二高数工测试卷多元函数微分学解答

1、上海应用技术学院2012 2013学年第 二 学期高等数学(工)2»测试卷(多元函数微分学)解答一.单项选择题(每小题2分，共10分)1 .设 f (x, y) = x2 + xy - y2,则 f (0,0)是 f (x, y)的(C )。A.极大值；B.极小值；C.非极值；D.不能确定。分析：A = fxx(0,0) =2 B = fxy(0,0) =1 C = fyy(0,0)2AC -B2 <0 故 f (0,0)非极值点选C2 .设曲面z = xy上点P的切平面平行于平面 4x+2y + z = 16,则P点到已知平面的距离 等于(C )A. 21B. V21C. 4

2、D.2121分析：先求出切点坐标 F(x,y,z) =xy-zn =Fx,Fy ,Fz )= y,x,-"| x - -2根据题意 n平行于'4,2,1- = - = y = -4z = 84 M (2)十2 M (Y) +18-1624d 二一 ,二口 故选 C,42 22 12212 一，22、无 吆_3.设z=y +f(x y),其中f (u)可微，则：y十x=(B)二 x二 yA. xyfB. 2xyC. 2xyfD. xy八上Lzzz：z分析： =f 2x = 2y 2yfy +x = 2xy 故选 Bx二 y二 x二 y4.曲面 cos(二x) -x2y - ex

3、z十yz =4在点(0,1,2匹的切平面方程是( B )A.2x 2y z 4=0B.2x 2yz-4=0C.x y z -1 =0D.x y z 1 =0分析：直接求出切平面方程 F (x, y, z) = cos(nx) - x2 y+exz + yz -4Fx(0,1,2) = -nsing) - 2xy +exzz(0,1,2)二2Fy(0,1,2) = x2 +z(0,1,2)=2Fz(0,1,2) =xe* y(0,1,2)=12(x-0) 2(y-1) (z-2) =0即 2x +2y +z-4 =0 故选 B5.设函数u = xz3 -yz-x-z,则函数u在点(1,-2,1%

4、方向导数的最大值是( B );A. 2B, v17C. 7D, 3分析：gradu (1,1) =&(1,2,1)口(1,-2,1),5(1,-2,1) = 0,-1,4梯度矢量的模J17就是方向导数的最大值故选B二.填空题(每小题3分，共15分)6.设 z = f ex sin y,其中 f (u,v )可微， 1kx J则豆=f1exsin y + f2 f- -y I °：:xx2分析：根据多元复合函数求偏导数的链式法则ex 二 u；:u：:z ：:v:x：:v ：:x7.曲线3x +2y =12绕y轴旋转一周所得的旋转曲面在点(0,J3,J2 )的指向外z =0侧的单

5、位法线矢量是；10,72,向。5分析：旋转曲面方程 3(x2 + z2)+2y2 =12 F (x, y,z) = 3(x2 + z2)+2y2 -12Fx(0,於=6x。户，、=0Fy(0j3,V2)=4y = W3Fz（0,而亚）=6z（04=6亚n0 = 1 10, .2, 3)5-3 -2228.椭球面3x +y +z =16上点（1,2,3%的切平面与平面 z = 1的夹角为3 二-arccoO分析：F(x, y,z) =3x2 +y2 +z2 -16Fx(-1,-2,3) =6x (,3)= -6Fy(1,23)=2y (4,3)=TFz(1,2,3) = 2zd = 6cos。，

6、6-"61rc",(-6)2(-4)262 J2. 22229 .函数u = x2 + y2 +xz在点1,0, D处沿方向l =2,-2,1 的方向导数为分析:.u:x-0l10 .设分析:(1,0,1) = 2x *z二3 (1,0,1)方uc丁 =2y cy(i,0,i)=0：:uFz(i,0,i)= x(i,0,i)=1.:u.:l(1,0,1)2- 2、=3+0 ,| + 1F （x, y, z） = 0满足隐函数存在定理的条件，则xFy. y Fx,Z Fy.xFz.:x.z-yFz:x故原式是-1.计算题（每小题7分，共63分）-:z:y11 .设 z = y

7、2 f (xey, x)+xg(sin y),其中 f(u,v)可微，g(t)可微，求：:z yex(7分)ieyf2二2yf y2 fy_y x x 1xe f2 2 yxg cosy(7分)-6 -12.(0,1,1)解:.:u.x '、c . zy 3- cos(xy 3z)；:x(3分)23"u设 u = sin(xy +3z),其中 z = z(x, y)由万程 yz - xz =1 所确te,求一 ；x(5分)F(x,y,z) = yz2 -xz3 -1:x Fz 2yz-3xz2.:u:x(0,1,1)y 3 cos(xy 3z) ex5(0,1,1) =2co

8、s3(7分)13.3.t . dz设 z=u ln v ,其中 u = cost,v =e ,求：一。dt解:dz；z dufz dv=*十T 出：:u 出v出(2分)3-2U t=3u ln v (-sint) ev(6分)14.解:Fx：z分别将u,v代入(7分)设z =z（x, y）是由方程z=x2+y邛（z2）所确定的隐函数，其中 中（u）可微，求:F(x, y,z)=2xFy=x2 +y中(z2) -z ,Kq：”(z2)Fz =2yz (z2) -1(1分)(3分)FxFz2x1 -2yz (z2)(5分).：z Fy(z2):y - Fz _1 -2yz (z)22215.设n是

9、曲面2x +3y +z =6在点P(1,1,1)处指向外侧的法矢量，求6x2，8y2,u =乙在P点处沿n方向的方向导数。(1分)(2分)解：F(x, y,z) =2x2 3y2 z2 -6Fx(1,1,1) =4 Fy (1,1,1) =6 Fz(1,1,1) =2n' = 46,2：，n0 =-2,3.14(3分).:u.x；:u：:u:z.r.u.n(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(i,i,i)二1 o r 气1 (6x2 8y2) 212x21(6x2 +8y2)a16y(6x2 8y2)2(i,i,i)-.14(1,1,1)一 ,14(i,i,i)= - 、 14(

10、5分)-14141414(7分)16.求函数z = 2x3 +y2 6x的极值。解：由zx =6x2 - 6 =0得驻点(1,0), (-1,0)zy =2y =0(3分)对于驻点(1,0) A=zxx(1,0) =12x(1,0)= 12 B =zxy(1,0) =0 C =zyy(1,0) =2_2ACB >0 A>0 函数在(1,0)点取得极小值zmin (1,0) = -4(5分)对于驻点(-1,0) A = zxx(1,0) =12x10) = -12 B = zxy(-1,0) = 0(7分)17.求曲线*=，y=2t2, z = t上的点，使曲线在该点处的切线平行于平

11、面x + y + z =1。解：设所求的点对应于t =t0 ,对应的切线方向向量为s =协；,4t0,l (3分)21n =<1,1,1 sn =03t0+4to+1 = 0 t0=或 t0 = 1(5 分)3所求的点为：2 2 1 :或(-1,2-1)(7分)< 27' 9 3 )、, x + y+b=0_ 2218 .设直线 L：17在平面n上，而平面 n与曲面z = x +y相切于点、x +ay -z -3 = 0(1,2,5),求 a, b 的值。解：曲面方程F(x, y,z) =x2 +y2 z 在点(1,2,5)处切平面的法向量n=12,4,1切平面方程是2(x

12、 1) 4(y+2) (z5) =0 ,即 2x4y z 5 = 0(3分)x +y +b =0x+ay-z-3=0代入平面方程y = _x _ bz = x +a(x -b) -32x -4( -x -b) - x ' a(- x -b) - 31-5=0即(5+a)x+4b+ab2=0 (5 分)因而 5 a =0 4b ab2=0故：a = -5 , b = -2 (7 分) x + y 2z = 0 _19 .已知曲线C：1 y,求曲线C距离xoy平面的最远的点和最近的点。x + y + 3z = 5解：设(x, y,z购曲线C上的任一点，则点(x, y,z倒xoy平面的距离的

13、平方为d2 =z2 故目标函数可选择 z2(1分)由于点在曲线上故有两个约束条件构造辅助函数：F (x, y, z) = z2 + %(x2 + y2 2z2) + 九2 (x + y + 3z 5) (3 分)-9 -Fx =2 'x -2 =0Fy =2 1y ，2 =0Fz =2z -4 1z 3 2 u022 c 2x y -2z = 0x y 3z = 0(5分)x =1解得：y = 1或z=1x - -5y = -5所求的最远的点是( 5,-5,5 )，最近的点是(1,1,1)(7分)四、综合题(12分)2z- 2z20 .设函数f (u)在(0,z 内具有二阶导数，且 z= f(Jx2 +y2)满足 J=0。二 x二 y(1)验证 f (u) f-(u) =0 u(2)证明:z二f I.xx(u)x y:z-yf (u) y 2 x y(1分)代入.2二 z.2:z.2二 z.2二 z2f (u)”2(u) 7r7f (u)f (u)(x22y3y2)i2x(3分)3(x2 y2)3(5分)3:0u