m) (n) (m n)m和 n得 2 分布，那么22性质 假设随机变量 xm2 和 xn2 相互独立，分别服从自由度为x2 m随机变量 Y xm2 m服从 Fxn2 n分布，自由度为 (m,n) 定理 设 X1,X2,X3,Xn, 相互独立，且都服从 N( ,22) 分布，则有下列三条结论：1)X X1Xn2N( , ) ;n2)12 (Xii12X)2(n 1) ;3)nX 与 (Xii1X)2 子样方差相互独立2.4指数分布定义 42( P60)设连续随机变量 X 的概率密度为其中 0 为常数，e0x， x 0,

4、x 0这种分布叫作指数分布显然，我们有f(x)dx 0e xdx指数分布含有一个参数 ，通常把这分种分布记作e( )如果随机变量 X 服从指数分布e( ) ，则记为 X e( ) ，因为F(X) P(X x)f (x)dx连续随机变量的分布函数 F ( x)等于概率密度 f (x) 在区间 ,x 上的反常积分) 由此可 得指数分布 e( ) 的分布函数为0 ,x 0F(x)=1 e x,x 02.5 普哇松分布定义 53(P64) 称随机变量 X 服从普哇松分布，如果kP(X k) e ,k 0,1,2,k!参数为0，记作 P(k, ) ，且易于验证有1) P(X k) 0,k 0,1,2,

5、;k2) P(X K) e 1k 0 k 0 k!pn (与普哇松定理 3 (P65) 在 n重贝努里试验中，事件 A在一定试验中出现的概率为试验总数 n 有关)，如果当 n时， npn( 0 常数)，则有klnimb(k;n,pn) k! e ，(k 0,1,2, )(普哇松定理可以用作近似计算和理论上服从普哇松分布的实例的计算) 普哇松分布的期望： E(X) ，方差： D(X) 即期望和方差相等3 常见分布在数理统计中的应用3.1 t 分布的应用3.1.1 t 分布在参数区间估计上的应用设 X N( , 2 ) , 未知，那么 的置信度为 (1 ) 的置信区间为(X t1 2 Sn,X t

6、1 2 Sn)其中X X1 X 2S21n n 1i 12(X i X)2t 可查 t(n 1) 分布表，事实上，由12可知X N(1n2i1X N(0,1) n22(Xi X) 2(n 1)再由 t 分布的性质，有从而对于给定的 (0ni1(X i X)2 (nSnt(n1)1)2 t(n 1)1)有PSnt1t1待查)22n由此得， 的置信度为 1的置信区间为(X t1 Sn1 2 nt12Xn ( Xi N( , 2)，i 1,2, ,n)t 是自由度为 n 1的 t 分布之 水平双侧分位数12例 从一批产品中随机取出 20件，并测量其尺寸， 得到下列 20个数据： 31.44 31.4

7、4 31.72 31.04 31.48 32.22 31.17 31.58 31.87 31.88 31.98 31.68 31.87 31.62 31.96 31.88 31.29 31.12 31.73 31.49 假设在正常条件下，产 品尺寸 X 服从正态分布 N( , 2 ) ，上面的数据是对 X 的观测值求：221) 求参数 和 2的字样均值 X 和子样方差 S2？2) 求参数 的置信度为 1 的置信区间？ ( 0.05)解 1) 参数 和 2 的点估计值为 X 和 S2 ,计算结果如下：2X 31.6730 ， S2 0.0966， S 0.31082) 选取 0.05 ，对于0.

8、05，自由度为 20-1 19，查 t(19) 分布得t0.975 2.09 ，由上面的结论的1 0.95置信区间为SS(X 2.09 ,X 2.09 ) ，nn其中X 31.6730 ， S 0.3108 ， n 20计算得 的 0.95得置信区间是 (31.5278,31.8182)3.1.2 t 分布在假设检验上的应用设总体 X N( , 2 ) ，未知方差，检验假设 H0 :0,H1:0,(t 检验法)对于显著性水平 (0X01) 选取统计量： t 其中 X 是样本均值，SnS2(XiX)那么所以假设拒绝域：对于给定的Sn和 n ，由t(n1)，,n 1t ,n 1是自由度为 n 1的

9、 t 分布之 水平双侧分位数，假设 H0之 水平的拒绝域是X0SSt ,n 1nX 0 t ,n 1 ， n接受域是SS0t ,n 1 X n0 t ,n 1 n例某种中药饮片中成分A的含量规定为10% ，现在抽验了该药物一批成品中的五个片剂，测得其中成分 A 的含量分别为： 0.1090 0.0945 0.1038 0.0961 0.0992 假 设该药物中成分 A 的含量 X 服从正态分布，问在 5% 的显著性水平下，抽验结果是否与片 剂中成分 A的含量为 10% 要求相符？解 假设该批药中成分 A的含量 X 服从正态分布 N( , 2)，其中 和 2均为未知常数基本假设 H0 : 0 0

10、.1000 (成份 A的平均含量与要求相符)给定显著性水平0.05， n 5，查 t0.975(4)双侧分位数得 t0.975,4 2.78假设0.1000之 0.05 水平 的否定域是V X 0.0927X 0.1073计算 X 0.1005 V 故不能否定假设 H0 : 格另：还可以用 t 检验法检验：未知 12 及H 0： 12, H 1： 其中随机变量 X0.1,因此抽验结果说明该药中A 的含量合22， 12= 22 ，假设检验N( 1, 2) ，随机变量 YN( 2, 2)取统计量n2 2)X2Y 2n1n2(nn1nn22) t(n1(n11)S12(n21)S22 n1n2对于给

