数值分析课件第九章矩阵特征值和特征向量

1、第九章 矩阵的特征值与特征向量/* Eigen-values and Eigen-vectors of matrix */工程技术中的许多问题例如电磁振荡、桥梁振动、机 械振动等，都归结为求矩阵的特征值 和特征向量问 题一一代数计算中的重要课题。匕待求解的问题：矩阵的特征值人和特征向量xM, 满足：Ax=Ax or C(XI-A)x =0Eigen-value Eigen-vector如何求解?1特征值：已知a=3,7)x，求a的特征多项式的根-0(4) = ZI - A =+ c/i + . c即求解代数方程 叭2)=2"4cn = 0 A 的特有个零点(实或复，计重数)：特征向量

2、：已知A的特征值入，求齐次线性方程与组盟 (AI-A)x = 0的非零解”，(-A| 二 o ,所以有非零解。)为A对应于人的特征向量。从理论上讲，可利用代数方程求根求出特征值，再 利用线性方程组的解法，求出特征向量。q缺点：工作量大且特征向量对矩阵的依赖很高； 当矩阵阶数较高时，高次代数方程求根的计算稳定 性较差。另外，实际问题中的具体要求不同，有时只要求A 的绝对值最大的特征值(主特征值)及相应的特征 向量；有时又要求全部的特征值及特征向量。根据 这两种不同要求，求矩阵的特征值与特征向量的方 法也大致分为两类：迭代法(森法反森法)、变换 法。关于矩阵特征值及特征向量的一些结论：Thl. 4

3、 (*1,R)为A的特征值，则有 /?1. ="(A)1=1/=1n2. det(A)= II A r=lTh2、AB(相似)，即存在可逆阵T,使15=从1；则1 . A与B有相同的特征值。2 .设x是B的关于九的特征向量，则Tx是A的关于 九的特征向量。Th3、( Gershgorin's定理，园盘定理):A=(5),则A的每个特征值必在下述某个园盘中：A au < Z 1%, i = 1,，几j=l，并 i- 一A的每行元素确定一个圆盘，共n个。Th3表明A的任r出征值必在这n个圆盘中的某一个内。证明：设人为A的任一特征值，xM为对应特征向 量，则有(AlA)x=O

4、, 设 Lxjkmaxlxyl,显然 x/M,第1个方程：(2-%)玉=£ aijXjj=l，2=E h I 产ITh3的证明过程表明A的任一特征值必在其对应特征向量模最大的分量的指标所对应的圆盘中。DefL A”、一实对称阵，VOwxeR",(Ax.xe R(x)(X,X)称为A对应于向量x的Rayleigh商。Th4.Ax 一实对称阵，其特征值依次排序为4之4之之4,对应特征向量X,x2，x组 成规范正交系，即(知巧) = %,则八(Ax,x八A = max rvl(Ax, x)(Ax. x)x,x)A, = minOwxwR"1. VO w x £

5、 R, 4? < - < 4(x,x)2.3.Proof.1. VO w xeR X" /forms an orthogonal basis of R，so it is possible to write x aswhere not all ai1=1could be zero. Thus we have(n、汇?4知2产,I，TJT/不；T2内，2%勺 ，=1j=i7E 4%2/=12$ a； z4 xi V (Ar,x)4 = n 7"二(x，x)f=l4*%，IXi=l2. From 1 we know VOwxcA",("»

6、 4 (x, x)so we only need to prove there exists an xM such that (心人)乙(x, x)Taking x=xv we get(Ax,X) _ (4m_ 4(X,xj(M，龙 J3. Proof is similar to 2.§1零法与反舞法（按模最大与最小特征值的求法）B基法：求模最大的特征值一主特征值及相应特征向量的迭代法。用A的乘赛构造迭代序列，因此称为森法。条件：A wR刈具有线性初等因子今 A有个线性无关的特征向量。心优点：简单，适合稀疏矩阵。Q缺点：有时收敛速度很慢。Algorithm 1. suppose A

7、has eigen-values图>|闱之阂之（This implies 儿 is a single real root ofthe characteristic polynomial; else 阂=同，and n independent eigen-vectorsX2 < >,.Take an initial vector v（） W Rstart the iteration system 匕=Au（）,v2 = AvpVA = Ak（= AAVO）图I"141 %n j：> %X,左 4O,Zc>8,i = 2ooX is an eigen-vec

8、tor of A, andis also an eigen-vector corrj The same isaxXx x vkonding to 4 of A.、"1 4Eigen-vector=> axxxk+与 H-a一r 1Xn7Convergence analysis of Algorithm 1.v0 = axxx + a2x2 -f ocnxn, 2 w 0匕=Av0 = alAxl + aAx2 db=。无2玉 + a2Ax2 hf anAnxn14k Xj + 2)X-, + , , + CL n 4： XfXn=4" ax为七44%项 以+产41/玉

9、=4以k fs/+,/Q> 4Eigenvalue %Th5.A cEm有n个线性无关特征向量 不，五 主特征值%满足闾阂之闾之仅|则 VO w % e R, v0 =+ a2x2 4卜 ocnxn，/ w 0做迭代vk = 4匕-1 = A"%> cxyxk -> oosummaryiteration systemvk = A”？v>：） cx.xk -> 禺 1 1一=Principaleigenvalue X）00eigen-vectorcorresponding t。乂1.收敛速度：主要由来厂=等确定，r越小，收敛越快。r«l时收敛可能

10、很慢。2 .若有o七为七4%内，说明四期%以及尸匕都不能作为近似 特征向量，需妻重薪取初始向量再迭代。3 .用赛法进行计算时，若 4|>1（。 <1）引4 M1 - 8（。）在计算机中会产生“溢出”或“机器零”的情 况（超过计算机字长所能表示的精度）Algorithm 2(improvement of A.1).1V 'v2 = Aux. 匕：+i = A%， Convergence analysis of A.2. %， w() 二%，maxvv2 =- max(v2)vkuk =max(vk)Max(x)取出向量x 中模最大的分量巧=Aw() = Av(phv2 = A

11、ut =, uwmax(Av0)一 A”。"max(AA1v0)?-vi - Av/max( V) max(A v0)A,_ v2 _max(Av0)2 max(v2)A2v()- max()max(Av()_A2% maxAv) _ A2v0maxAv max(A，) max(A2v0)1=A%“ max(AAv0)aa%=X%"% = 4"1=1%= A'J = max（屋%）不id%2 + + %UJmax axxx +a2RUJ当对应九i的特征向量占>max&)的规范化向量% 1 -(a内+%X）+ + c、 J/x.maxg） =m

12、ax %阳+% ±+ aUJz+,+%用max （a内）'"甲 max （a内）Th6.A cEm有n个线性无关特征向量 西，五 主特征值%满足 闾|4|习4|"|4|则VO w % e R, ()= v() = /玉 + a2x2 Hf ocnxn，q w 0做迭代 “0 = vo外=_ %"max(uj有Uk 受、，kf8max(xjmax(均)4,k一83。的主特征值为实重根，即4=4=-=&,且同14M之同。乂设A有11个线性无关特征向量，匕对应的r个线性无关特征向量为百，x2, ，xr O“1后充分大时，vk«4>

13、;q±，%i *4i>咕 nI fln a fi=l1=% （=0）°缺点：只能求出个特征向货，若要求找它线性无关的特征向后, 需要用不同的初值作迭代。4°: 当4=_4,且141T阖同之之同。4、eRo/*%=/希+（-1八十£碾|告1 4 /当才充分大时,同理:24，。泅+（-1a2x2）%L4午1+（-1尸外2） yf%2 2 4"。口1+（T尸®20凫 4。以=A2上=> 4 %If、/。）3°卜一2/%（ H°）乂%I 一办-2% '2ki ' /"丙4的近似特征向量

14、特征向量（qg ho） °4的近似特征向量。5c 实根 5=办:=/二=-Xu = -4+2 :二-， L，个实重根，个正堂根|A+/| > |4+/+1|之之|4|。底=且%。=火"£（一1/£生+ £ ，=】j=r+l，=，Z7 14 J当k充分大时,=、i+2也（工。）k-40-4*"（-1产2 y 4.1的一个近似特征向量 r«r*l%1+4昨。472fqa一4的个近似特征向量。i=l说明：只能求出2个特征向量,要求出其它特征向量,用不同的 初值迭代。2.加速法（塞法的加速）Rayleigli商加速:前面定义了

15、实对称阵的Rayleigh商，所以 Rayleigh商加速只对对称阵有效。A e Rnxn , AT = A ,特征值|闻。|之闷N之间。对应的特征 向量玉，由，与正交，不妨设:满足（，x j ） = % , 用上法计算4，且作规范化处理，则Tfk max (,4"o)， 'I卜 max (#"o 二 4" + X % 俘*4= max卜.6 + X卬(巧 nmax(%)=一 、4" max；子; fV，=2 MJ而对“人计算,次Rayleigh商，彳f,('iG l±xl9±ax/ /-I/-I/1>:产(.T

16、= 4 +。 &/-1说明川Rayleigh商加速1次，川.以使近似值 R也，o)。(L = 4 + o 公 J Jk比max”一)精度2 ,原点平移加速法。设a的特征值为图 > 图之同之之|4令8 =幺一0Lp-选择参数，B的特征值为 乙一。，丸“一。，且与A具有相同的特征向量占,.丫2，”P的选择：使4-P是B的主特征值，即|4-夕|>忆-?|之.“平-。|应用嘉法计算B的主特征值4-9时比求A的主特征侪4速度快'即I翎制I设计一个自动选抒适当参数p过程很困难，若A的主特征仙是实数， 可以采用F面的方法选择？设A的特征fiT.满足4>4之之4，则VpeK,

