第十章、第二节：对坐标的曲线积分

1、第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 一、问题的提出一、问题的提出 二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念 三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算 四、小结四、小结 思考题思考题oxyabl一、问题的提出一、问题的提出1 nmim1 im2m1mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:baljyxqiyxpyxf),(),(),( 常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功分割分割.),(,),(,1111110bmyxmyxmmannnn .abfw 一质点在平面变力一质点在平面变力的作用下从的作用下从 a 沿沿 l 移动到移动到

2、b ，计算变力所作的功。，计算变力所作的功。规定规定 l 的方向为的方向为.)()(1jyixmmiiii ,1 iiixxx ,1 iiiyyy 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyqxp 取极限取极限 niiiiiiiyqxpw10),(),(lim 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jqipfiiiiii .),(),(iiiiiiiyqxpw 即即 niiww1oxyabl1 nmim1 im2m1mix iy ),(ii ),(iif 用用 表示所有小弧段的最大长度表示所有小弧段的最大长度.)()(1jyixmmiiii ,),(1iiiiimmfw niiiin

3、iiiiyqxp1010),(lim),(lim 二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念定义定义 设设 l 为为 xoy 面内从面内从 a 到到 b 的一条有向光滑曲线弧的一条有向光滑曲线弧,函数函数 p(x , y ) ，q (x , y) 在在 l 上有界上有界,),(111yxm将将 l 分成分成 n 个小有向弧段个小有向弧段,1iimm oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l任取任取,),(1iiiimm 分别作乘积表达式分别作乘积表达式,),(iiixp 在在 l 上沿上沿 l的方向依次插入的方向依次插入 n 1 个分点个分点, 2, 1ni bmamn

4、,0设设,1 iiixxx ,1 iiiyyy ,),(iiiyq ),(222yxm),(,111 nnnyxmix iy oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii lix iy 并分别作并分别作和和分别作乘积表达式分别作乘积表达式,),(iiixp ,),(iiiyq ,),(1iniiixp ,),(1iniiiyq 用用 表示所有小弧段的最大长度，表示所有小弧段的最大长度，如果当如果当 0 时时, iniiixp 1),(的极限总存在的极限总存在且与且与 l 的分法及点的分法及点),(ii 的取法无关，的取法无关，为为 p (x , y) 在在 有向曲线弧有向曲线弧 l 上对上

5、对坐标坐标 x 的曲线积分的曲线积分 记为记为 lxdyxp),(则称此极限则称此极限iniiixp 10),(limoxyab1 nmim1 im2m1m),(ii lix iy 并分别作并分别作和和分别作乘积表达式分别作乘积表达式,),(iiixp ,),(iiiyq ,),(1iniiixp ,),(1iniiiyq 如果当如果当 0 时时, iniiiyq 1),(的极限总存在的极限总存在且与且与 l 的分法及点的分法及点),(ii 的取法无关，的取法无关，为为 q (x , y) 在在 有向曲线弧有向曲线弧 l 上对上对坐标坐标 y 的曲线积分的曲线积分记为记为 lydyxq),(则

6、称此极限则称此极限iniiiyq 10),(lim lxdyxp),(iniiixp 10),(lim lxdyxp),(iniiixp 10),(lim对坐标的曲线积分统称为第二类曲线积分对坐标的曲线积分统称为第二类曲线积分被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式 ldyyxq),(.),(lim10 niiiiyq 坐标微分坐标微分jyxqiyxpyxf),(),(),( 平面变力平面变力沿沿 l 所作的功所作的功 llydyxqxdyxpw),(),( lydyxqxdyxp),(),(简记为简记为若记若记, jdyidxrd 则则 lrdyxfw),(（1）所谓）所谓“对坐标的

7、曲线积分对坐标的曲线积分”，有两个特征：，有两个特征： 积分和是在积分和是在有向曲线弧有向曲线弧 l 上作出的；上作出的； 积分和中的微元素是有向小弧段所对应的关于积分和中的微元素是有向小弧段所对应的关于坐标坐标 x 和和 y 的增量。的增量。 lxdyxp),(iniiixp 10),(lim ldyyxq),(.),(lim10 niiiiyq 几点说明：几点说明：即被积表达式中的微分是关于坐标即被积表达式中的微分是关于坐标 x 和和 y 的微分。的微分。 ldsyxf),(.),(lim10 niiiisf lxdyxp),(iniiixp 10),(lim ldyyxq),(.),(l

