《超几何分布与二项分布型概率题》参考答案

1、超几何分布与二项分布型概率解答题【湖南省历年高考试题】（2010年湖南17）下图是某城市通过样本得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频 率分布直方图.（1）求直方图中x的值；（2） 若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3 至4吨的居民数 X的分布列和数学期望.解析：（1）依题意及频率分布直方图知，0.020.1 x 0.370.39 =1,解得 x =0.12.（2）由题意知，X B（3,0.1），因此P（X =0） =c3 0.93 =0.729，P（X =1） = C；x0.1x0.92 =0.243，P(X =2) =C2 0.12 0

2、.9 =0.027, P(X =3)0.13 -0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为EX =3 0.1 =0.3.【备考要点】超几何分布和二项分布是随机变量的分布列与数学期望中的两大模型.两大模型的共同特点是从总体中抽取若干元素 ，但超几何分布是不放回抽取，而二项分布是有放回抽取或者 总体容量很大可视为有放回抽样.掌握两大模型，是概率与统计解答题最基本的要求.二项分布在近七年的湖南理科数学试题中出现过两次.湖南省的概率与统计解答题往往是与生活生产上的实际问题相结合，从这个角度上看，超几何分布模型似乎先天不足，近七年没有命题.【高考

3、仿真试题】1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续 3天里，有连续2天日销售量都不 低于100个且另1天的日销售量低于 50个的概率；（2 ）用X表示在未来3天里日销售量不低于 100个 的天数，求随机变量 X的分布列，期望 EX及方差DX.解析：（1）设a表示事件“日销售量不低于100个”，A表示事件“日销售量低于50个”.B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100 个且另一天销售量低于 50个”.因此P（A）二（0.006 0.004 0.002） 50

4、= 0.6，P(A2) =0.003 50 = 0.15,故 P(B)=0.6 0.6 0.15 2 =0.108.(2)因为 X B(3,0.6),故 P(X =0) =C? 0.4 0.064, P(X=1)=C； 0.6 0.42 =0.288,P(X =2) y 0.62 0.4 = 0.432, P(X=3)=C3 0.63 =0.216.随机变量X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216X 的数学期望为 EX =3 0.6 =1.8,方差 DX =3 0.6 0.4=0.72.2为了了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取1

5、4件和5件,测量产品中微量元素 x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量 数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1） 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x, y满足x _175且y _75时，该产品为优等品用上述样本数据估 计乙厂生产的优等品的数量；（3） 从乙厂抽出的上述 5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列 与数学期望98 x解析：（1）设乙厂生产的产品数量为x，由得x=35.故乙厂生产的产品数量为 35件.1452（2）易见只有编号为2,5的产品为优等品，所以乙生产的产

6、品中的优等品率为三，故乙生产有52大约3514 （件）优等品.5C2（3） 的取值为 0,1,2. P（：=0）2 =C52p（ =1）=102CT=5，PC秸,所以的分布列为X012P 33r 1P10510故的数学期望E =1 32丄=4.51053.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B ,系统A和系统B在任意1时刻发生故障的概率分别为和p.1049（1 ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为一,求p的值.50（2）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求 的概率分布列及数学期望E .149解析：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1 p（c）=1-丄卩=竺10501991解得 p .（2）由题意, B（3,）故 P二