复变函数第二章标准答案

1、复变函数第二章答案作者:日期:第二章解析函数1 .用导数定义，求下列函数的导数：(1) f(x) zRez.解：因lim f(z z) f Y/Z)* z 0zzlizm0zRe z zRez zRe zlim(Re zzRe z、Re z z)lim(Re zz 0Re z zz)lim(Re zy 0z),x i y当z 0时，上述极限不存在，故导数不存在；当z 0时，上述极限为0,故导数为0.2.下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？(1) f(z) z z2.解：-2-2f(z) z z z z z |z | z22(x y )(x iy)2222x(x y ) iy(

2、x y ),这里 u(x,y) x(x2 y2),v(x, y)y(x2 y2).22c 222c 2Ux x y2x , vy x y2y ,Uy 2xy,vx 2xy.要 Ux Vy,UyVx,当且当 x y 0,而 Ux,Uy,Vx,Vy 均连续，故 f(z) z z2.仅在z 0处可导，处处不解析.2 2) f (z) x3 3xy2i(3x2y y3).解：这里 u(x, y) x33xy2,v(x, y)3x2yy3.ux3x23y2,22Uy6xy,Vx 6xy,Vy 3x 3y ,四个偏导数均连续且UxVy,UyVx处处成立，故f (z)在整个复平面上处处可导也处处解析.3 .

3、确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数.(1) az b (c, d至少有一不为零).cz d解：当c 0时，f(z)空除zg外在复平面上处处解析，z 。为奇点,cz d ccaz bf (z)(一) cz d(az b) (cz d) (cz d) (az b)(cz d)2a(cz d) c(az b) ad cb(cz d)22 .(cz d)当c 0时，显然有d 0,故f(z) azb在复平面上处处解析，且f (z) d4.若函数f(z)在区域D内解析，并满足下列条件之一，试证f(z)必为常数.f(z)在区域D内解析； v u2；(3) arg f(z)在D内为常数；(4) au b

4、v c(a,b,c为不全为零的实常数).证(1)因为f(z)在D中解析，所以?f足C R条件uvuv,xyyx又而 u iv也在D中解析也满足C R条件u ( v) u ( v),.x y y x从而应有上0恒成立，故在D中u,v为常数，f(z)为常数.x y x y(2)因f(z)在D中解析且有f(z) u iu2,由C R条件，有2uu2u .则可推出-u 0,即u C(常数).故f(z)必为D中常数.设f(z) uiv，由条件知 arctan v uC从而-1(v/u)x (v/u)2(v/u)°,。0,计算得2/ v u 2 u (uv) /uv)/u y2v0,化简，利用C

5、R条件得uuyu-u x0,uv 0. y数.所以上上 x y0,同理二 xv 0,即在D中u,v为常数，故f (z)在D中为常 y(4)法一：设a0,则 u (cbv)/a,求导得由C R条件故u,v必为常数，即f (z)在D中为常数.设a 0,b 0,c 0则bv c,知v为常数，又由C R条件知u也必为常数，所以f(z)在D中为常数.法二：等式两边对x,y求偏导得:aux bvx 0auy bvyR条件，我们有auxbuxbUy 0,即 aauy 0 buxuy0,而a2 b2 0,故ux uy 0 ,从而u为常数，即有f(z)在D中为常数.25.设f(z)在区域D内解析，试证：(i x

6、2-)1 f(z)|2 4| f (z)|2. y证：设 f(z) u iv,|f(z)l2 u2 v2,f(z) i , |f(z)|2 ()2 ()2 x yx y222一 222()1 f(z)l2 (u2 v2)x yx(u yV2)u)2 x2uu 2 x(寸u yv 2(一)2y又f (z)解析,则实部u及虚部v均为调和函数.故2Vu u x2 u2 y0,Vv2 v2 x2v2 y0.2-)l f(z) 12 y4(-)2x(-)2)y4| f (z) 12.6.由下列条件求解解析函数f (z) u iv.2 .2、(1)u (x y)(x 4xy y );解：因上 -3x2 6

7、xy 3y2,所以x y22、.v (3x 6xy 3y )dy3x2 y 3xy2 y3(x),又-v 6xy 3y2(x)，而-u 3x2 6xy 3y2,所以 (x)3x2,则xx(x)x3 C.故f (z) u iv(xy)(x24xyy2)i (3x2y3xy2y3x3C)2222(1i)x2(xiy)y2(1i)(xiy) 2x2y(1i)2xy2(1 i) Ciz(1 i)(x2y2)2xyiiz(1i)Ci(1i)z(x2y22xyi) Ci(1 i)z3 Ci v 2xy 3x;解：因2y 3,2x5 f(z)解析，有 xyu v -八,2,、2x, u 2xdx x (y)

8、.x y又-u 2y 3,而-u(y),所以(y) 2y 3,则(y) y2 3y C.y xy故 f(z) x2 y2 3y C i(2 xy 3x). u 2(x 1)y, f (2) i;解：因-u2y,2(x 1),由f(z)的解析性，有2(x 1),x yx y2 v2(x 1)dx (x 1)2(y),又二 上 2y,而(y),所以(y) 2y,(y) y2 C,则y xyv (x 1)2 y2 C,故f(z) 2(x 1)y i( (x 1)2 y2 C),由 f(2)i 得 f(2) i( 1 C) i,推出 C0.即一-22 一f(z) 2(x 1)y i(y x 2x 1)

9、i( z2 2z 1) i(z 1)2.7.设v epx sin y,求p的值使v为调和函数，并求出解析函数f (z) u iv.解：要使v(x, y)为调和函数，则有v vxx vyy0.即2 pxpx .p e sin y e sin y所以p 1时,v为调和函数，要使f (z)解析，则有Uxvy, uyvx.,、,px,1 px,、u(x, y)uxdxe cosydx e cosy (y),p1 ”uy e sin y (y) pe sin y.p所以(y) (1 p)epxsiny, (y) (p -)epxcosy C.PP即 u(x,y) pepxcosy C,故xze (cosy isiny) C e C, p 1, f(z) xze (cosy isiny) C e C, p 1.8 .试解方程：(1) ez 1 、.3i；解:ez1 、. 3i2(cos i sin )i( 2k )2e 310ln2 i(2k _)e 3 , k 0, 1, 2.故z ln2 i(2k3), k 0, 1, 2.-i解：z e2 cos isin i.229.求下列各式的值。(1) cosi;解 cos ii (i)_ i(i)ee(2) Ln( 3 4i);解：Ln( 3 4i) ln5 iArg ( 3 4i)ln5 i(2k,4、 arctan