极坐标方程与直角坐标方程的互化

1、、极坐标方程与直角坐标方程的互化1 .(本小题总分值10分)选修44:坐标系与参数方程在极坐标系下,圆O:P = cos8+sinH和直线l : Psin(B 工)=,242(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当8w(0,n)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.2.(选修4-4:坐标系与参数方程)曲线 C的极坐标方程是P = 2sine ,设直线l的参数方程 3x = -t +2是?5(t为参数).y4t(1)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)设直线l与x轴的交点是M N为曲线C上一动点,求|MN|的最大值.3.(本小题总分值10分)选修44:坐标系与参数方程曲线C的极坐标

2、方程为P2 =Y6；4cos1 9sin(1)假设以极点为原点,极轴所在的直线为 x轴,求曲线C的直角坐标方程；(2)假设P(x,y)是曲线C上的一个动点,求3x+4y的最大值.5.(本小题总分值10分)选修44:坐标系与参数方程直线l经过点P(1,1),倾斜角a=工.6(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x=2COs(6是参数)相交于两点 A、B,求点P到A、B两点的距离之 y = 2sin 不积.6.(此题总分值lO分)4 4(坐标系与参数方程)21x = r cos-22 .一r sin -2在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极方程.n 汨 为

3、Psin(9+-)= .圆O的参数方程为?42(I)求圆心的极坐标;(n)当r为何值时,圆O上的点到直线Z的最大距离为3.6.(1)圆心坐标为(,2,_12)- 1 分22设圆心的极坐标为(：,口)贝(J P = ：(_如)2 + (交)2 = 1-2 分.22所以圆心的极坐标为(1,勺二)-4分4(2)直线 l 的极坐标方程为P(-2-sin0 +-2-cos6)=222二直线l的普通方程为x+y1=0- 6分.2.、.2|r cosur sin 1-11,圆上的点到直线l的距离d=-2| -,2.,2rsinC -) -1|即 d ： 4,2.圆上的点到直线l的最大距离为止号=3-10 分

4、4 - .2r 二27.(本小题总分值10分)选修44:坐标系与参数方程选讲xx = 2+tc直线l的参数万程为：厂(t为参数),曲线C的极坐标万程为：P2cos29 =1 .Ly = 3t(1)求曲线C的普通方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.7. (1)由曲线 C : P2 cos2 = P2(cos2 日-sin2 日)=1,得P2 cos29 - P2 sin28)=1,化成普通方程x2-y2=1 5 分(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程x =2 1t2yt(t为参数)把代入得:整理,得 t2 -4t -6 =0设其两根为白工,那么 t1 +t2 =4,t1 t2 =-6

5、 8 分从而弦长为 1tl -t2|=t2)2 -4t1t2 =.,42-4(-6) =、/40 = 2、10. 10 分方法二：把直线l的参数方程化为普通方程为y =园2),代入 x2-y2=1,得 2x2 -12x+13 =0 6 分设l 与 C交于 A(xi,x2),B(x2, y2)13那么 x1 +x2 =6,x1 -x2 = - 8 分2.| ABI-VS (xi x2)2 -4x1x2 -2 62 -26 -2 10. 10 分x =1 2t1、(09广东理14)(坐标系与参数方程选做题)假设直线 广1 2t (t为参数)与直线4x + ky = 1y =2 3t垂直,那么常数k

6、=-, x = 1 - 2t ,、【解析】将1 1化为普通方程为y = 2 3ty _ _(x4,斜率及产一3,当 k #0 时,直线 4x +ky = 1 的斜率 k2 =,由 k1k2 = I -3 |-4 = 1 得 k = 6 ;k2. k当k = 0时,直线y = 3 x+7与直线4x = 1不垂直.22综上可知,k = -6.答案-63、天津理13设直线li的参数方程为 0=1丑t为参数,直线12的方程为y=3x+4那么liy = 1 3t与12的距离为【解析】由题直线li的普通方程为3x .y .2 = 0,故它与与12的距离为14二工. ,105答案 U 54、09安徽理12以

