2020年连云港市高三数学下期中第一次模拟试题(及答案)

1、2020年连云港市高三数学下期中第一次模拟试题（及答案）1.、选择题已知等比数列 an的公比为正数，且 a3 a92a5 , a2a1()A.B.C.D.2.若正项递增等比数列an满足1a?a4a3a5，则a8a的最小值为（A.B.C.27D.2743.等比数列an的前n项和为Sn,若 S3=2, S6=18 ,等于（S5A.B. 5C. 33D.314.已知函数f(x)3 log 2 x, xx 1,x0,则不等式f（x）05的解集为A.1,1B.2.4C.D.x5 .若直线- a0,b过点（1,1），则4a b的最小值为A. 6B.C. 9D.106 .设x, y满足约束条件y3yA. 1

2、0B.7.朱载培(1536 1611),3x7, 0,1, 0,则z 2x y的最大值为(5 0,C. 3D.中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作律学新说中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等 程律” .即一个八度 13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f2f1 ,第七个音的频率为f2 ,则丁 =TiA. 4题B. 1116C.D. 3 28.已知an为等差数列，若a20a19an的前n项和Sn有最大值，则Sn的

3、最小正值为A. SiB.S|9C.S20D. S379.数列an中,an 1n1 an 2n1,则数列 an的前8项和等于（）A. 32B. 36C. 38D. 4010.已知等比数列an中，a3a11 4a7,数列bn是等差数列，且b7a7,则 b5b9A. 2B. 4C. 16D.11 .已知 ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的角的余弦值为（）82倍，则最小3A.一45B.-6D.x12 .已知x, y满足条件y2x（k为常数），若目标函数z=x+ 3y的最大值为8,则 k=()A. 一 16B. - 6D. 6、填空题13.已知x, y满足约束条件2x y的最大值

4、为r r14.已知向量a 1, x ,bx,yr rv2 ,其中x 0,若a与b共线，则上的最小值为 x15.设an是公比为q的等比数列,q 1,令 bn an 1(n1,2,L),若数列 bn 有连续四项在集合 53, 23,19,37,82中，则6q =16.数列2n1的前n项1,3,7.2n 1组成集合An1,3,7,2n1 n N ,从集合An中任取k k 1,2,3?n个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记SnT1T2例如当n 1时，A 1 ,Ti 1,S 1 ；当n 2 时，A21,2,T11 3T2 1 3,S213 137 ,试写出Sn17

5、.已知数列 anbn均为等差数列，且前n项和分别为Sn3n 2Sn 和 Tn,若二一",Tnn 1a4则丁 b418.2xy满足不等式组 xy2y0,则z619.数列bn中,b1,b25 且 bn 2bn 1 bn (n N),则 b201620.数列an满足 an 1 ( 1)nan 2n1,则an的前60项和为三、解答题21 .某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产k _量)m万件与年促销费用x万元，满足m 3(k为常数)，如果不搞促销活动， x 1则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为 8万元，每生产1万件，该

6、产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2020年该产品的利润 y (万元)表示为年促销费用X (万元)的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22 .在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 2a2 2c2 2b2 3ac 0 .(1)求cos B的值；(2)求 sin 2b 的值.23 .设递增等比数列an的前n项和为Sn,且a2=3, S3=13,数列bn满足b1=a1，点P (bn, bn+1)在直线 x - y+2 = 0 上,n C N

7、.(1)求数列an, bn的通项公式；，一、lbn(2)设Cn ,求数列Cn的前n项和Tn.an24 .已知在等比数列an中，a2 = 2, , a4a5 = 128,数列bn满足b1 = 1, b2= 2,且1 bn金an为等差数列.(1 )求数列a n和b n的通项公式；(2)求数列bn的前n项和25 .已知数列 an是公差为 2的等差数列，若a1 2,a3,a4成等比数列.(1)求数列 an的通项公式；令bn 2n 1 an,数列bn的前n项和为Sn,求满足Sn 0成立的n的最小值.26 .已知等比数列 an的各项均为正数，a2 8, a3 a448.(i )求数列an的通项公式；(n

