考研数学一真题解析-

1、_2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、选择题 (1-8小题 ,每小题 4 分,共 32分 ,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内.)x2x(1) 极限 lim=x ( x a)( x b)(A)1(B) e(C) ea b(D) eb a【考点分析】：考察型不定性极限。【求解过程】：方法一 ：利用求幂指型极限的一般方法：归结为求w lim xlnx2( x a)( xb)xlim x ln 1x21x( x a)( x b)lim xx21x (x a)( x b)(ab)xablim xx( xa)( xb)ab因此，选

2、C【基础回顾】 ：对于一般的幂指型极限有：limf (x) g( x ) lim eg (x)ln f (x ) elim g( x)ln f ( x )精品资料_方法二 ：利用第二个重要极限求解x2xx2xI limlim11x(xa)( xb)x( xa)( x b)1 ( ab) xabx( a b) xabxlimlimex( x a)( xb)x( xa)( xb)eab【基础回顾】：一般地，对于型极限，均可利用第二个重要极限求解：设 lim f ( x)1， lim g(x)，则lim f (x) g (x )lim 1 f ( x)g( x )1elim( f ( x) 1) g

3、( x)(2) 设函数 zz( x, y) 由方程 F ( y ,z) 0 确定 , 其中 F 为可微函数,且 F20, 则xxzzxy=xy(A) x(B) z(C)x(D) z【考点分析】：隐函数求导【求解过程】：方法一 ：全微分法方程 F ( y , z )0 两边求全微分得：x xF1yz0，即 F1xdy ydxF2xdz zdx0d ( ) F2 d ( )x2x2xx整理得 dzyF1zF2 dxF1 dyxF2F2精品资料_所以，z yF1zF2zF1。代入即可求得zyzx，xz 。选 B.xF2yF2xy方法二 ：隐函数求导公式法记 G ( x, y, z)Fy , z，对于

4、隐函数 G( x, y, z) 0,利用隐函数求导公式得：x xF1yF2zzG Gx2x2yF1zF21，xxzxF2F2xzGGF11F1xyyzF21F2x代入即可求得xzzyz 。选 B 。xy方法三 ：复合函数求导法由方程 Fy , z0 可确定 zz( x, y) 。方程 Fy , z0 两边分别对x,y 求偏导，xxxx注意 zz( x, y) 。由复合函数求导法则：F1(y)F2z1z对 x 求偏导 :x2x2x0x对 y 求偏导：1F21z0xxyF1zyF1zF2zF1解得：xF2F2xy代入即可求得x zyzz 。选 B 。xy【方法总结】：上述三种方法是求解此类问题的三

5、种典型方法。要熟悉隐函数求导公式和复合函数的求导法则，复合函数求导容易出错，注意多加练习。精品资料_1 m ln 2 (1x)(3) 设 m, n 为正整数 ,则反常积分nxdx 的收敛性0(A) 仅与 m 取值有关(B) 仅与 n 取值有关(C) 与 m, n 取值都有关(D) 与 m, n 取值都无关【考点分析】：反常积分的判敛法则，超纲题【基础回顾】：利用反常积分的判敛法则对瑕点为 xb 的瑕积分bf ( x)dx ，设 f (x) 在 a,b) 上连续，且 f ( x) 0，有如下判a敛准则：mb 若b xf xkkm 则 f (x)dx收敛；lim()(),0,01,ax bmb 若

6、lim()(),0,1,则发散。x bb x f x kkmaf (x)dx【求解过程】：m ln 2 (1x)，所以 x=1因为 limnx为瑕点。x 1m ln 2 (1 x)22 1而 limlimxm2 1n1lim x m n ，所以 x=0 是否为瑕点取决于是否为x 0xx0xnx 0mn负数。1 m ln2(1x)12(1x)2(1 x)Idx2m ln1 m ln0n0ndx1ndxxx2x1 mln2(1x)m2(1 x)21ln仅当0ndx 与 1ndx都收敛， I 收敛，否则 I 发散。x2x1 m ln 2 (1x)dx 的敛散性20nx精品资料_212(1x)11x0