7、直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.直线的极坐标方程为6=-PeR,它与曲线1X = 1 + 2C0SC0曲线C的参数方程为m1y =3t ?求曲线C的普通方程.【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的根本知识,考查转化问题的水平. 总分值10分.解 由于x2 =t+1 -2,所以x2+2=t+1 =2, tt 3故曲线C的普通方程为：3x2-y+6=0.10、09辽宁理23本小题总分值10分选修4- 4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为Pcos 0-3=1, M,N分别为C与x轴,

8、y轴的交点.1写出C的直角坐标方程,并求 M,N的极坐标；2设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解I 由 Pcos9-1 =1 得从而C的直角坐标方程为n M点的直角坐标为2, 0N点的直角坐标为0,手所以P点的直角坐标为1.蓝次炉点的极坐标为等,?,所以直线OP的极坐标方程为f =总P三-二,二1. 2021广东理坐标系与参数方程选做题曲线Ci, C2的极坐标方程分别为 PcosB =3P =4cos a P 0,0 e ,I2；那么曲线Ci与C2交点的极坐标为 .答案Q, T5. 2021宁夏理10分选修4 4:坐标系与参数方程选讲曲线Ci：x =cosiy =sin 二x.t-26

9、为参数,曲线G： 2t为参数.v 2t ypD指出C,2假设把C,G各是什么曲线,并说明 Ci与G公共点的个数；G上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线Ci, C2.写出Ci, C2的参数方程.Ci与C2公共点的个数和 C与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解i Ci是圆,C2是直线.Ci的普通方程为x2 + y2 =i ,圆心 Ci (0,0),半径 r =i.C2的普通方程为由于圆心C1到直线x-y + V2 = 0的距离为i,所以C2与Ci只有一个公共点.2压缩后的参数方程分别为x =cos 工C:： , i(日为参数)；y = -sin 12C2化为普通方程为：Ci ：

10、x2-4y2 = i,2x二2.2一t4t为参数.C2yx+及,22联立消元得2x2+272x+i=0,其判另tj式 =(2扬2 _4M2xi =0 ,所以压缩后的直线C2与椭圆G仍然只有一个公共点,和 Ci与C2公共点个数相同.C:选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,设Px,y是椭圆y2=i上的一个动点,x=J3 cosQ甲为参数, j = sin 中求S=x+y的最大值.2C.解：由椭圆A +y2 =i的参数方程为J3故可设动点 P的坐标为jWsinQsin邛,其中0M中2n.因止匕,S = x y = . 3cos sin =2个1 小 c cosW+-sin 中=2

11、sin23所以当中=工时,珊得最大值2.61、辽宁省抚顺一中2021届高三数学上学期第一次月考极坐标方程P=cos.化为直角坐B.x 2 + (y+工)2 =- 24D. (x- 1) 2 + y2 =124标方程为A. (x+1) 2 +y2 =1 24C.x2 + (y-1)2 = 1 24答案 D.4、2021广州一模坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,直线p sin 9 +=2被4圆P =4截得的弦长为答案 4.37、2021广东三校一模坐标系与参数方程选做题极坐标方程分别为 P = 2 cos和P = sin 8的两个圆的圆心距为答案11、2021东莞一模参数方程与极坐标选做题在极坐

12、标系中,点 1,0 到直线Pcos6 +sin8 =2的距离为.答案 2x =sin f cosy =1 -sin213、2021江门一模坐标系与参数方程选做题P是曲线8 w 0,2g是参数上一点,P到点Q0, 2距离的最小值是.-.,7答案216、2021茂名一模坐标系与参数方程选做题把极坐标方程Pcos-g = 1化为直角6坐标方程是答案,3x y 一2 =022、2021韶关一模在极坐标系中,圆心在叵式且过极点的圆的方程为答案 ： = _2.、2cosu25、2021深圳一模坐标系与参数方程选做题在直角坐标系中,曲线Ci的参数方程为x =cos日w 0,n,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标

13、系,曲线C2在极坐标系中的方程y =sin 6为=bsin 二-cos.假设曲线&与C2有两个不同的交点,那么实数b的取值范围答案 1Mb： .228、2021 湛江一模坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,假设过点 A3,0且与极轴垂直的直线交曲线P = 4cos日于 A、B两点,贝,| AB |=答案 2341、2021 厦门一中极坐标与参数方程直线l经过点P1,1,倾斜角线|x =2cose Q为参数交于两点a, B ,求点P到A, B两点的距离之积 y =2sin JTx =1 t cos解直线的参数方程为y = 1 tsin 一 6x =1 -3t,即 2y =1 -t23x =1,t