8、)设bn log,an.证明：bn为等差数列，并求bn的前n项和Sn .【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除、选择题1. D解析：D【解析】设公比为q,由已知得a28aiq“22 一aq4，即q2 2,又因为等比数列 的公比为a2,故选D.22. C解析：C【解析】设等比数列的公比为q (q>1),1+ ( 攵-a4)+ 入(a3-a5)=0,可得1 a2a4入=24则a5a3a9a8+ 入 9=a8+ a5 a3a2 a9a4a9a5a36q2qa8a3a8 a5a5a36qq2 1tq21, (t>0)q2=t+1 ,则设 f(t)6=q q2 1增；23t t 12t 11

9、当t一时,2f (t)递当 0vtv1 ,、，1时，f (t)递减.2可得t=l处，此时q=吏,2 故选C.27 一f (t)取信取小值，且为 ,则a8+入9的最小值为427一；43. C解析：c【解析】SioS5【分析】 由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出【详解】设等比数列 an的公比为q (公比显然不为1),则a1 1 q66S61 q 1 q3Q 泸 c- 9丁 晨 1 q 9 ,得 q = 2 ,S3 a1 1 q31 q31qd 10a1 1 qG1110因此， q- 一 1 q5 1 25 33,故选C.S5ai 1 q51 q1 q【点睛】本题考查

10、等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：(1)基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公 式或求和公式来进行计算；(2)性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用.4. B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可.详解：由于f X3 log2x,x 02X X 1,x 0当 x>0 时，3+log2xWj 即 10g2XW 2=log4,解得 0vxW4当 xwo时，x2 - x - 1 <5,即(x-3) (x+2)解彳导-2<

11、;x<0.不等式f (x) w5的解集为-2, 4,故选B.点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的 值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每 段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的 5. C解析：C【解析】【详解】因为直线x y 1 a 0, b 0过点1,1，所以+ - 1 ,因此 a ba b(4a b)(1+1) 5 b +4a 5 2Jb &a 9 ,当且仅当 b 2a 3时取等号，所以选 a b a ba bC.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧

12、，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边必须为定值 )、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 .6. B解析：B【解析】【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.【详解】x 3y由图象可知，当直线过点 A时，直线在y轴上截距最小，z有最大值2 5-2 8. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题7. D解析：D【解析】【分析】:先设第一个音的频率为 a ,设相邻两个音之间的频率之比为q ,得出通项公式，根据最后一个音是最初那个音的频率

13、的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。n 1q ,那么an aq ,根据最1a 2石，所以q 乙【详解】后一个音是最初那个音的频率的2倍,-12ai3 2a aq:设第一个音的频率为a,设相邻两个音之间的频率之比为f红 q43/2,故选dfa3【点睛】:本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等 比数列。8. D解析：D【解析】【分析】由已知条件判断出公差d 0,对a20a19出结果.【详解】a20a20a19已知 an为等差数列，若 1,则 0 ,ai9a)9由数列an的前n项和Sn有最大值，可得d 0,1进行化简，运用等差数列的性

14、质进行判断，求a190,a20a190, a200,S3737 a190,ala38a20a190 , S380 ,则Sn的最小正值为S37故选D【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性 质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法9. B解析：B【解析】【分析】n 1根据所给数列表达式，递推后可得an 21an 1 2n 1 .并将原式两边同时乘以1 n后与变形后的式子相加，即可求得 an 2 an,即隔项和的形式.进而取n的值，代入 即可求解.【详解】由已知an 11 n an 2n 1,n 1信 an 21an 1 2n 1 ,由1n 得 a

15、n 2 an 1 n 2n 1 2n 1 ,取 n1,5,9 及n 2,6,10,易得a1 a3a5 a7 2, a2a48, a6a824,故 Sga1 a2 a3 a4 a836 .故选：B.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中 档题.10. D解析：D【解析】【分析】利用等比数列性质求出 a7,然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】等比数列an中, a3a11= 4a7,可得 a72=4a7,解得 a7 = 4,且 b7=a7,b7= 4,数列bn是等差数列，则 b5+b9=2b7=8.故选D.【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项

