材料力学课件：第五章 弯曲应力

1、1第五章第五章弯弯 曲曲 应应 力力2本章内容本章内容:1 纯弯曲纯弯曲2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力4 弯曲切应力弯曲切应力5* 关于弯曲理论的基本假设关于弯曲理论的基本假设6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施35. 1 纯弯曲纯弯曲l 横力弯曲横力弯曲梁的横截面上同时有弯梁的横截面上同时有弯矩和剪力的弯曲。矩和剪力的弯曲。l 纯弯曲纯弯曲梁的横截面上只有弯矩梁的横截面上只有弯矩时的弯曲。时的弯曲。横截面上只有正应横截面上只有正应力而无切应力。力而无切应力。l 纯弯曲的纯弯曲的变形特征变形特征4l 纯弯曲的纯弯曲的变形特征变形特征5l 纯弯曲

2、的纯弯曲的变形特征变形特征l 基本假设基本假设1: 平面假设平面假设变形前为平面的横截变形前为平面的横截面变形后仍为平面，面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线。且仍垂直于梁的轴线。l 中性层中性层与与中性轴中性轴l 基本假设基本假设2: 纵向纤维无挤压假设纵向纤维无挤压假设纵向纤维间无正应力。纵向纤维间无正应力。6l 中性层中性层与与中性轴中性轴75. 2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力1 变形几何关系变形几何关系取坐标系如图，取坐标系如图，z轴为轴为中性轴中性轴； y轴为对称轴。轴为对称轴。u 纵向线纵向线bb变形后变形后的长度为的长度为:d)(ybbu 纵向线纵向线bb变形前的长度变形前

3、的长度为求出距中性层为求出距中性层 y处的处的应变应变，取长取长dx的梁段研究的梁段研究:中性层长度不变中性层长度不变, 所以有所以有:8u 纵向线纵向线bb变形后变形后的长度为的长度为:d)(ybbu bb变形前的长度变形前的长度bbOOOOdu 纵向线纵向线bb的应变为的应变为ddd)(yy即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。面高度呈线性分布。中性层长度不变中性层长度不变, 所以所以92 物理关系物理关系因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有限时，由胡克定律有:EyE即

4、：纯弯曲时横截面上任一点的正即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离应力与它到中性轴的距离y成正比。成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。3 静力关系静力关系10NMz3 静力关系静力关系MyANAd0XAzMAydAyMAzd对横截面上的内力系，有对横截面上的内力系，有:由梁段的平衡有由梁段的平衡有:0N0ym0yM0zmMMz11ANAdAzMAydAyMAzd由梁段的平衡有由梁段的平衡有:, 0N, 0yMMMz对横截面上的内力系，有对横截面上的内力系，有:所以所以ANAd00d AyEA0d AyEA0d AyA0zS z 轴通过形心。

5、轴通过形心。即：即：中性中性轴通过形心轴通过形心。12,dAzMAyAyMAzd, 0yMMMz由由ANAd00d AzyEA0d AyzA即：即：中性中性轴通过形心轴通过形心。由由AzMAyd0因为因为y轴是对称轴，上式自然满足。轴是对称轴，上式自然满足。0yzI13,dAzMAyAyMAzd, 0yMMMz由由 梁的梁的抗弯刚度抗弯刚度MMzAyAdAyyEMAdAyEAd2zIEzEIM1将上式代入将上式代入yEzIMy14u 由于推导过程并未用到由于推导过程并未用到矩形矩形截面条件，因而截面条件，因而公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在

6、对称面内的情况。载荷作用在对称面内的情况。u 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。u 公式是从公式是从纯弯曲纯弯曲梁推得，是否适用于一般情梁推得，是否适用于一般情形（横力弯曲）？形（横力弯曲）？纯弯曲时正应力公式纯弯曲时正应力公式zIMyl 公式的适用性公式的适用性155. 3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力横力弯曲时，横截面上有切应力横力弯曲时，横截面上有切应力平面假设平面假设不再成立不再成立此外此外, 横力弯曲时横力弯曲时纵向纤维无挤压假设纵向纤维无挤压假设也不成立也不成立.由由弹

7、性力学弹性力学的理论，有的理论，有结论结论：当梁的长度当梁的长度l与横截面的高度与横截面的高度h的比值的比值:hl5则用则用纯弯曲纯弯曲的正应力公式计算的正应力公式计算横力弯曲横力弯曲时的正应时的正应力有足够的精度。力有足够的精度。 l / h 5 的梁称为的梁称为细长梁细长梁。16l 最大正应力最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。横力弯曲时，弯矩是变化的。zIyMmaxmaxmax引入符号：引入符号：maxyIWz则有：则有：WMmaxmax 抗弯截面系数抗弯截面系数l 比较比较 拉压拉压:ANmaxmaxtWTmaxmax扭转扭转:17l 两种常用截面的抗弯截面系数两种常用截面的抗弯截面系

