极值和极值点的概念

1、ch 2.6 ch 2.6 最最 值值2.6.1 2.6.1 极值和极值点的概念极值和极值点的概念定义定义2.6 设函数设函数 y = f(x) 在在 x0 的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于若对于该邻域内异于 x0 的的 x 恒有恒有( (1) ) f (x0) f (x)，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的极大值的极大值，x0 称为称为 f (x) 的极大值点的极大值点；( (2) ) f (x0) f (x)，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的极小值的极小值，x0 称为称为 f (x) 的极小值点的极小值点；函数的极大值函数的极大

2、值、极小值极小值统称为函数的极值统称为函数的极值，极大极大值点值点、极小值点极小值点统称为极值点统称为极值点.2.6 函数的极值和最大（小）值及其求法函数的极值和最大（小）值及其求法显然，在图中，显然，在图中， x1，x4 为为 f (x) 的极的极大值点，大值点， x2，x5 为为 f (x) 的极小值点的极小值点.y = f (x)yxox1x2x3x4x5y y= f ( x )x0再看下面函数曲线：再看下面函数曲线： 极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就

3、不一定大于极小值大于极小值如如p41p41书上图书上图2-52-5oxyab1x2x3x4x5x6x定理定理 2.6 ( (极值的必要条件极值的必要条件) )设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 处可导处可导，且且 f (x0) 为极为极值值( (即即 x0 为值点为值点) )，则则 f (x0) = 0.即函数的极值点必为驻点或不可导点即函数的极值点必为驻点或不可导点 ( (极值的第一充分条件极值的第一充分条件) )设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的一个邻域内可微的一个邻域内可微( (在在 x0 处可以不可微处可以不可微，但必须连续但必须连续) )，若当若当 x 在该邻

4、域内在该邻域内由小于由小于 x0 连续地变为大于连续地变为大于 x0 时时， 其导数其导数 f (x) 改变改变符号符号， 则则 f (x0) 为函数的极值为函数的极值.x0 为函数的极值点为函数的极值点，并且并且( (1) )若导数若导数 f (x) 由正值变成负值由正值变成负值，则则 x0 为极大为极大值点值点，f (x0) 为为 f (x) 的极大值的极大值；( (2) )若导数若导数 f (x) 由负值变成正值由负值变成正值， 则则 x0 为极小为极小值点值点， f (x0) 为为 f (x) 的极小值的极小值.( ( 极值的第二充分条件极值的第二充分条件 ) )( (1) )当当 f

5、 (x0) 0 时时，则则 x0 为极小值点为极小值点，f (x0)为极小值为极小值；( (2) )当当 f (x0) 0 时时，则则 x0 为极大值点为极大值点，f (x0)为极大值为极大值. 若若 f (x0) = 0，且且 f (x0) 0， 则则 x0 是函数的极值点是函数的极值点，f (x0) 为函数的极值为函数的极值， 并且并且设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 处的二阶导数存在处的二阶导数存在，运用定理运用定理 2.6 求函数极值的一般步骤是：求函数极值的一般步骤是：( (1) )确定定义域，并找出所给函数的驻点和导确定定义域，并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；数不

6、存在的点；( (2) )考察上述点两侧一阶导数的符号考察上述点两侧一阶导数的符号(或考察上或考察上述点的二阶导数的符号述点的二阶导数的符号)，确定极值点；，确定极值点；( (3) )求出极值点处的函数值，得到极值求出极值点处的函数值，得到极值.补充例题补充例题1. 求f (x)=x33x29x+5的极值.解解: f (x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3)令f (x)=0 解得驻点 x1= 1, x2=3x = 1: x0. x1时 f (x)0 x=3: x3时 f (x)3时 f (x)0 极大值f (1)=10. 极小值 f (3)= 22.593)(23 xxxxfmm图形如下

7、图形如下x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 补充例题补充例题2. 求 f (x)=32x的极值解解: 13322( )33fxxx(0)x x 0时, f (x) 0时, f (x) 0故得 极小值f (0)=032yxxy0( )sincosfxxx 1,4x补充例题补充例题3. 求( )sincosf xxx的极值.解解: f (x) 以2 为周期，故考虑区间0, 2 )令 f (x)=cosxsinx = 0又有得驻点254x()0,4f5()0.4f由定理2.6知 ()

8、2 4f为极大值5()2 4f 为极小值由周期性知52 2 ()44xkxkk和z分别为 f (x) 的极大值点和极小值点.( )sincosf xxx54452 2 ()44xkxkk和z都是函数的极值点，该函数的极值点有无穷多个都是函数的极值点，该函数的极值点有无穷多个补充例补充例 题题4求函数求函数 f (x) = (x - - 1)2 (x - - 2)3 的极值的极值.解解( (1) )定义域为定义域为 (- - ,+,+ ).f (x) = (x - - 1) (x - - 2)2 (5x - - 7).所以由所以由 f (x) = 0 可得可得 f (x) 的三个驻点：的三个驻点