8、im10 niiiiyq （2）当）当 p (x , y) , q (x , y) 在有向光滑曲线弧在有向光滑曲线弧 l 上上连续时，第二类曲线积分都存在连续时，第二类曲线积分都存在（3）l 处处光滑的情形可以推广到分段光滑的情形处处光滑的情形可以推广到分段光滑的情形oxy1l2l21lll lrdyxf),( 1),(lrdyxf 2),(lrdyxf的曲线积分为的曲线积分为上对坐标上对坐标在空间有向曲线弧在空间有向曲线弧xzyxp ),( dxzyxp),(（4）推广至空间的情形）推广至空间的情形yx1 nmim1 im2m1m),(iii ab0同理同理 dyzyxq),(.),(lim

9、10iniiiixp .),(lim10iniiiiyq dzzyxr),(iniiiizr 10),(lim xpd yqd zrd zrdqdypdx简记为简记为ix iy xpd yqd zrd zrdqdypdx简记为简记为若记若记,),(),(),(),(kzyxrjzyxqizyxpzyxa 则则,kzdjdyidxrd zrdqdypdx rdzyxa),(三、第二类曲线积分的性质三、第二类曲线积分的性质 lrdyxfyxf),(),()1(21 llrdyxfdyyxqdxyxp),(),(),( llrdyxfrdyxf),(),(21 .),(),(1 killirdyxf

10、rdyxf则则kllll 21)2(若若（3）设）设 l 是光滑曲线弧，是光滑曲线弧， l是是 l 的反向曲线弧，则的反向曲线弧，则.),(),( llrdyxfrdyxf这说明第二类曲线积分与曲线这说明第二类曲线积分与曲线 l 的方向有关。的方向有关。 lxdyxp),(,),(lim10iniiixp 因为因为1 iiixxx lxdyxp),(,),(lim10iniiixp iiixxx 1 lxdyxp),( lxdyxp),(所以所以则则上上设在设在),(),(yxgyxfl lldsyxgdsyxf),(),(但第一类曲线积分的性质（但第一类曲线积分的性质（3）：）：对第二类曲线

11、积分不成立。对第二类曲线积分不成立。因为因为 lxdyxf),(,),(lim10iniiixf lxdyxg),(,),(lim10iniiixg 而而1 iiixxx 可正可负。可正可负。三、对坐标曲线积分的计算三、对坐标曲线积分的计算 ldxyxp),( niiiixp10),(lim 假设假设 l 的方程为的方程为,)()( tytx t起点起点 a t终点终点 b并设并设 t 由由 单调变至单调变至 时，动点由起点时，动点由起点 a 沿沿 l 运运动至终点动至终点 bbmmmmmmmannii ,11210,0t ,1t,2t,1 it,it,1 nt, nt则参数值则参数值,0t,

12、1tnt单调增加或减少单调增加或减少oxyabl1 nmim1 im2m1mix iy ),(ii ldxyxp),( niiiixp10),(lim 假设假设 l 的方程为的方程为,)()( tytx t起点起点 a t终点终点 bbmmmmmmmannii ,11210,0t ,1t,2t,1 it,it,1 nt, ntoxyabl1 nmim1 im2m1mix iy ),(ii 1 iiixxx )()(1 iixt iit )( 其中，其中，,1 iiittt ,1之间之间与与在在 iiitt ),(ii 又设又设),(ii 代入上述积分和中得代入上述积分和中得 ldxyxp),(

13、 niiip10)(),(lim iit )( ldxyxp),( niiiixp10),(lim 假设假设 l 的方程为的方程为,)()( tytx t起点起点 a t终点终点 boxyabl1 nmim1 im2m1mix iy ),(ii ldxyxp),( niiip10)(),(lim iit )( niiip10)(),(lim iit )( 上式右端可以看作关于上式右端可以看作关于 t 的一元复合函数的一元复合函数)()(),(tttf 在在 与与 之间的积分和之间的积分和因此因此 ldxyxp),( tdtttf)()(),(定理定理 ),(),(tytx 设设 p ( x ,