14、曲线的直角坐标方程为x2 + y2=4,把直线22代入x2十y2y =1/t2得(1 近t)2 (1 1t)2 =4,t2 ( .3 1)t -2 =0 22能=-2 ,那么点P到A, B两点的距离之积为242、2021厦门二中极坐标与参数方程直线l的参数方程:x = 2ty =1 + 4tt为参数,圆C的极坐标方程：P = 22sin r6试判断直线l与圆C的位置关系.4解 将直线l的参数方程化为普通方程为：y = 2x +1将圆C的极坐标方程化为普通方程为：x-12+y-12 = 2从圆方程中可知：圆心 C 1, 1,半径r=72 ,所以,圆心C到直线l的距离d =2士1 =W血=:22

15、-125所以直线l与圆C相交. x = sin日.43、2021厦门集美中学极坐标与参数万程求曲线过点0,2的切线万程.j = cos20x =sin 6,y =1-2sin2 8 ,消去参数 日得 2x2 + y=1.设切线为y = kx + 2 ,代入得2x2 + kx+1 = 0令A =k2 _8 =0 ,得k = 22y/2,故y =工2&x+2即为所求.或丫,=*,设切点为a,b,那么斜率为4a=2=上空士,解得a = 土出,aa2即得切线方程.44、2021厦门乐安中学极坐标与参数方程在极坐标系中,设圆P = 3上的点到直线 AfcosB+V 3sinH尸2勺距离为d ,求d的最大

16、值.解 将极坐标方程 P = 3转化为普通方程：x2 + y2 = 9P cos -. 3sin - - 2 可化为 x 、3y = 2在x2 +y2 =9上任取一点A3cosa ,3sin ,那么点a到直线的距离为bcosa +3出sin2 -26sina +30 -2d =J=,它的最大值为422一、. .一 . x = 1 + 2 cos845、2021厦门十中极坐标与参数方程圆C的参数万程为 厂 ,日为参数,j = J3 + 2sin 日假设P是圆C与x轴正半轴的交点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点P的圆C的切线为l ,求直线l的极坐标方程.解 由题设知,圆心C

17、17P2.0/ CPO=60 ,故过P点的切线飞倾斜角为 30设MP,O是过P点的圆C的切线上的任一点,那么在 PMQK/MOP= . OMP =30, OPM =150由正弦定理得0M=0P ,.2sin . OPM sin . OMP sin150 sin 30 一二Pcos0 +600 =1 或Psin300 -0 = 1 ,即为所求切线的极坐标方程.46、 2021厦门英才学校极坐标与参数方程求极坐标系中,圆P= 2上的点到直线PfcosQ +3sin e =6的距离的最小值.解 由 P = 2 即 P2 =4 贝 U 易得 x2+y2 =4 ,由 Pcos 日+J3sin 日=6 易

18、得 x + J3y 6 = 0圆心0,0到直线的距离为d0 = !0+0-6 =312 ；32,二又圆的半径为2 ,二圆上的点到直线的距离的最小值为d =d0-2 = 3-2 = 1.53、2021通州第四次调研求经过极点O0,0, A6,三,B6/2,2三点的圆的极坐标方程 24解 将点的极坐标化为直角坐标,点O,A, B的直角坐标分别为0,0,0,6 ,6,6 ,故AOAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,圆心为 3,3,半径为3点,圆的直角坐标方程为x-3+y-3 =18,即x2+y2-6x-6y = 0 ,将 x = PcosH, y = Psin 8 代入上述方程,得 P2 6Pcos

19、日+sin8 =0 ,I JI 即.=6.2cos 1 -454、2021盐城中学第七次月考假设两条曲线的极坐标方程分别为P = 1与P = 2cosfe+m ,3它们相交于A,B两点,求线段AB的长.解由 P = 1 得 x2 + y2 =1 ,又= 2cos( - - ) = cos 二-.3 sin - ,. ：、2 = cos- -、3 Psin: x2 + y2 -x +6y =0 ,lx2 , y2 =11. 3由 22 厂 得 A(1,0),B(一二,1),x y x 、3y = 0221. 2021番禺一模在直角坐标系中圆C的参数方程为f=2cosCt a为参数,假设以原点O为