9、：, 2,57, 1 xxx该函数在定义区间内无不可导的点，该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义上述驻点将定义区间分为四个子区间区间分为四个子区间)., 2( ,2,57 ,57, 1 ),1,( ( (2) ) 当当 x (- - , 1)时，时， f (x) 0；, 57, 1时时当当 x,2,57时时当当 xf (x) 0； 当当 x (2, + + ) 时，时， f (x) 0. 因此，由定理因此，由定理 3 可知，可知， x = 1 为极为极大值点，大值点，,57为为极极小小值值点点 x x = 2 不是极值点不是极值点( (因为在因为在 x = 2 的两侧的两侧 f (

10、x) 同为正号同为正号) ).; 0)( xf( (3) )计算极值计算极值极大值极大值 f (1) = (1 1)2 (1 2)3 = 0，.31251083257215757 f极小值极小值有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-(- , 1) )f (x)1 57, 157 2,572( (2, + + ) )+ +0- -0+ +0+ +f (x)极大值极大值03125108 极小值极小值无极值无极值补充例题补充例题 5求函数求函数 f (x) = x4 10 x2 + + 5 的极值的极值.因为因为解解( (1) )定义域为定义域为 (-

11、 - , , + + ). f (x) = 4x3 20 x = 4x(x2 - - 5)， 所以，由所以，由 f (x) = 0 可得该函数的三个驻点可得该函数的三个驻点.5, 0,5 xxx所以有所以有; 020)5(12)5(2 f; 020)0( f. 020)5(12)5(2 f由定理由定理 2.6 可知：可知：，为极小值点为极小值点和和 55 xx.0为极大值点为极大值点 x( (2) )因为因为 f (x) = 12x2 20，( (3) )计算极值：计算极值：;205)5(10)5()5(24 f极小值极小值;550100)0(24 f极大值极大值.205)5(10)5()5(

12、24 f极小值极小值请阅读书上第请阅读书上第4141页例页例1 1和例和例2 2例例1 1求函数求函数 的极值11232)(23xxxxf例例2 2求函数求函数 在区间 内的极值xxxfsin23)(2 , 0)(xf函数的最大最小值在很多实际问题中，需要求出最大或最小值表示这些问题的函数 一般在区间 上是连续的根据以上讨论，具备这种条件的函数 的最大、最小值总是存在的，它们只可能在 的点、 不存在的点或区间端点处取得)(xfba,0)( xf)(xf 求 在 上最大、小值的步骤： )(xfy ba,)(),(,),(),(),(21bfxfxfxfafn0)( xf)(xf nxxx,21(

13、1)(1)求出 及 不存在的点 ；(2)(2)比较 的大小其中最大的便是最大值，最小的便是最小值补充例题补充例题 6. 求f (x)=x48x2+2在1, 3上的最大值和最小值.解解：f (x)=4x3 16x=4x(x2)(x+2)令 f (x)=0 得驻点 x1=0, x2=2, x3= 2(舍去)计算 f (0)=2, f (2)= 14f (1)= 5, f (3)= 11所以最小值f (2)= 14, 最大值f (3)= 11补充例题补充例题 7. 求 f (x)=x2ex的最大值和最小值.解解： f (x)在定义域(, )上连续可导且 f (x) = x (2x)ex令 f (x)

14、=0得驻点 x=0, x=2 有 f (0)=0，f (2)=4e2且lim( ),xf x lim( )0,xf x故 f (x)在定义域内有最小值 f (0)=0，无最大值 .y=x2ex02(1) f (x)c( a, b ) ，且在(a, b)内只有唯一极值点x=x0. 则当 f (x0) 极大时便也最大，当f (x0)极小时便也最小.特例xy0abyx0abx0 x0(2) f (x)c( a,b ), 且在(a, b)内单调增加，则f (a)最小，f (b)最大. 单调减少则相反.abxy0abxy0补充例题补充例题8. 某企业开发出一种新产品. 已知生产销售 x件产品所需成本费用

15、c = 25000+5x(元). 若每件产品销售价为30(1)6000 xp ，问生产销售多少件产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的销售价定为多少？解解：目标函数:= x p c30(1)2500056000 xxx利润 l = 收入成本22525000200 xx 25, 100 xl 10 . 2500 .100lx 由知为极小值点亦即最大值点. 故生产销售 x=2500 件产品可使企业的利润最大，此时25003530(1)17.5()60002p 元0 2500lx令得驻点求解：课堂练习课堂练习试求函数试求函数 f (x) = 3x4 - -16x3 + + 30 x2 24x + + 4 在区间在区间 0, ,3 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解解f (x) = 12x3 - - 48x2 + + 60 x 24 令令 f (x) = 0，得驻点，得驻点 x =