计算机仿真教案042第四章 离散相似法的连续系统仿真

1、 离散状态方程模型离散状态方程模型 脉冲传递函数模型脉冲传递函数模型 在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是从数值积分的角度出发，没有明确提出“离散”这个概念，而本章则是从连续系统离散化的角度来探讨数字仿真的方法。 数值积分法数值积分法: 离线, 非实时 比较成熟，精度也比较高. 计算公式比较复杂，因而计算量比较大离散化模型离散化模型: 速度很快设 x(t) x(s),对式(3-1)进行拉氏变换,得:sx(s)-x(0)=ax(s)+bu(s)经整理后，得：(si-a)x(s)=x(0)+bu(s) x(

2、s)=(si-a)-1x(0)+(si-a)-1bu(s)(一)离散状态方程模型xu yxx (3-2-1)连续系统的状态方程和输出方程为拉氏变换(3-2-2)因为，ateasl11ateasil)(11标量，拉氏反变换同理令f(t)=eat,称f(t)为系统的状态转移矩阵拉氏卷积定理拉氏卷积定理：若f1(t)=f1(s), f2(t)=f2(s)则有，)()()()(21021sfsfdtffttdbutfxtftx0)()()0()()(对(3-2-2)式进行拉氏反变换，并利用卷积定理得dbuexettaat)()0(0)(这就是连续方程的解.(3-2-3)现推导离散化后的解.对kt及(k

3、+1)t两个依次采样时刻，有dbuexektxktktaakt)()0()(0)(dbuexetkxtktkatka)()0() 1()1(0)1()1(3-2-4)(3-2-5)式(3-2-5)-eat式(3-2-4),得现作变量置换，=kt+t, d=dt所以，(3-2-6)变成dbueektxetkxtkktatkaat)()() 1()1()1(3-2-)dttktbuektxetkxtttaat)()()1(0)(3-2-)离散状态方程加零阶保持器的离散化状态方程如果采用零阶保持器，那么，u(kt+t)=u(kt)这样(3-2-7)可写成kt记作第n点， (k+1)t记作第n+1点x

4、(n+1)=(t)x(n)+m(t)u(n) 加零阶保持器的离散化状态方程bdtektuktxetkxtttaat0)()()()1()()()()(ktutktxtm(3-2-8)加一阶保持器的离散化状态方程如果采用一阶保持器，那么，tktuktutttkuktuktutktu)()() 1()()()(代入(3-2-7)，)()()()()()1(0)(0)(ktubtdtektubdtektxetkxtttatttaat所以，x(n+1)= (t)x(n)+m(t)u(n)+p(t)u(n)(3-2-9)离散化状态方程-系数计算btdtetbdtetettttaptttamat0)(0)

5、()()()(矩阵指数函数的数值解方法：矩阵指数函数展成幂级数之和0!/)(iiatiate根据精度要求只取（l+1）项，则l0iiat! i /)at(e方法：矩阵指数函数展成两项之差exp(a at)=i i+exp(a at)/i i+exp(-a at)若取4项（l=3）,得12)(4)(2/12)(4)(2)exp(3232atatatiatatatiat利用矩阵指数函数的计算，可方便计算出其余的两个系数，例如：bdtettttam0)()(令 =t-t，则有，对于b)!1i ()at(tbdebdte)t(0it0at0) tt(am0!/)(iiatiatebtdte)t(t0)

6、 tt(ap令 =t-t，则有，b)!2i ()at(tdbebdetd)t(be)t(0i2t0at0at0ap(二)脉冲传递函数模型离散系统连续系统差分方程微分方程z变换拉氏变换脉冲传递函数传递函数脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 在连续系统中、应用拉氏变换可将描述系统的微分方程转化为传递函数。同样，在采样系统中，利用z变换可将描述采样系统的差分方程转化为类似于传递函数的另一种数学模型一脉冲传递函数，或称z传递函数。脉冲传递函数的定义如下： 在零初始条件下，线性定常与之比称为采样系统的脉冲传递函数。脉冲传递函数又可表示为：g(z)=zgh(s)ga(s)保持器传递函数系统传递函数选择不