14、 y ) 在有向曲线弧在有向曲线弧 l 上有定义且连续，上有定义且连续，并设并设 l 的参数方程为的参数方程为,)(),(上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数或或在在其中其中 tt0)()(22 tt 且且则则 ldxyxp),(存在，且有存在，且有 ldxyxp),( tdtttp)()(),( t起点起点 a t终点终点 b并设并设 t 由由 单调变至单调变至 时，动点由起点时，动点由起点 a 沿沿 l 运运动至终点动至终点 b，同理有同理有 ldyyxq),( tdtttq)()(),( ldxyxp),( tdtttp)()(),( ldyyxq),( tdtttq)()(),( ld

15、yyxqdxyxp),(),(合并起来合并起来 tdtttqtttp)()(),()()(),(（1）应用公式时，用）应用公式时，用 l 的方程的方程 ),(),(tytx 及微分公式及微分公式,)(tdtdx 替换被积表达式，替换被积表达式，然后从然后从 起点起点 a 对应的参数对应的参数 到到 终点终点 b 对应的参对应的参数数 作定积分即可。作定积分即可。tdtdy)( ldyyxqdxyxp),(),( tdtttqtttp)()(),()()(),(（2）公式右边的定积分中，积分下限）公式右边的定积分中，积分下限 对应起点对应起点 a ，积分上限积分上限 对应终点对应终点 b ，因此

16、，因此， 不一定小于不一定小于 。（3）在）在 ldyyxqdxyxp),(),(中，点中，点 ( x , y ) 必须满足必须满足 l 的方程的方程公式的其它几种情形公式的其它几种情形),(:)1(xyl x = a 对应起点对应起点 a，x = b 对应终点对应终点 b,)(xdxdy ldyyxqdxyxp),(),( baxdxxxqxxp)()(,)(, 因此有因此有 ldyyxqdxyxp),(),( tdtttqtttp)()(),()()(),(公式的其它几种情形公式的其它几种情形),(:)2(yxl y = c 对应起点对应起点 a，y = d 对应终点对应终点 b,)(yd

17、ydx ldyyxqdxyxp),(),( dcydyyqyyyp),()(),( 因此有因此有推广到空间的情形推广到空间的情形),(),(),(:)1(tztytx t起点起点 a， t终点终点 b， rdzqdypdx )()(),(),(ttttp)()(),(),(ttttq dtttttr)()(),(),( ,)()(:)2( xzxy ax起点起点 a， bx终点终点 b zrdqdypdx,)( dttdx ,)( dttdy ,)( dttdz ,)(xdxdy ,)(xdxdz 推广到空间的情形推广到空间的情形 zrdqdypdx,)()(:)2( xzxy ax起点起点

18、a， bx终点终点 b,)(xdxdy ,)(xdxdz rdzqdypdx baxxxp)(),(, )()(),(,xxxxq dxxxxxr)()(),(, 对坐标的曲线积分计算方法总结对坐标的曲线积分计算方法总结 ldyyxqdxyxp),(),(一、平面曲线积分一、平面曲线积分 ),(),(:tytxl t起点起点 a t终点终点 b（1） ldyyxqdxyxp),(),( tdtttqtttp)()(),()()(),(),(:)2(xyl x = a 对应起点对应起点 a，x = b 对应终点对应终点 b ldyyxqdxyxp),(),( baxdxxxqxxp)()(,)(

19、, ),(:)3(yxl y = c 对应起点对应起点 a，y = d 对应终点对应终点 b ldyyxqdxyxp),(),( dcydyyqyyyp),()(),( 二、空间曲线积分二、空间曲线积分),(),(),(:)1(tztytx t起点起点 a， t终点终点 b， rdzqdypdx )()(),(),(ttttp)()(),(),(ttttq dtttttr)()(),(),( zrdqdypdx,)()(:)2( xzxy ax起点起点 a， bx终点终点 b rdzqdypdx baxxxp)(),(, )()(),(,xxxxq dxxxxxr)()(),(, 应用公式时，

20、将应用公式时，将 l 的方程及相应的微分代入被积表的方程及相应的微分代入被积表达式，然后从达式，然后从 起点起点 a 对应的参数对应的参数 到到 终点终点 b 对应的对应的参数参数 作定积分即可。作定积分即可。 公式右边的定积分中，积分下限公式右边的定积分中，积分下限 对应起点对应起点 a ，积分上限积分上限 对应终点对应终点 b ，因此，因此， 不一定小于不一定小于 。 可用可用 l 的方程化简被积函数。的方程化简被积函数。例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算baxylxydxl 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy

21、 lxydx 1lxydx.52 xy 2)1, 1( a)1 , 1(b1l2l 21llxydxxydx,:1xyl 1x起点起点 a， 0 x终点终点 o 01)(dxxx52 ,:2xyl 0 x起点起点 o， 1x终点终点 b 2lxydx 10)(dxxx54 lxydx例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算baxylxydxl 解解,2yydxd xy 2)1, 1( a)1 , 1(b 1y起点起点 a， 1y终点终点 b 1122yydyy的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx lxydx 1142dyy.