20、极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,那么 y = 2 2sin :圆C的极坐标方程为答案 D=4sini=l与16. 2021厦门同安一中极坐标与参数方程假设两条曲线的极坐标方程分别为PP =2cos .+了,它们相交于 A, B两点,求线段 AB的长.解由= 1得*2+丫2=1,又 P=2cos3 +卫=cos3TSsinO,二 P2 = Pcos0-73Psin0 3,二 x2 +y2 -x + T3y = 0 ,由我21十加0得30,叫,李AB17. 2021厦门北师大海沧附属实验中学极坐标与参数方程以直角坐标系的原点 OH为极点,x轴的正半轴为极轴.点P的直角坐标为1 , 5,点M的

21、极坐标为4 -.假设 2-直线l过点P,且倾余角为 鼻,圆C以M为圆心、4为半径.I求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;n试判定直线1和圆C的位置关系.d 1.上一 x=1 2t解I 直线l的参数万程为22 L ,y = .5 乌2圆C的极坐标方程为 P=8sin日II由于M 4,- I,对应的直角坐标为0,4 ,2直线1化为普通方程为 6x-y -5-73 = 0圆心到直线l的距离d =忙=23 =匕后5,所以直线l与圆C相离.,3 121 . 20072021泰兴市蒋华中学根底练习,一、, x -1 + 2t,假设直线的参数方程为 x 1t为参数,那么直y=23t线的斜率为()A. 2B

22、 . _2C , 20072021泰兴市蒋华中学根底练习 D332【解析】k=11 =0=_9x -1 2t 2答案D2. 2007-2021泰兴市蒋华中学根底练习以下在曲线x=sin20日为参数上的点是y = cos sin? A. 1,-72 B . -3,1 C . 2j3 D . 1,何24 2【解析】 转化为普通方程：y2=1+x,当x = -3时,y42答案B2 .将参数方程lx=2 sin 日为参数化为普通方 I y = sin2 f程为A. y=x2 B . y=x+2 C . y = x -2(2 x 3) D . y = x + 2(0EyE1)【解析】转化为普通方程：y=

23、x-2,但是xw2,3, yw0,1答案 C4. 20072021泰兴市蒋华中学根底练习化极坐标方程P2cose-P=0为直角坐标方程为( )A. x2+y2=0或y=1 B . x=1 C . x2+y2=0或x=1 D . y=1【解析】P(户cosH -1)=0, P = Jx2 +y2 =0,或PcosH = x =1答案C5. 20072021泰兴市蒋华中学根底练习点M的直角坐标是-1,73,那么点M的极坐标为A. 2,1 B . 2, C . 2,空D . 2,2kn+,kw Z33332-【解析】2, 2k冗+,k e Z都是极坐标 3答案C6. 20072021泰兴市蒋华中学根

24、底练习极坐标方程pcosa = 2sin 2日表示的曲线为A. 一条射线和一个圆B .两条直线C . 一条直线和一个圆D . 一个圆【解析 1Pcos 日=4sin C cos日,cos 9=0,或 P = 4sin 9,即 P2 = 4 P sin 日贝U 0 = kn +,或 x2 + y2 =4y2答案Cx = 3 - 4t11. 2007 2021泰兴市蒋华中学根底练习直线t为参数的斜率为y=4-5t【解析】k二ax -3 4t 4参数方程xe,?X Jt为参数的普通方程为y =2e -e 答案-5 4t-tx = e ey2y2=2et= 2e412. 20072021泰兴市蒋华中学根底练习【解析】22答案-y- =1,x -2416x=1 3t,.13 . 2007 2021泰兴市蒋华中学根底练习直线l1:?t为参数与直线1 y=2-4tl2: 2x- 4y=如交于点B ,又点A(1,2),贝U AB =.【解析】将产=1+3t代入2x_4y=5得t y=2-4t2答案5214. 20072021泰兴市蒋华中学根底练习一 5 一一 L那么 B(,0),而 A(1,2),得 |AB 2ix = 2t直线|2t为参数被圆x2+y2=4截得y = 一1 1t2的弦长为.【解析】直线为x+y1=0,圆心到直线的距离d =/=在,弦长的一半为