16、公式以及简单性质的应用，考查计算能力.11. A解析：A【解析】【分析】n的值，于是可得最小角的余弦值.设三角形的三边分别为 n,n 1,n 2(n N*),根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到【详解】由题意，设ABC的三边长分别为n,n1,n 2(n N*),对应的三角分别为 A,B,C,由正弦定理得nn 2sin Asin Cn 2sin 2An 22sin Acos A所以cos An 22n又根据余弦定理的推论得cos A(n2)2 (n 1)2 n22(n 2)(n 1)n 52(n 2)n 2所以2nn 5,解得n2(n 2)4,所以cos

17、A4 532(4 2)4 ' 3即最小角的余弦值为-4故选A.【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程, 使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题.12. B解析：B【解析】 【分析】 【详解】1 zx 0 ,由z= x+3y得y= -x+ -,先作出 x的图象，如图所本,因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线 2x+y+k= 0,得 k= 6.二、填空题13. 10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何 意义求出最优解进而得到

18、所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如 图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点 刖寸 解析：10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由z 2x y得y 2x z,平移直线y 2x z ,根据z的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值.【详解】 画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示.由 z 2x y 得 y 2x z .平移直线y2x z,结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值.故点A的坐标为(6, 2),所以 zmax 2 6 2 10 .故答案为10.【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学

19、中的应用，解题时要先判断出目标函 数中z的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种， 其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域.14.【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关 系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】二.其中且与共线 即.当且仅当即时取等号.的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线 解析:2,2【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出¥ x 2,利用x x基本不等式求得其最小值，得到结果.【详解】r . r一r ra 1,x , b x, y 2 ,其中x 0

20、,且a与b共线 1 y 2 x x,即 y x2 2y x2 22-2_ 丫 x-2 x - 272 ,当且仅当x 4即x 72时取等号xx xx，丫的最小值为2 2.x【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用 基本不等式求最值，属于简单题目.15.【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列 的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9解析：9【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力，等比数列的通项，an有连续四项在集合3 .54, 24,18,36,81，四项 24,36, 54,81 成等比数列，公比为

21、 q - , 6q = -9.16 .【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即 可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合 关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题解析:n(n 1)【解析】【分析】通过计算出S3,【详解】并找出S1、&、S3的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论.当 n 3时，A31,3,7 ,则 T1 1 3 7 11 ,T2 1 3 1 7 3 7 31,T3 1 3 7 21,S3 T1T2 T3 11 31 21 63, 1 2由 S112112k 1，2 3S2 7 23 1 2- r 3 4n(n

22、 1)21.n( n 1)2k1.S363 26 1 2、1，猜想：S故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n项和的归纳猜想，属于中档题.17 .【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列 的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】 本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题解析:238根据等差数列中等差中项的性质，将所求的化为S7 ,从而得到答案.T7an、 bn均为等差数列2a4 a a7【详解】因为数列 a4所以2b4b1 b7a a1 a7- 一 ,再由等差数列的求和公式，转b4 b1 b77 a1 a72S77

23、 bi b7T723 7 2 237 18【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题 18. -6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的4ABC当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z最小所以故填-6解析：-6【解析】1 z由题得不等式组对应的平面区域为如图所小的ABC,当直线y x 经过点A(0,3)2 2时，直线的纵截距 二最大，z最小.所以Zmin 0 2 36.故填-6.219. -4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题 解析：-4【解析】【分析】根据已知可得bn

24、 6 bn ,即可求解.【详解】._ . 一一一 一 _, * .b11,b25 且 bn 2bn 1 bn(nN ),bn 3 bn 2 4 1 4 2 4 1 4 4 14 ,bn 6bn 3 4,2016 6 336,故答案为：-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题20. 1830【解析】【分析】由题意可得 变形可得一利用数列的结构特征求出 的前60项和【详解】解：从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都 等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830【解析】【分析】由题意可得a2a11,a3a23, a4a3a5a6a59