22、54 .)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算abxaaaldxyl 例例2解解,sincos:)1( ayaxl 0 )0 ,(aa)0 ,( ab 起点起点 a， 终点终点 b,sin ddx ,cos ddy ldxy2 02)sin()sin(daa 032sinda.343a 03a)(cos)cos1(2 d .)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆

23、心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算abxaaaldxyl 例例2解解, 0:)2( yl ax)0 ,(aa)0 ,( ab 起点起点 a， ax终点终点 b ldxy2 aadx00 特点特点：被积函数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线

24、抛物线为为其中其中计算计算baooabboyxboxyldyxxydxl 2xy )0 , 1(a)1 , 1(b解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x,:2xyl 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 0 x起点起点o， 1x终点终点 b,2xdxdy 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算baooabboyxboxyldy

25、xxydxl 解解 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dyy. 1 0y起点起点o， 1y终点终点 b,2ydydx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,:2yxl 2yx )0 , 1(a)1 , 1(b例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算baooabboyxboxyldyxxydxl 解解 122ldyxxydx0 0 x起点起点

26、o， 1x终点终点 a，,0 dxdy )3(21lll ) 0 , 1 (a)1 ,1(b1l2l, 0:1 yl 102)002(dxxx, 1:2 xl 0y起点起点a， 1y终点终点 b，,0 dydx 222ldyxxydx 10)102(dyy, 1 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算baooabboyxboxyldyxxydxl 解

27、解)3(21lll ) 0 , 1 (a)1 ,1(b1l2l 122ldyxxydx0 102)002(dxxx 222ldyxxydx 10)102(dyy, 1 ldyxxydx22 122ldyxxydx 222ldyxxydx, 1 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算baooabboyxboxyldyxxydxl 解解 特点特点：被积函

28、数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.例例4：设一个质点在：设一个质点在 m (x , y) 处受到力处受到力 的作用，的作用， 的大小与的大小与 m 到原点到原点 o 的距离成正比，的距离成正比， 的方向恒指的方向恒指向原点，此质点由点向原点，此质点由点 沿椭圆沿椭圆12222 byaxfff)0 ,(aa按逆时针方向移动到点按逆时针方向移动到点 ，求，求 力力 所作的功。所作的功。), 0(bbfxy0解：解：ab ),(yxmf l ,sin,cos: byaxl 0 起点起点 a， 2 终点终点 b,sin dadx

29、 ,cos dbdy ,jyixmo mokf ),(jyixk , 0 k, jdyidxrd lrdyxfw),( lkydykxdx例例4：设一个质点在：设一个质点在 m (x , y) 处受到力处受到力 的作用，的作用， 的大小与的大小与 m 到原点到原点 o 的距离成正比，的距离成正比， 的方向恒指的方向恒指向原点，此质点由点向原点，此质点由点 沿椭圆沿椭圆12222 byaxfff)0 ,(aa按逆时针方向移动到点按逆时针方向移动到点 ，求，求 力力 所作的功。所作的功。), 0(bbf解：解：xy0ab ),(yxmf l ,sin,cos: byaxl 0 起点起点 a， 2

30、终点终点 b,sin dadx ,cos dbdy lrdyxfw),( lkydykxdx 20)cos(sin)sin(cos dbbaak)(222bak 例例5：计算：计算 的方向的方向：从从 z 轴正向看轴正向看 按逆时针方向按逆时针方向解：解： , 2,:222zyxayx dzyxdyzxdxyz)()()(xyzo 计算的关键是将计算的关键是将 的方程的方程表示成参数方程。表示成参数方程。 将将 投影到投影到 xoy 面上，投影记为面上，投影记为 01:22zyx 0sincoszyx 0 起点起点 b， 2终点终点 bb a例例5：计算：计算 的方向的方向：从从 z 轴正向看