7、同的保持器，将得不同的g(z),例如选零阶保持器，则由(3-2-10)得，(3-2-10)()1 ()(1)(1ssgzzsgsezzgst通过脉冲传递函数导出系统差分方程脉冲传递函数在大多情况下是z的有理分式，即可表示为ppmmzazazazbzbzbbzuzyzg2211221101)()()(已知，由前面计算得上式改写为，y(z)=(b0+b1z-1+b2z-2+.+bmz-m)u(z)-(a1z-1+a2z-2+.+apz-p)y(z)(3-2-11)对(3-2-11)进行z-返变换并由延迟定理，y(kt)=b0u(kt)+b1u(k-1)t+b2u(k-2)t+.+bmu(k-m)t

8、-a1y(k-1)t-a2y(k-2)t-.-apy(k-p)t令kt对应n点，有，y(n)=b0u(n)+b1u(n-1)+b2u(n-2)+.+bmu(n-m)-a1y(n-1)-a2y(n-2)-.-any(n-p)4.3 z变换nz变换的定义nz变换的方法nz变换的性质nz反变换nz变换的定义0( )( ) ()kftf ttkt采样函数00( )( )() ()()ktskkl ftfslf kttktf kt e0( )( )()tskkez ftf zf kt z令z，则上式变为对其进行拉氏变换：此式称为采样函数 的z变换。( )ftnz变换的方法n级数求和法n部分分式法n级数求

9、和法n例4-3-1 求1*（t）的z变换 。00121( )1 ( )1()111kkf zztkt zzzzzzz解：n例4-3-2 求 的f(z)。ate 0 01220111aktkatatkatatf zeze zezezzezz e解：n部分分式法n例4-3-3 求解 的z变换 。( ) ()af ss sa 1111( )(1)( )1(1)()atatatatabf sssassal f stezzzef zzzezze解：因为而所以n例4-3-4 求sin)(tzzf22221()2211111121211222222sin11111( )2 12 1sinsin11 2cos

10、jtj tj tj tj tssjjjjltsssjsjlesjf zzsjezjezztztezezzztz解：因为所以nz变换的性质n线性性质n延迟定理n超前定理n复位移定理n初值定理n终值定理n卷积和定理n线性性质*1122*1 1221122( )( ), ( )( )( )( )( )( )z ftf z z ftf zzftftf zf z若：，则n延迟定理设t0，f(t)=0，令zf(t)=f(z)，则延迟定理为 ()( )iz f titz f zn超前定理令 zf(t)=f(z)，则 10 ()( )()iiikkz f titz f zzf kt zn复位移定理设 zf(t

11、)=f(z)，则 ( )()atatz ef tf zen初值定理设 zf(t)=f(z)，如果z时f（z）的极限存在，则函数的初值为 lim( )(0)lim( )zf tff zn终值定理设 zf(t)=f(z)，则函数的终值为 111lim( )( )lim(1) ( )lim(1) ( )tzzf tfzf zzf z n卷积和定理 若 ， 其中，k=0，1，2，且当k=-1，-2，-3，时， xc(kt)=g(kt)=xr(kt)=0，则 式中，kircittxikgktx0)()()( )( )( )crxzw z xz)()(),()(ktxzzxktgzzwrrnz反变换n幂级

12、数展开法n部分分式法n反演积分法（留数法）4.4 线性常系数差分方程n差分方程的定义n差分方程的解法n差分方程的定义n对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值 xc(k) 不仅与这一时刻的输入值 xr(k)有关，而且与过去时刻的输入值xr(k-1)， xr(k-2)有关，还与过去的输出值xc(k-1)， xc(k-2)有关。可以把这种关系描述如下：xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+ =b0 xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+ 或表示为 xc(k)=txr(k) 当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。v差分方程的解法迭代法z变换法迭代法v例 4