7、时， m ln2(1 x) x m ，2m lndx 与22 dx 敛散性相同，n10x0xnm1 21121 m ln 2 (1 x)因为 m,n 均为正整数， 所以2dx 收敛，n-1,mn若 21n 则 r ( A)r ( AB)m, r ( B)r ( AB)m ，与r ( Am n )min( m, n),r ( Bn m )min(m,n) 矛盾故必是 m X=0, 即 BX=0 有唯一零解，故 r (Bn m )m同理设方程组AT X0 ，两边左乘 BT ，得BT(ATX)(BT AT)X(AB)T XETXEXXBT ( AT X )BT O0X0 ，即 AT X0 有唯一零解

8、，故r ( AT n m )m ，r ( Am n )m ，选 A精品资料_(6)设 A 为 4 阶实对称矩阵 ,且 A2A0, 若 A 的秩为 3,则 A 相似于1111(A)(B)11001111(C)(D)1100【考点分析】：矩阵特征值的求解，对称矩阵必相似于对角阵，相似矩阵的秩相等【求解过程】：方法一：矩阵多项式方程与矩阵特征值的关系由 A2A 0 得矩阵的特征值满足方程20 ，所以0, 1由于为实对称矩阵，故可相似对角化，即A ，对角阵对角线上的元素为的特征值由于的秩为，所以的秩也为，所以对角线上的元素一个为，其他为。综上，选 D【基础回顾】 ：若给定矩阵的多项式方程f ( A)0

9、 ，则的特征值满足 f ()0 ，由此求得的值为矩阵的全部特征值方法二：用分块矩阵设按列分块为A1, 2, 3 , 4 ，由 r ( A) 3 知的列向量组的极大无关组含个向量，不妨设1,2 , 3 为的列向量组的极大无关组，由于A2A ，即A1,2,3,41,2,3,4即A1,A2,A3,A41,2,3,4精品资料_得 A ii ,i 1,2,3,4由此可知是的特征值，且1 ,2 , 3 是对应的个线性无关的特征向量，故是的至少 3 重特征值。而r(A)=34, 所以 0 也是 A 的一个特征值，于是A 的全部特征值为-1 ，-1 ，-1,0 ；且每个特征值的重数等于其对应的线性无关的特征向

10、量的个数。因此A 相似于对角阵 D=diag(-1,-1,-1,0),选 D0; x0(7) 设随机变量 X 的分布函数 F ( x)1 ;0x1 ，则PX 1=21 e x; x1(A)0(B)1(C)1e 1(D) 1e 12【考点分析】：由分布函数求概率【基础回顾】：利用分布函数的性质：P( Xx)F (x)F ( x )【求解过程】：P( X1)F (1)F (1 ) , 由分布函数 F(x) 得 F (1)1 e 1 ， F (1 ) lim F (x)1x 12所以， P( X1)1e 1 ，选 C2(8) 设 f1 (x) 为标准正态分布的概率密度, f2 (x) 为 1,3 上

11、均匀分布的概率密度,精品资料_af1(x)x0f ( x)( x)x(a 0, b 0)bf20为概率密度 ,则 a, b 应满足(A) 2a3b4(B) 3a2b(C) ab1(D) ab2【考点分析】：概率密度的性质和正态分布和均匀分布的性质【求解过程】：01f ( x)dx a f1 (x) dx bf2 (x)dx001由标准正态分布的性质得f1 ( x) dx(0)2f 2 ( x)1 , x1,3由均匀分布的性质得4，所以f 2 ( x)dx0, x01,3所以，1 a3 b1，即 2a+3b=4, 选 A2443 13。dx404二、填空题 (9-14小题 ,每小题 4 分 ,共

12、 24分 ,请将答案写在答题纸指定位置上.)t22ydt(9) 设 x e , yln(1 u )du , 求2=.0dxt 0【考点分析】：参数方程求导、变上限积分求导【求解过程】：方法一 ：利用参数方程求导公式求解精品资料_dydy dtln(1 t 2 )tt2)dxdx dte te ln(1dydyt2)t 2td 2 yd ( dx) d ( dx) dte ln(1 te21 tdx2dxdx dte td 2 y把 t=0 代入上式即可得0 ，填 0；2dxt 0方法二 ：消去参数再求导数。由 xe t 得 tln x，且 t=0 时， x=1 ，则ytu2 ) duln x2

13、 )duln(10ln(1 u0dyln(1ln 2 x)1dxx2yddy112ln x1ddxxln(1 ln2dx2dxx1ln 2 xx)x2d 2 y0，填 0把 x=1 代入上式得dx2 t0【自我总结】：方法一较常用，方法二仅作为参考。2(10)x cos xdx =.0【考点分析】：定积分的变量替换和分部积分【求解过程】：令 tx ，则精品资料_2t costdt 22 t2 costdt0x cos xdx002t 2 d sint2t 2 sintsin tdt 200040t sin tdt40td cost4t cost 040costdt4填 4 。(11) 已知曲线

14、 L的方程为 y 1x x 1,1, 起点是 (1,0), 终点是 (1,0),则曲线积分xydxx2dy =.L【考点分析】：第二类曲线积分、格林公式【求解过程】：方法一： 用参数法求解第二类曲线积分y 1 x1x, x0,11x, x1,0)xydxx2dyx(1x)dxx2d (1 x)x(1 x) dx x2 d(1 x)LABBC0x)x2 dx1x) x2 dx x(1 x(1，填 0。100方法二： 加减弧线，利用格林公式求解。添加直线段 L1CA精品资料_如上图： L ABBC，记 L1 CA。则 LL1 为闭曲线且所围区域记为D,此时， P(x, y) xy, Q( x, y

15、)x2xydxx2dyxydxx2dyxydxx2 dyLP dL L1L1Q0dx1Dxy1xd0D由于积分域 D 关于 y 轴对称，且被积函数是x 的奇函数，所以xd0。填 0D方法三： 凑全微分法被积表达式分为两部分，一部分易求出原函数，另一部分直接化为定积分xydx x2dy2 xydxx2 dyxydxLLL，填 0d( x2 y)1x2 y(1,0)x(1 x )dx0 0L1( 1,0)(12) 设( x, y, z) | x2y2z1, 则的形心的竖坐标z =.【考点分析】：三重积分的物理应用，形心坐标公式【求解过程】：如图所示：精品资料_zdxdydz形心公式：zdxdydz

16、三重积分的计算：方法一： 截面法用先二后一的公式分别求解这两个三重积分。与Z 轴垂直的截面区域 D( z) : x2y2z 的面积为 z 。又zdxdydz1zdxdy1zdz1dzz30D ( z)0dxdydz1dxdy11dzzdz002D ( z)122所以， z313，填32方法二： 柱坐标用柱面坐标计算三重积分211111z2zdxdydzdrdrr2 zdz2rdr0002r 21( r r 5 )dr302111r 2 ) drdxdydz0drdrr2 dz2r (1002122所以， z313，填32(13) 设 (1,2,1,0)T , (1,1,0,2)T , (2,1

17、,1,)T , 若由 , , 形成的向量空间123123精品资料_的维数是2,则=.【考点分析】：向量空间维数的概念【求解过程】：方法一： 矩阵初等变换因为，由 , , 形成的向量空间的维数是2，所以， r (,)2 。对矩阵 (,)123123123进行初等行变换得：112112112(1,2,3)211 013 01310101300a 602a02a000所以， a=6. 填 6方法二： 向量空间与基底1,2 , 3 形成的向量空间的维数是2，其中1,2 不成比例，线性无关，是该向量空间的一组基，所以3 可由1, 2 线性表出，即方程组1, 2 X3 有解。由1 1 21 121121,

18、2|32 1 101301310 1360 100 a0 2 a0 2a000 1, 2X3 有解r ( 1 , 2 )r ( 1, 2 | 3)a 6 ，填 6C2(14) 设随机变量X 概率分布为 P Xk( k0,1,2,), 则 EX=.【考点分析】：概率分布基本性质，泊松分布及其性质【求解过程】：精品资料_方法一： 识记泊松分布的期望和方差根据概率分布的基本性质，可知 1P X kCCe，所以， Ce 1 。即随机变k 0k0 k!量 X 服从参数为1 的泊松分布。则 E(X) D(X)1，所以 E(X2) D(X)E( X )22 ，填 2。方法二： 推导泊松分布的期望和方差同方法一求出 Ce 1 ，若不记得泊松分布的期望与方差的性质，可直接计算EX2k2P( Xk)k2 e 1e1kk !k 1 (k 1)!k 0k 0e 1i 1e 1i1e 11e ，填 2i 0i !i 0 i !i 0 i !i 1 (i1)!e 11ee 1 ee2j 0 j !【方法小结】：方法一： X 服从参数为的泊松分布，则其E( X )D ( X )方法二： 推导过程用到了ex 的幂级数的展开式， 但对于填空题来讲， 方法一较为快速准确。精品资料_三、解答题 (15 23 小题 ,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15