2020年二轮微专题椭圆中与面积有关的取值范围问题

1、微专题37椭圆中与面积有关的取值范围问题取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问EDI题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数， 是高中数学的传 统难点.解决椭圆中的面积取值范围问题， 关键在于找到构建面积的 合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求 出取值范围.因微而准因微而细 O例题导引x2 yI如图37-1所不，已知椭圆C: a2+b2=1(a>b>0)的左焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A, B两点满足OALOB(。为坐标原点)，求AAOB面积的 取值范围.国求椭圆中某个三角形的面积的最值或范围问题，一般是从 函数角度出发，本题也

2、是如此，而构建函数是本题的关键，先是选择 变量，条件OA，OB启示本题应选直线OA（或OB）的斜率k为变量， 根据三角形的几何特征，通过代数计算建立三角形的面积关于 k的函 数，然后利换元法求出最终结果.x2回I如图37-3所不，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:工+ y2=1,点A是椭圆上异于长轴端点的任一点，F为椭圆的右焦点， 直线AF与椭圆交于B点，直线AO与椭圆交于C点，求AABC面积 的最大值.一x2 y2、，一x2 c , 一 ，ESI设椭圆E： ：x6+ ： = 1, P为椭圆C： 4+y2=1上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A, B两点，射线PO交椭圆E于点Q

3、.如图37-4所示.图 37-4.OQ 匕（i）求6。的值;（2）求4ABQ面积的最大值.知识串联融先黄通x画函II如图37-5所不，已知椭圆C: x + y2=1,设Al, A2分别为 椭圆C的左、右顶点，S为直线x= 2，2上一动点(不在x轴上)，直线 AiS交椭圆C于点M,直线A2s交椭圆于点N,设S,S2分别为AiSAx, MSN的面积，求S的最大值.S2图 37-5,、，一x2 y2031已知点A(0, 2),椭圆E： .+b2=1(a>b>0)的离心率为当 F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为弩，O为坐标原点.如图37-6所示.(1)求E的方程;(2)设过点A的直线l与

4、E相交于P, Q两点，当4OPQ的面积 最大时，求l的方程.EI新题在转热点在线精典新题Qx21 (2020无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:矛+ jy2=1(a>b>0)的离心率为岑，且过点(、/3, 2),点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.如图37-7 所示.图 37-7(1)求椭圆C的标准方程；领卮苜题(2)求 PCD面积的最大值.零题标准减少失分(本小题满分14分)(2019苏北七市三模)如图37-8所示，在x2 y2平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：号+每=1(a>b>0)的上顶点为A(0,小),圆 O

5、: x2 + y2=0p经过点 M(0,1).图 37-8(1)求椭圆C的方程；过点M作直线11交椭圆C于P, Q两点，过点M作直线11的 垂线l2交圆。于另一点N.若4PQN的面积为3,求直线1i的斜率.1=黄3十 x24)11+22)I解析I （1）因为椭圆C的上顶点为A（0 ,小），所以b=V3,又圆一 一 1 一O : x2 + y2=4a2经过点 M（0 , 1）,所以 a=2.2分（求出a）所以椭圆C的方程为1. 4,4 3分（求出椭圆方程）（2）若 11 的斜率为 0,则 PQ = 436, MN =2,所以4PQN的面积为 挈，不合题意，所以直线11的斜率不为0.5分（检验.

6、11 .的斜率为0是否合理）设直线11的方程为y=kx+1,由xr+y- = 1,y= kx+ 1 ）消4 3y,得(3 + 4k2)x2+ 8kx-8= 0,设 P(x1 , y。，Q(x2 , y2), 4k 276 M2k2+1 4k+ 276 d2k2+1皿 Xi=3+4k2，x2=3 +4k2，所以 |PQ|= (xi x2)2+ (y1 y2)28分（利用弦“卜1_冷| = 4"严长公式求出PQ）直线l2的方程为y= 1x+1,即x+ky k= 0k圆心到直线的距离d=,所以|MN|=241 +k.11 分.（由 | MNI二R r2d2容易求得MN）11所以 APQN

7、的面积 S= 2|PQ| |MN| = 24 6 1 + k2 - 2k2+12 _x3+4k2ViTk2 =3?解得k= 4即直线11的斜率为.14.分（将求彳f的.PQ, MN代入面积公式求出11的斜率）答题模板第一步：由圆O过点M,求出a;第二步：求出椭圆的方程；第三步：检验11的斜率为0时，题设是否成立；第四步：联立方程，由弦长公式求出 PQ;第五步：由圆心到直线的距离和半径求出圆的弦长MN ;第六步：将求出的PQ, MN代入$ pqn = 3求得斜率k.作业评价X2 y2匚口点P为椭圆g+4= 1上的动点，Fi,F2是左右焦点，右/ F1PF2 =30 ,则F1PF2的面积是. x2

8、 y2口若椭圆Z+r1（0<b<2）的左、右焦点分别为F1, F2, B是短 轴的一个端点，则F1BF2的面积的最大值是 .22匚口椭圆不+2=19A>。)的长轴端点为A, B,短轴端点为C, a bD,动点P满足PA = 2, zPAB面积的最大值为等，zPCD面积的最PB3，2，一一，一小值为2,则此椭圆的离心率为:3E 已知A, B分别为椭圆3+ b2=1(a > b > 0)的右顶点和上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆交于C, D两点，若四边形ACBD的面积最 大值为3b2,则椭圆的离心率为.X2 y2HI过椭圆16+、=1上一点P作圆x2+y2

9、= 2的两条切线，切点 分别为M, N,若直线MN与x轴、y轴分别交于点A, B,则4OAB 面积的最小值为.椭圆两焦点分别为Fi(4,0), F2(4, 0), P为椭圆上的动点， 直线PF2与椭圆的交点为Q,若PFiQ面积的最大值为15,则该椭 圆的标准方程为.如图37-10所示，点响为椭圆x2+y2=1上一定点，过 点A引两直线与椭圆分别交于B, C两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB, AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形.求直线BC的斜率；求 ABC的面积的最大值，并求出此时直线 BC的方程.X2 y2匚Q如图37-11所不，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：亳+器 = 1(a>b>0)的左顶点为A,与