暑期班第3讲导数的应用和积分理科

1、办 第三讲导数的应用和积分导数的应用和 积分要求层次重难点导数的概念A导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景.理解导数的几何意义.导数的运算能根据导数定义，求函数y = c, y = x, y = x2 ,）? =/，y = , y = fx （ c X为常数）的导数.能利用一些基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的 复合函数（仅限于形如/（+）的直合函数） 的导数.导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多 项式函数一般不超过三次）.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件；会用导数求函

2、数的极大值、极小值（其中 多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函 数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超 过三次）.生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.定积分与微积分基本定理了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思 想，了解定积分的概念.了解微积分基本定理的含义.导数的几何意义B根据导数定义求函数V = C, y = x, y = X2,y = /，y = -, y = 4 的 X导数A导数的四则运算C简单的复合函数（仅限于形如/（4X +。）的导数）B导数公式表B利用导数研究函数的单调性 （其中多项式函数不超过三次）C函数的极值、晟值（其中多 项式函数不超过三次）C利用导数

3、解决某些实际问题B定积分的概念A微积分基本定理A板块一：导数与定积分的概念与运算(一)知识内容1 .导数的概念函数的平均变化率：当ArH0时，=)一 /(色)称为函数),=/*)在区间口。，% + Ax之间的平均变化率. ArAx函数在一点处的导数：如果当0时，包趋近于一个常数/,则称/为函数f*)在点.%的瞬时变化率，也称为函数)，= /)在X = X0处的导数,记作/(%).即r(%)=lim/)一).此时称/*)在X =4处是可导的.导函数：若f(x)在(“)内每一点都可导，则称/(X)在3,切可导,此时fx)构成的一个新的函数称为函数3,=/*)的导函数.2 .导数的几何意义：曲线y

4、= /(x)过点(，.)的切线的斜率等于八小).3 .常见函数的导数公式：Cf = 0 (C为常数)； (xn)* = nxl , ?eN* ; (sinx)= cosx ; (cosx) = -sinx ;(e) = e、；(ux) =(/ In a (40,且“Hl); (lnx) = -; (logu x)1 = - logu e (“0,且“wl). XX4 .两个函数的和、差、积、商的求导法则：法则 1 u(x) v(x)r = (力 /(X),法则2送机(初=/(柳(力+ ”(枷。).3 察=心心)(心)H 0).Lv(x)JV2(x)复合函数 y = f(x)的求导法则：/(x)

5、r = /()： /(X).5 .定积分定积分的概念：n-I./I-1曲边梯形面积的极限，即和式Z/G4的极限，/。)去二山】八。)冬.这里，分别叫做积分下 i!限与积分上限，叫做积分区间，f(x)称为被积函数.积分运算与求导运算互为逆运算.微积分基本定理：1.x）dx=F（x）=F-F（a）,其中尸分）=/（力.Jaa定积分求曲边梯形面积由三条直线x = a, x = h （“），x轴及一条曲线y = /（x） （/。）20）围成的曲边梯形的面积 S = f f （x）dv .如果图形由曲线y = （x） , y = A（x）（不妨设工（x） 2/式%）,及直线x = ，x =勿围成，那么所

6、求图形的面积S = J：（工）人。）心.（二）典例分析:【例1】已知X则lim 土工-ai)AyB. 21 - 4 C.D. -2（2008全国I ）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程S看 作时间，的函数，其图象可能是（）（2007XX）设广。）是函数/*）的导函数，将= /*）和y = /（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能【例2】若/(x + 1)-/(1) = 2x2 + x ,则/(1) =.【例3】已知函数f(x)在X = X。处可导，则lim四丈竺工达创工 ai)AtA. /Vo) B. f(xj C. /Vo)2 D. 2/Vo

7、Wo)【例4】(2008 理)如图，函数/(x)的图象是折线段ABC,其中A, B,。的坐标分别为(0, 4), (2, 0), (6, 4),则)一 = .(用数字作答)At【例5】函数f (x) =。4 +5“室- Y的导数为()A. 47+取解一/ B 4/?0),若/(a) = r() = 0, ba ,求证：bna = r + l,及.v轴围成的平面图形的面积，并求积分的值.【例9】试用定积分表示由直线），= X, .V = T+1,及X轴围成的平面图形的面积，并求积分的值.【例10】已知函数/(“) = J：sinxdA-，则/ fA. 1B. 1-coslC. 0D. cosl-

8、1【例11】(2008XX 理)设函数/。）=近2+。（=0）.若OW%W1,则的值为板块二：导数的应用（一）知识内容利用导数判断单调性：如果函数y=/a）在x的某个开区间内，总有r（x）o（r（x）o）,则果X）在这个区间上是增（减）函 数.利用导数研究函数的极值与最值：极值的定义：函数y = /（X）的定义域内的一点方 ,如果对方附近的所有点% ,都有/（X） /（A-o） （/（A） /（xo）,则称 函数人幻在点/处取极大值（极小值），记作为大=/（/）（或加小=/），并把称为函数“力的一 个极大（极小）值点，统称极值点.求函数），= f（x）的极值的方法：先求方程，（x）=o的所有实

9、数根，再考查每个根附近，导函数/。）的符号是否变化，符号发生变化的对 应的是极值点，否则不是.求函数最大（小）值的方法：先求出函数在区间内的极值点，再比较极值与区间端点处的函数值，得到函数的最值.(二)典例分析：【例若函数f(x) = d-& + 1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值X围是()A.a23B. a = 3C.aW3D. 0a 0)的极大值为6,极小值为2 ,则/。)的单调递减区间是.【例13】(2008新课标XX)设函数/。)=加-31+ 1 (xeR),若对于任意xe -1，1,都有/(幻20成立，则实数。的值为.【例14】设函数f(x) = d+61DX ,其中而工0.(

10、1)求证:当，必0时，函数f(x)没有极值点；当“ =1 = _2时，求/(X)的极值.求证：当0时，对任意正实数，成立.有且仅有一个正实数% ,使得品对任意正实数，成立.若/3) = 2,则当力无限趋近于。时,习题1.2h习题2.函数V = 1-xA 2(1 + /)1-x2-的导数是()2(1 一一)-44,(if习题 3.(2007XX)曲线 = 1在点(4, /)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()9A. -e2 B. 4e2 C. 2e2 D. e22习题4.若=次+以+ 4(0)在R上是增函数，则()A. b2 -4cic 0B. b2 40).求f(x)的晟小值/?(，)；若h(t) -2/+