25、 ,a7% 11,a4997 ,变形可得a3a8 a624&a72 , a12 a1040, %ai6ai456,，利用数列的结构特征，求出an的前60项和.解：Q an i(l)n an2n, - a2a11 ， a3a2a4a35, a5a4a6a59 , a7a611 a50 a4997,. a ai2, a4a28,40,a13加56从第一项开始，依次取 2个相邻奇数项的和都等于 2,从第二项开始，依次取 2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列,15 14an的前 60项和为 15 2 (15 8 2 16) 1830,故答案为：1830.【点睛】本题主要考查

26、递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前三、解答题n项和，属于中档题.21. (1) y16- x 28(x 0); (2)厂家2020年的促销费用投入 3万元时，厂家x 1的利润最大，为21万元.【解析】【分析】(1)由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，可求k的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润y (万元)表示为年促销费用 x (万元)的函数可求(2)由(1)得 yx 28 ,再根据均值不等式可解.注意取等号【详解】（1）由题意知,当x 0时，m 1,所以 1 3 k,k 2,m 3 , x 1每件产品的销售价格为1.5 8 16m元. m所以 2020 年的利润

27、y 1.5 -mm m 8 16m x x 28(x 0); mx 1(2)由(1)知，y-6- x 28 卫(x 1) 29 21 ,x 1x 1当且仅当6- (x 1),即x 3时取等号，x 1该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元.考查均值不等式的应用以及给定值求函数的参数及解析式.题目较易，考查的均值不等式,要注意取等号22.(1)3 4、.2 3.1416试题分析：（1）利用余弦定理表示出 cosB ,将已知等式代入即可求出cosB的值；（2）由cosB可求出sin2B,cos2B的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果试题解析：（1）由2a2 2c2 2b

28、2根据余弦定理得cosB22,2a c b2ac3 ac22ac，-3 一由 cosB一，得 sinB4sin2B 2sinBcosB372cos2B 2cos B.sin 2B sin2Bcos44cos2Bsin 一43“ 7、2 3 141623.(1) an= 3n 1, bn = 2n - 1 (2) Tn=3 (n+1) ?( 一 ) n3利用基本量法求解an,再代入P bn,bni到直线x y 2 0可得bn为等差数列,再 进行通项公式求解即可.(2)利用错位相减求和即可.【详解】(1)递增等比数列an的公比设为q,前n项和为Sn,且a2= 3,S3= 13,可得 a1q= 3,

29、 a1+a1q+a1q2= 13,解得 q= 3或 q 1,由等比数列递增，可得q=3,a1=15Uan 3n1 ;P (bn, bn+1)在直线 x-y+2 = 0上，可得 bn+1 - bn =2,且 bi = ai = 1，则bn = 1+2bnCn - an(2n 1)?(3)、,一,1刖 n 项和 Tn= 1?1+3?- 315?-9(2n- 1) ? (- ) n 13-Tn= 1?13?-915?27(2n- 1) ? ( 1 ) n,3，一 一2相减可得Tn =1+231(3L (1)1) - (2n-1) ?(-)331 1=1+2?33121 13(2n 1)化简可得Tn=

30、3 -(1n+1) ?(一3)n- 1，属于中档题.324. (1) an 2n1;bn -n 22本题主要考查了等比等差数列的通项公式求解以及错位相减的求和方法n 23 2,(n=12, )； (2) Tn -n4根据等比数列的性质得到 a7 = 64, a2 = 2,进而求出公比，得到数列 an的通项，再由等差数列的公式得到结果；(2)根据第一问得到通项，分组求和即可.【详解】(1)设等比数列an的公比为q.由等比数列的性质得 34a5= a2a7= 128,又a2 = 2,所以a?=64.所以公比q”栏2所以数列an的通项公式为an= a2qn2= 2X2n2= 2n 1 1设等差数列bn5 an的公差为d.由题意得，公差