17、有5 = 2 m 的主特征值为4-P或4一p 。若要计算4及再，则应选择使 忆一川>忆一加，且使收敛速度的 &一p| |4 一p|.H,z<. co = max . = min比值 1|A-p|A-p|J显然.当4一p = （4 一 p）=p.时,切最小1此时收敛速度的比值为Ap X 一 4 一 4同理，若要十算4应选。=殳。=/,因此，当A的密征值满一足 4>质之之北，且4、4或小、4_】能初步估计时，就可 以确定户的近似值。3 .反转法告A非奇异.则闻=立2产On /”（V = 1»，反幕法M以求模最小的 特征值及其特征句量。设A非奇异，且特征值满足|4

18、|>|闵之同之之区|>0,又设A仃n个线形无关的特征向量%/且小吉> >同则 H-： 6-在，且且”的特征值为-,>=l-n , A.§2雅可比法（计算实对称阵的全部特征值和特征向量）i主要理论依据是：对于n阶实对称矩阵A, 一定存在正交阵R 使得：'4War = d=4 .，其中4。= 1）即为A的全部特征值；n /R的第j列向量为对应于乙的特征向量。因此求实对称矩阵的特征值问题等价于求正交阵R使史,班为对角 阵。%、cosg fin 夕 飞 cI2 , cos8 , 'J %,cA = au cos: 6 + (%： +(? )sin

19、6cos6 + % sin* 6 =叼 cos* 6 1 siii2 0a2 sin26 cI2 = c21 = 一 ! sin 6 cos 8(72i sii? 8+41 cos2 9 + a22 siii 6 cos & c22 = au sin"夕一仿" +62 卜in©cos。+ > cos* 8 = au siir 8+a二 cos2 0-an sin20选择。，使 “ =.=；(%2 i )sin20 + %2 cos2。= 0“I= %2 时，"1 % H 4”时，tg28 -， 6 = arctgBP 可.-422% - 2

20、2>11 0< °C22_ 4广。O'、）平而旋转变换从而特征值4 =Q,乙=% ,特征向量:1 cos 0,sin 8- sin 夕,cos® V91 雅可比法的基本思想：丁，设法用一系列简单的正角阵以，逐步地将A化为近 似对角阵（非对角元近似化为0）。即选择令A）=A，Ak = RkA-R；, k=L2,s.t. a > diag（4,4，4） k isA的全部特征值问题的关键：如何构造正交阵R？平面旋转变换弓I入火”中的平面旋格变换sin 6sin。cos 8sin。”-一Zfj于是广-sill 6?jtr显然,rtr=i9即R是正交阵。定理

21、1： A对称阵，R平面旋转阵，则。二人我的计算公式 为：（注：RT左乘A,只影响A的第i行和第j行，4注只影响RZ的第i、j列，因此父的第i、j行，第i、j列变化，其他元素不变）1 .火J 的计算：rta = (a) = i1 , 第 i 仃元素:cik = rnalk = aik cos0 + ajk siii0(k=1 )hln 一一.n2,第 j 行兀素：cjk = V ralk = -aik sin0 + acosdk = 1 - u)1=13。，其他兀素：(/y六=i)2 .RT AR的计算方法：RT AR = (clk ) = C1°,笫 i 列元索：ch = £

22、;可/工=5 cos，+ 0 sin。2°,第 j 列元素：=F sin8 +马 cos8k=l3°,其他列元素:Cr = Wr (k手i. i, / = i)O 1°，广每 cos%"$in， k/zji2°,c4 = cjk - 口 疝8+0 / cosd(k H i,j)Q3 j c；f = c-icos6+c&.sin9 = ahcos+ahsin9 (/工打)0.，/4, cf; = -c；fsiii6+cos6 = -ohsin6+a.cos65°，:啕58k箱力0i、/6 » ch - c cos 6+

23、cl： sin 0=cos &an cos 0+ap sin ) -I- sin 91 rzv cos +asiii 6)二 4 cos - 6+q,疝1£+% sin 20c. =g =cos0 卜F sin。二cosJ( au sin64 与 cos。) I sin8( siii0 lq；cos&)=-(册- q/sin 28+q cos 20c- -c;J sin 6+弓 cos 6 = cos 0 (% cos d - q sin 9) - siii 0 (aj; cos 0 - . siii 0)-.siii2 8+n cos2 6- a. siii 10选择。，使中 : Ji =0,即口。疝29+q；cos28 = 0'd=哂，“2412a,' I % 4 %时,双28 , 3 - -arcig%一册 2%-%注：定理1说明,通过一次平面旋转变换（正交变换）可以将一对 非对角元素化为0。定理2：设A实对称,R献擀,C二