校本教研实例与反思

1、中学数学教学案例任意角的三角函数（第1课时）北屯高级中学高一数学组秦妮一、情境描述第一部分一一情景引入问题1：如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为ho，它的直径为2R,逆时针方向匀速转动，转动一周需要 360秒，若现 在你坐在座舱中，从初始位置0A出发（如图1所示），过了 30秒后, 你离地面的高度h为多少？过了 45秒呢？过了 t秒呢？ RlfGnR。Bg9XoCP【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很

2、好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。tfPROwj。S4f4jHz o第二部分一一复习回顾锐角三角函数你离地面的高让学生自主思考如何解决问题：“过了 30秒后, 度为多少？”【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置0A运动30秒后到达P点位置，由题意知AOP 300，作PH垂直地面交0A于M又知MHk ho, 所以本问题转变成求PH,再次转变为求PM VgxHLZy 72LjjVy o要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的 问题即锐角的三角函数。问题2：锐角 的正弦函数如何定义？ 【学生自主探究】：学生很容易得到| MP | MP |厂sin| MP | Rsin

3、|OP |R| PH | h0Rsin Vkcvste o jKyCYLXh h0RsinzCGZh3E QYpp28qP所以学生很自然得到“过了 30秒后，过了 45秒，你离地面的高度h为/ 1多M少？NI9hCNQ mPICMguh1 h0 Rsi n30°h2 h0 Rsi n45°【教师总结】：t0在锐角的范围中，h ho Rsint0BiwU7iB。ovjucw乙第三部分一一引入新课问题3：请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？能不能猜想h h0 Rsin t0 ？ yUI7AKz。QVRhFOu【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任

4、意角的 正弦。今天我们就要来学习任意角的三角函数。问题4:如图建立直角坐标系，设点P(xp,yp)，你能用直角坐标 系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数(余弦、正切)？zgiUCy5o 6kMmW5H【学生自主探究】：sinDRYToeIcos国生,tan也已如|OP | R|OM | Xp问题5：改变终边上的点的位置，这三个也P| fugXWO|OP | RYX比值会改变吗？为什么?【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算 比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。ksVKVIO oRIqDcm【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值

5、不会随着终边上 的点的位置的改变而改变，只与角有关系。通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐 角正弦的定义一样。问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义， 能否也给出第y 二象限角的正弦函数的定义呢？【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到 sin 1 MP 1 匹 pVwdkdv AP1Hv8E |OP | R学生定义好第二象限角后，让学生 自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离 地面的高度 h ？ TdvyoRB wkCOEVy通过摩天轮知道：h h0 Rsi n150° h“ h。Rsi n30°由此得到：sin 1500-2【设计意图】:通过这个让

6、学生检验sin常卡在第二象限角是否正确？iSTtdoW gIWbA5C问题7: sin常在第三象限角或第四象限能成立吗？【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差(可以让学生取t 210，从而h ho Rsin2100,得到sin210° =-,2发现这与Sin|MP 1不相符，实际上是Sin 1 MP 1 ) mabOF8F 3uIbLVeo|0P|OP|【教师总结】：我们通过这个模型知道如何在某些范围内如何计 算自已此时离地面的高度，用数学模型h ho Rsint0来表示，当摩天 轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正

7、弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度 了，我更应该用点P的横坐标来代替|MP |或|MP |，那么这样就能 够很好表示出任意角的正弦函数的定义。Z9OEEyb Rucdd39第三部分一一给出任意角三角函数的定义如图3,已知点P(x, y)为角 终边上的点，点P到顶点0的距离为R,贝y 2sKPTiW AQJD28Esin(R)Rxcos(R)Rtan丿(k )x2【分析】:让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。问题&当摩天轮的半径R= 1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。【学生自主探究】：Sin y , cos x

8、 , tan o nxBOUOr ovHxyZ3x教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。教师进一步给出单位圆的定义 给出下列表格，让学生自己补充完整三角函数定义一：|OP| 1定义二：|OP| R定义域siny_yRRcosxxRRtanyykxx2及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。第三部分一一例题讲解例1.（课本P14例2）已知角 终边经过点Po（ 3, 4），求角的正弦、余弦和正切值。QPZgFbE g0e2ZPv。【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案 例2.（课本P14例1）求乞的正弦、余弦和正切值。3【学生自主探究】

9、：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点【教师讲解】：本题题意很简单，但是如 何入手却是难点，关键是对本节课的三角函 数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角 函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点 的距离），因此本题的重点之处是如何利用单 位圆找到这个点P,如图4可以知道POM又点P在第四象限，得到P（1,于），这样就可以很容易得到本题答案。ilT8PAy。PnUj8EI不妨让学生取R |OP| 4，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。z1NyD1W rpy6hAS。第四部分一一巩固练习练习1.例2变式

10、求 J的正弦、余弦和正切值。6练习2问题9:通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号 独立完成课本P15的“探究”。FXq6Zlw。UgMzbl7。【设计意图】：练习 1、练习 2的设计与例 2、例 3衔接，主要 目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利 用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想 方法。并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。 4gwGNMZ8ERSbwg 第五部分小结与作业学生自我总结作业：P23习题1.2A组1,2,3二、教学反思和分析 上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点

11、意义：1、教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数 的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认 知特点和学生的身心发展规律具体到抽象，现象到本质，特殊 到一般，这样有利学生的思考。uXsKDvC o1IgvP8。2、情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也 能很好地引入到直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意 角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。 YSH87zQ VRDbMEP3、通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程， 让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新 旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知 识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时， 在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课 程标准的理念是一致的。 VsYEbUR zDnYziK。4、标准把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实 践的空间 , 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识 提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的 能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识 , 使其上升为一种数学 意识, 自觉地对客观事物中蕴