13、-4-1：已知采样系统的差分方程是)2(2)() 1()(kxkxkxkxrrcc初始条件： 2)0(, 000)(crxkkkkxv解：令k=1，有 ) 1(2) 1 ()0() 1 (rrccxxxx(1)21 0(1)1ccxx 因为所以令k=2，有 )0(2)2() 1 ()2(rrccxxxx(2)( 1)20(2)3ccxx 因为所以同理，求出 6)4(, 2)3(ccxx输入输出关系如下图所示。z变换法v例 4-4-2：求解初始条件：xc(0t)=0, xc(1)=1 0)(2) 1(3) 2(kxkxkxcccv解：由超前定理，令 )()(zxkxzcc于是 22(2)( )(

14、0)(1)ccccz x kz xzz xzx)0()()1(ccczxzzxkxz代入原式得 0)(2)0(3)(3) 1 ()0()(22zxzxzzxzxxzzxzcccccc整理后得 21)2)(1(23)(2zzzzzzzzzzzxc()( 1)( 2) ,0,1,2rkcx ktkk 所以4.5 脉冲传递函数n脉冲传递函数的定义n脉冲传递函数的推导n开环系统脉冲传递函数n闭环系统脉冲传递函数n脉冲传递函数的定义( )( )( )( )( )ccrrxzx kzw zxzx kz输出脉冲序列的 变换输入脉冲序列的 变换n脉冲传递函数的推导n由单位脉冲响应推出n由拉氏变换求出n由差分方

15、程求出n开环系统脉冲传递函数n串联各环节之间有采样器的情况)()()()()()(2111zxzwzwzxzwzxrcc12( )( )( )( )( )crxzw zw z w zxzn串联各环节之间无采样器的情况)()()()()(*)()()(*2121zxswswzzxsxswswsxrctc12( )( )( )( )( )crxzw zz w s w sxzn结论： 中间具有采样器的环节，总的脉冲传函等于各脉冲环节传函之积，而串联环节中间没有采样器时，其总的传函等于各环节相乘积后再取z变换。n闭环系统脉冲传递函数应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关，因为有、无采样开关所

16、得的闭环脉冲传递函数是不相同的。n例4-5-1 11( )( )( )1( )cbrwzxzwzxzw h zn例4-5-2( )( )( )( )( )1( )( )cbrxzd z w zwzxzd z wh zn例4-5-3221( )( )1( )cnw zxzw w z4.6 采样控制系统的时域分析 n用z变换法求系统的单位阶跃响应n采样系统的稳定性分析n采样控制系统的稳态误差n用z变换法求系统的单位阶跃响应n例4-6-1 已知系统的动态结构图如下图所示，求系统的单位阶跃响应。n解：( )( )( )1( )( )(1)11( )(1)1()(1)(1)(1)()(1)()kcrkk

17、ktttttw zxzxzw zkw zzs szzkw zzs szzez zez zzezzezze令，则)1 ()(1()1 ()(1)()(tttkkbezezzezzwzwzw232(1)( )( )1( 1 2)(2)tcbttttzzexzwzzzezeeze 所以112310.3680.632( )1 1.7361.1040.368tctsezxzzzz令，则，而 123( )0.6321.0971.205ccxzxzzzz利用长除法，将展开得()0.632 () 1.097 (2 ) 1.2 (3 )czx kttttttt求 反变换得n例4-6-2 在上例中加入保持器后再求

18、输出量。n解：11 211211111( )(1)(1)(1)11(1)(1)(1)tskttttttetzw zzzss szzezz teteezzee)1 ()2()1 () 1()(1)()(2ttttkkbteztzeteetzzwzwzw20.3680.2641( )0.632bztswzzz将代入得23212340.3680.264( )( )121.6320.6320.3681.41.4cbzzzxzwzzzzzzzzz所以)4(4 . 1)3(4 . 1)2()(368. 0)(ttttttttktxc 由此结果看出，由于增加了保持器，使得系统输出量的超调量增加了。(三)置换法 s域和z域的基本关系是z=est, 或写成s=t-1ln(z);(t是采样周期，也是计算步长)1z()1z(51)1z()1z(311z1z2)zln(5533 tustin法将ln(z)展开成只取第一项112zztsz1z)z1z(31)z1z(21z1z)zln(32将ln(z)展开成z1zt1s因此: