分别是正弦余弦正切余切正割余割

1、角9的所有三角函数9,设 OP=r，P点的坐（见：函数图形曲线）在平面直角坐标系xOy中，从点 0引岀一条射线0P，设旋转角为标为（x , y ）有正弦函数sin 9 =y/r余弦函数cos9 =x/r正切函数tan9 =y/x余切函数cot9 =x/y正割函数sec9 =r/x余割函数csc9 =r/y（斜边为r，对边为y，邻边为 x。）以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢 函数 vers in 9 =1 -cos 9余矢函数 covers9 = 1 -sin 9正弦（sin ):角a的对边比上斜边余弦（cos ):角a的邻边比上斜边正切（tan ):角a的对边比上邻边余切（cot ):

2、角a的邻边比上对边正割（sec ):角a的斜边比上邻边余割（csc ):角a的斜边比上对边编辑本段同角三角函数间的基本关系式:平方关系：sinA2 a + cosA2 a = 11 + tanA2 a = secA2 a1 + cotA2 a = cscA2 a积的关系：sin a =tan aX cos a cos a =cot aX sin a tan a =si n aX sec a cot a =cos aX CSC a sec a =ta n aX csc a csc a =sec aX cot a倒数关系：tan a cot = 1Sin a CSC a= 1COS a Sec a

3、= 1商的关系：Sin a/COS a=tana= SeCa/CSC aCOSa/Sin a=COta= CSCa/SeC a直角三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 ,余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 ,1三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( a + p )=cos a cos 空in a sin Bcos( a- p )=cos a cos p +sin a sin psin( a 士 p )=sin a cos p 士 cos a sin ptan( a + p )=(tan a +tan p )/(1tantan p)tan( a-

4、 p )=(tan atan p )/(1+tan a tan p)三角和的三角函数：sin( a + p+丫)=sin a cosp cos 丫 +cosa sinp cos 丫 +cosa cosip asinsY p sin 丫cos( a + p+丫)=cos a cosp cocgs sin psinsiY a cos p si-siY a sin p cos 丫tan( a + p+丫)=(ta n a +ta np +ta n-tan a tan ptan 丫 -/(1n a tan pan p tan -ta n 丫 tan a)辅助角公式：As in a +Bcosa =(A

5、²+B&sup2(1/2)si n(a +arcta n(B/A)，其中si nt=B/(A²+B&sup2(1/2)cost=A/(A²+B²F(1/2)tant=B/AAsin a -Bcos a =(A²+B&sup2(1 /2)cos(a -t) , tant=A/B倍角公式：sin(2 a )=2s in a cos a =2/(ta n a +cot a)cos(2a)=cos²( a)-sin²( a)=2cos²

6、( a) -1=1- 2sin²( a)tan(2 a)=2tan a/1-tan²( a)三倍角公式：sin(3 a )=3sin a-4si n³( a )=4sin a sin( 60+ a )si n(60 - a)cos(3 a )=4cos³( a) - 3coS a =4coS a，COS(60+ a )COS(60 - a )tan(3 a )=tan a ta n( n /3+a) ta n( n /3-a)半角公式：sin( a /2)= 士 V(-Cos a )/2)cos( a /2)= 士 V (

7、1+CoS a )/2)tan( a /2)= 士 V(-1cos a )/(1+cos a )=sin a /(1+cos a )=(1-cos a )/sin a降幕公式sin²( a )=(1 -cos(2 a )/2=versin(2a )/2cos²( a )=(1+cos(2 a )/2=covers(2 a )/2 tan²( a )=(1 -cos(2a )/(1+cos(2 a ) 万能公式：sin a =2tan( a /2)/1+tan²( a /2) cosa =1 -tan²(

8、a /2)/1+tan²( a /2)tan a =2tan( a /2)/1 -tan²( a /2)积化和差公式：sin a-cos p =(1/2)sin(cosasin p =(1/2)sin(a +-psin)( a-p )cosacosp =(1/2)cos(a +p )+cos( -ap )sin asin p-(=1/2)cos(a +p -)cos( a -p )和差化积公式：sin a +sin p =2sin( a +p )/2cos( -pa )/2 sin a-sin p =2cos( a +p )/2sin(-ap )/2cosa

9、 +cosp =2cos( a +p )/2cos(a-p )/2cosa -cosp=-2sin( a +p )/2sin( -pa )/2推导公式tan a +cot a =2/sin2 atana-cota=-2cot2a1+cos2a =2cos²a1-cos2a =2sin² a1+sin a =(sin a /2+cos a /2)²其他：sin a +sin(a +2n /n)+sin(a +2n *2/n)+sin(a +2n *3/n)+ +sin a +2n *(n1)/n=0cos a +cos(a +2 n /n)+

10、cos(a +2n *2/n)+cos(a +2n *3/n)+ +cos a +2n *(n-1)/n=0以及sin²( a )+sin²( a -2n /3)+sin²( a +2n /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx证明：左边 =2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx积化=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+sinnx-sin(n-2)x+

11、sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx和差)=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx= 右边等式得证- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinxsinx+sin2x+.+sinnx=证明 :左边=-2si nxsi nx+si n2x+.+si nn x/(-2s inx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cos nx-cos( n-2)x+cos( n+1)x-cos( n-1)x/(-2s inx)=-cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边等式得证三倍角公式推导sin3a=sin( 2a+a)=sin 2ac

12、osa+cos2as ina=2s in a(1-s in²a)+(1-2s in²a)s ina=3s in a-4s in³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-s in 2as ina=(2cos²a-1)cosa-2(1-s in²a)cosa=4cos³a-3cosasin 3a=3s in a-4s in³a=4si na(3/4-si n²a)=4sina( V3/2)² -sin²a=

13、4sina(sin²60 °-sin²a)=4sina(sin60 ° +sina)(sin60 ° -sina)=4si na*2si n(60+a)/2cos(60° -a)/2*2si n (60-a) /2cos(60° +a)/2=4sinasin(60 ° +a)sin(60 ° -a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(V 3/2)²=4cosa

14、(cos²a-cos²30 °)=4cosa(cosa+cos30 °)(cosa-cos30 ° )°/2=4cosa*2cos(a+30 °)/2cos(a-30° )/2*-2sin(a+30°/2sin(a-30=-4cosasin(a+30 ° )sin(a-30 °)=-4cosasin90 ° -(60 °-a)sin-90°+(60 ° +a)=-4cosacos(60 °-a)-cos(60°

15、 +a)=4cosacos(60 °-a)cos(60 ° +a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60 ° -a)tan(60 ° +a)编辑本段三角函数的诱导公式公式一:设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k n+ a)= sin aCOS ( 2k n+ a) = cos atan ( 2k n + a)= tan acot ( 2k n + a) = cot a公式二：设a为任意角， n +a的三角函数值与 a的三角函数值之间的关系:sin ( n+ a) = sin aCOS ( n + a) = COs a

16、tan ( n+ a) = tan aCOt ( n+ a) = COt a公式三：任意角 a与-a的三角函数值之间的关系：sin(a)= sin aCOs(a)= COsatan(a)= tan aCOt(a)= COt a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系:sin(n a)=sin aCOs(n -a)= COsatan(n 一a)= tan aCOt(n a)= COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n - a与a的三角函数值之间的关系:sin(2 n a)= sin aCOs(2 n a):= COsatan(2 n a)= tan aCOt(

17、2 n a)= COt a公式六：n /2±及 3 n /2 士 a与 a的三角函数值之间的关系sin(n /2+a)=COsaCOs(n /2 +a)= sinatan(n /2 +a)= COtaCOt(n /2+a)= tanasin(n /2a)=COsaCOs(n /2 a)= sin atan(n /2 a)=COt acot(n /2 a)=tan asin(3 n /2 + a)=cos acos(3 n /2 + a)=sin atan(3 n 12 + a):=cot acot(3 n /2 + a)=tan asin(3 n /2 a )=cos acos(3