11、定的显著性水平查t(n1 n2 2) 分布表，然后计算统计量 t 即可做出推断23.2 2 分布的应用设 X N( , 2)其中3.2.1 未知条件下的假设检验在未知均值时，检验假设 H0 : 2nSn2Sn21nn在 H0: 202 成立时，x2 服从自由度为查自由度为分布表求值即是得拒绝域：2，Px2计算统计量之值，若x23.2.2在已知统计量 x022x12x1则拒绝已知条件下的假设检验0 的情形下，检验假设202 取统计量n2 (X i X)2i1n(Xii1X)22 使得满足2,n2,n 1H0:H0:12 (Xi0)2由于 X1,X2,0 i 1为自由度假设的否定域：对于给定的显著

12、性水平其中 x1 2,n 1 ，分布对于给定的显著性水平P x212或x22x 2,n 12x 2,n 102 ，否则接受H0:200 对于显著性水平,X n, 独立同正态分布，2 2 2P x0 x1 2,n P x022x22,n 1是 2 分布上侧分位数因此，V x2x12,n 1或x就是假设 H 0 的水平的否定域和自由度 n ，有2x22x 2,n 1(0所以1) ，选取22x02x2 (n) ，n3.2.3 已知条件下 2 的置信区间假设0 ，其中0为已知数，那么 2 的(1) 置信区间为(x22,n(Xi0)2, x211x1 2,nn(Xi0 )2 )i1假设 未知，那么 2的

13、 (1) 水平置信区间为22(n 1)S2 ,(n 1)S2)22x 2,n 1x1 2,n 1其中S2 1(Xi X)2 n 1i 1 i例 某厂一车间生产铜丝的折断力已知服从正态分布， 生产一直比较稳定 今从产品中 随机抽出 9根检查折断力， 测得数据如下 (单位： kg)298 ，268 ，285 ，284 ，286 ，285 ， 286 ， 298， 292问是否可以相信该车间的铜丝折断力的方差为20？解 设 X 表示铜丝的折断力且 X N( , 2) 基本假设 H0 : 2 20，对2H1： 20 对给定的显著性水平0.05，查 2 (19)分布表得： 1 2.18， 2 17.5，

14、满足22P(x21)0.025， P(x2 1) 0.025由此确定临界域为 ,2.18 17.5, 根据样本观测值，计算统计量 x2 的观测值：n 162.89X 287.89， (Xi X)2 162.89 ， x28.14，i 1 i 20 由于8.14 ,2.18 17.5,所以认为基本假设 H 0: 2 20成立3.3 F 分布的应用3.3.1 F 分布在假设检验上的应用设有两个随机变量 X和Y, X N( 1, 12)，YN( 2, 22)，而(X1,X2, ,Xm)和(Y1,Y2 ,Yn )分别为来自 X 和来自 Y 的两个相互独立的简单随机抽样在1, 2 未知的情况下，基本假设

15、H 0：2, H 1：对显著性水平：(01) 选取统计量其中：S2X11i对显著性水平，由PF确定 1与 2 可得临界域：(XiF SX222SY222X)2 SY2SX SY F(m2 2,P F2,， 1与1i1(YiY)21,n1)2 的求法，2可直接查 F(m 1,n 1)之 水平上侧分位数 f 2(m 1,n221) ，由于那么所以假设 H 0：3.3.2 F1 F F(n 1,m 1)2P112f 2(n 1,m 1) ， 1 11 f 2 (n1,m 1)1 f 2 (n 1,m 1)12, H1： 拒绝域是分布在参数区间估计上的应用设 X1, X2, , Xn是独立同分布的随机

16、变量，F(x)，2(m 1,n 1) 12接受域是 ( 1, 2 ) x1的分布函数形如X(1) ,X (2),X(r)是前 r个次序统计量， 1 rn则 S(n,r) 与S (n,r) 0 YiXii， Y(i)S(n,r)X(i)其中 i 1,nYi1r1r22 Yi r i 12无关记 S(n,r)分位点为(n,r) ，在 01时) r n (S2r Yi 1 r r2Yir1Yii1(n,r)可以作为参数 的置信度为 1 的置信区间3.4 指数分布的应用设总体 X 服从指数分布，概率密度为f(x, )其中0 为未知参数，我们有2r Yi 1 r r2YiS (n,r)2r1S (n,r

17、)xe x , x 00, x 0Yii111E(X) ，D(X) 2 对于已给的置信水平 1，按公式P X( ) ( n) u 1( ) n 2易知不等式由此解得其中于是有X1(11X 1 n un211nu2)，111 (1 1 u )X n 22)P( 1上式表明：未知参数的置信水平为1的置信区间近似为() 基本假 设H0：0, H1：0易知总体 X 的均值与方差分别是1 2 1E(x) ( ) 1 ， D(x)2( ) 12当样本容量充分大时统计量近似地服从标准正态分布Xii1n0N ( 0,1) 由此计算统计量 U 的观测值得 U U 0 ，已知显著性水平，查表得临界值 u u0若

18、U2u 则接受原假设否则拒绝原假设2例 从一批电视配件中抽取50个样品，测的它们的使用寿命均值为1200h ，设电视配件的使用寿命服从指数分布 e( ) ，求未知参数的置信水平为 0.99 的置信区间？解 有题设有n 50 ， x1200已知置信水平为 10.99，0.01，查表得由此得按以上所求参数的置信区间为3.5 普哇松分布的应用u0.00512100(1t0 .005 ( )2.58，0.0005312100(12.58)50)0.00114(0.00053,0.00114)假设随机变量 X 服从普哇松分布，0未知； (X1,X2, ,Xn)是来自 X 的简单随机抽样，则总体的均值和方差分别是E(X)，D(X)因为样本 X1,X2, ,X相互独立，与总体 X 服从相同的分布，所以有在 n 充分大的条件下参数P( 1注：按中心极限定理)即E(Xi)，D(Xi)，