31、轴正向看 按逆时针方向按逆时针方向解：解： , 2,:222zyxayx dzyxdyzxdxyz)()()( 0sincos:zyx 0 起点起点 a， 2终点终点 ayxz 2 sincos2 sincos2sincos:zyxxyzo b a例例5：计算：计算 的方向的方向：从从 z 轴正向看轴正向看 按逆时针方向按逆时针方向 , 2,:222zyxayx dzyxdyzxdxyz)()()( 0 起点起点 a， 2终点终点 a sincos2sincos:zyxxyzo b a原式原式 = 20)sin)(sinsincos2( cos)sincos2(cos d)sin)(cossi

32、n(cos 2 解：解：四、四、 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系,)()()1( tytxl ：设设有有向向平平面面曲曲线线弧弧为为, )(balt 即即的方向一致的方向一致与与不妨设不妨设,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt at起点起点 a， bt终点终点 b注意注意)(),(ttt 为动点为动点 ( x , y ) 处的一个切向量处的一个切向量指向：指向：,)1(的方向一致的方向一致与与时时当当ltba ,)2(的方向一致的方向一致与与时时当当 ltba则则 的方向余弦为的方向余弦为t的方向角的方向角为为t ,dttxd)( dttt)()(cos

33、22 sd cos dttyd)( dttt)()(cos22 sd cos lqdypdx所以所以 lsdqp)coscos( ,)()()1( tytxl ：设设有有向向平平面面曲曲线线弧弧为为,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt at起点起点 a， bt终点终点 b注意注意)(),(ttt 为动点为动点 ( x , y ) 处的一个切向量处的一个切向量, )(balt 即即的方向一致的方向一致与与不妨设不妨设的方向角的方向角为为t ,处的一个切向量为处的一个切向量为上动点上动点),(zyx rdzqdypdx（2）设空间曲线）设空间曲线 的方程为的方程为),()

34、,(),(tztytx )(),(),(tttt 则仿照平面的情形可以推得则仿照平面的情形可以推得,cossdxd ,cossdyd ,cossdzd dsrqp)coscoscos(注意：方向角注意：方向角 ， ， 与与 x , y , z 有关。有关。 at起点起点 a， bt终点终点 b当当 a b 时，时，t的指向与的指向与 的方向一致。的方向一致。, )(bat 即即的方向一致的方向一致与与不妨设不妨设 的方向角的方向角为为t ,则有则有),(qpf 若记若记),cos,(cos dsrqprdzqdypdx)coscoscos( llsdqpydqxpd)coscos( ,coss

35、dxd ,cossdyd ,cossdzd ),(ydxdrd llrdfydqxpd lsdf )cos,(cossdsdrd sd)cos,(cos sd 同理若记同理若记),(rqpa ),cos,cos,(cos ),(zdydxdrd sdarda则则其中，其中，)cos,cos,(cos 是与曲线方向一致的单位切向量是与曲线方向一致的单位切向量解：解： rdzqdypdx)3,2, 1()3()2(112222tttt )(),(),(tttt )3,2, 1(2tt 其中，其中，32,:tztytx 相应于相应于 t 从从 1 变到变到 0 的一段曲线弧的一段曲线弧例例1：将：将

36、化为第一类曲线积分化为第一类曲线积分注意注意 的方向是对应于的方向是对应于 t 从从 1变到变到 0 ， 故与故与 方向一致的切向量为方向一致的切向量为)3,2, 1(941122yxyx 解：解： rdzqdypdx其中，其中，32,:tztytx 相应于相应于 t 从从 1 变到变到 0 的一段曲线弧的一段曲线弧例例1：将：将化为第一类曲线积分化为第一类曲线积分)3,2, 1(941122yxyx rdzqdypdx sdrqp)coscoscos( 229411(yxp229412yxxq sdyxyr)941322 sdyxyrxqp 2294132四、小结四、小结1对坐标曲线积分的概

37、念对坐标曲线积分的概念2对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系思考题思考题 当曲线当曲线l的参数方程与参数的变化范围给定的参数方程与参数的变化范围给定之后之后（例如（例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是正常数），试问如何表示是正常数），试问如何表示l的方的方向向（如（如l表示为顺时针方向、逆时针方向）？表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例如例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变到变到 2时，时，l取逆时针方向取逆时针方向; 反之当反之当t从从 2变到变到 0 时，时，l取顺时针方向取顺时针方向. 一、一、填空题填空题: : 1 1、 对对_的曲线积分与曲线的方向有关；