18、n /2 a)=sin atan(3 n /2 a ):=cot acot(3 n /2 a )=tan a（以上k Z）补充：6X9 = 54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）f( B )宀f( B=sin Bcos Btan Bcot Bsec Bcsc B360k+ asin acos atan acot asec acsc a90° acos asin acot atan acsc asec a90° +acos a-sin a-cot a-tan a-csc asec a180°-asin a-cos a-tan a-cot a-sec

19、acsc a180 ° +a-sin a-cos atan acot a-sec a-csc a270° a-cos a-sin acot atan a-csc a-sec a270 ° +a-cos asin a-cot a-tan acsc a-sec a360° a-sin acos a-tan a-cot asec a-csc aa-sin acos a-tan a-cot asec a-csc a定名法则90°的奇数倍+a的三角函数，其绝对值与a三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+a的三角函数与 a的三角函数绝对值相

20、同。也就是奇余偶同，奇变偶不变”定号法则将a看做锐角（注意是 看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是象限定号，符号看象限”比如：90 ° +a。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将a看做锐角，那么 90°+ a是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为正。所以sin（90 ° + a ）=COS a cos（90 ° + a）=-sin a这个非常神奇，屡试不爽编辑本段三角形与三角函数1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/si nB=c/si nC=2R.（其中R

21、为外接圆的半径 ）2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2倍，即aA2=bA2+cA2-2bccosA4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即(a-b)/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2)5、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中，如三角形 ABC，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明：已

22、知(A+B)=( n -C)所以 tan(A+B)=tan( n -C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan n -tanC )/(1+tan n tanC)整理可得tanA+ta nB+ta nC=ta nAta nBta nC类似地，我们同样也可以求证 ：当a + p +丫 =nn (nE Z)时，总有 tan a +tan p +tan 丫 =tan a tan p tan 丫 编辑本段部分高等内容高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sin x=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2ta nx=eA(ix)-e

23、A(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)= 1 + z/1 !+乙人2/2 !+乙人3/3 !+乙人4/4 ! + + zAn/n !+此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y'：y=y""，有通解 Q,可证明Q=Asi nx+Bcosx，因此也可以从此岀发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一一双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。角度a0° 30° 45° 60°90°180&

24、#176;1.si na0 1/2 V 2/2 V 3/2 1 02.cosa1 V 3/2 V 2/2 1/2 0 -13.ta na0 V 3/3 1 V 3 / 04.cota/ V 3 1 V 3/3 0 /(注：“V为根号)编辑本段三角函数的计算幕级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=Ecnxn (n=0. g)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.= Ecn(x -a)n (n=0. g)这种级数称为幕级它们的各项都是正整数幕的幕函数，其中c0,c1,c2,.及a都是常数，数.泰勒展开式(幕级数展开法):f(x)=f(a)+f'(a)/1!

25、*(x-a)+f"(a)/2!*(x-a)2+.f( n)(a)/n 严(x-a )n+.实用幕级数：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+x n/n!+.In (1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x| <1)sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(- g <x<g)cos x=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-g<x<g)arcsinx= x + 1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5+. (|x|<1)ar

26、ccos x = n - ( x + 1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5+ . ) (|x|<1)arctanx= x - xA3/3+ xA5/5- . (x <1)sinh x = x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(- g<x<g)cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(- g<x<g)arcsinhx = x - 1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5- . (|x|<1)arctanhx = x + xA3/3 + xA5/5+ .

27、(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的 方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+ E (n=0. g) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/ n/ ( n -. n ) (f(x)dxan=1/ n/ ( n -.n ) (f(x)cosnx)dxbn=1/ n/ ( n -.n ) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号第三，四象限为负第二，三象限为负第二，四象限为负正弦 第一，二象限为正, 余弦第一，四象限为正 正切 第一，三象限为正编辑本段三角函数定义域和值域sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为-1,1tan(x)的定义域为 x不等于 n /2+k n值域为 Rcot(x)的定义域