8、数u 矩形截面矩形截面,123bhIz62bhW 2maxhyu 圆形截面圆形截面,644dIz323dW2maxdy18l 弯曲强度条件弯曲强度条件注意注意：当截面变化时，还需综合考虑：当截面变化时，还需综合考虑W的值。的值。WMmaxmax19例例 1 ( 书例书例5.1) 已知已知：板长：板长3a =150mm，材料，材料的许用应力的许用应力 =140MPa。解解：求求：最大允许最大允许压紧力压紧力P。压板可简化为压板可简化为如图的外伸梁。如图的外伸梁。由微分关系，由微分关系，AC段、段、BC段的弯矩图为斜直线。段的弯矩图为斜直线。(1) 求弯矩图求弯矩图20BMMmax且且B截面最薄弱

9、。截面最薄弱。由微分关系，由微分关系，AC段、段、BC段的弯矩段的弯矩图为斜直线。图为斜直线。(1) 求弯矩图求弯矩图作出弯矩图。作出弯矩图。(2) 确定危险截面确定危险截面PaB为危险截面。为危险截面。(3) 计算计算B截面截面W21BMMmax(3) 计算计算B截面截面WPaB为危险截面。为危险截面。看成组合物体看成组合物体21zzzIII1202. 003. 031202. 0014. 0348m1007. 1maxyIWz281011007. 136m1007. 122BMMmax(3) 计算计算B截面截面WPaB为危险截面。为危险截面。36m1007. 1W(4) 由强度条件计算由强

10、度条件计算PWMmaxmaxmaxWMWPaaWP268105101401007. 1kN323例例 2 ( 书例书例5.2) 已知已知： =100 MPa，P = 25.3 kN。解解：求求：校核校核心心轴轴的强度。的强度。 计算简计算简图如图。图如图。(1) 求弯矩图求弯矩图支反力支反力kN,6 .23ARkN27BR24(1)求弯矩图求弯矩图(2) 确定危确定危险截面险截面u I截面截面u II截面截面u III截面截面支反力支反力kN6 .23ARkN27BR(3) 强度校强度校核核u I截面截面maxMMImkN72. 425(3) 强度校强度校核核u I截面截面maxMMImkN7

11、2. 43231dWI32)1095(3336m101 .84IIIWMMPa1 .56u II截面截面mkN42. 3IIM26u II截面截面3232dWII32)1085(3336m103 .60IIIIIIWMMPa7 .56u III截面截面mkN42. 3IIMmkN64. 4IIIM27u III截面截面3233dWIII32)1088(3336m109 .66IIIIIIWMMPa4 .69l 结论结论mkN64. 4IIIMl 注意注意满足强度要求。满足强度要求。最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。28例例 3 ( 书例书例5.3) 已知已

12、知：T形截面形截面铸铸铁铁梁梁，t= 30 MPa，c=160 MPa。Iz=763cm4, 且且 |y1|=52mm。解解：求求：校核梁的强度。校核梁的强度。 (1) 求弯矩图求弯矩图u 支反力支反力kN,5 . 2ARkN5 .10BRu 作出弯矩图作出弯矩图29(1) 求弯矩图求弯矩图u 支反力支反力kN,5 . 2ARkN5 .10BRu 作出弯矩图作出弯矩图最大正弯矩为最大正弯矩为:mkN5 . 2CM最大负弯矩为最大负弯矩为:mkN4BM(2) 确定危确定危险截面险截面u B截面截面u C截面截面30(2) 确定危确定危险截面险截面u B截面截面u C截面截面最大正弯矩为最大正弯矩

13、为:mkN5 . 2CM最大负弯矩为最大负弯矩为:mkN4BM(3) 强度校核强度校核u B截面截面zBtIyM11MMPa2 .27MPa30tzBcIyM21MPa2 .46MPa160c31(3) 强度校核强度校核u B截面截面zBtIyM11MMPa2 .27zBcIyM21MPa2 .46u C截面截面zCtIyM22MPa8 .28显然，显然， 2c 1cMPa30tMl 结论结论 满足强度要求。满足强度要求。325. 4 弯曲切应力弯曲切应力横力弯曲时横力弯曲时, 横截面上既有正应力横截面上既有正应力, 又有切应力。又有切应力。推导切应力公式的方法：推导切应力公式的方法：假设切应

14、力的分布规律，然后根据假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件平衡条件求出求出1 矩形截面梁矩形截面梁切应力。切应力。按截面形状，分别讨论。按截面形状，分别讨论。l 切应力分布假设切应力分布假设(1) 各点切应力方向平行各点切应力方向平行于剪力于剪力Q;331 矩形截面梁矩形截面梁l 切应力分布假设切应力分布假设(1) 各点切应力方向平行各点切应力方向平行于剪力于剪力Q;(2) 切应力沿宽度均匀分布。切应力沿宽度均匀分布。l 用平衡条件导出切应力公式用平衡条件导出切应力公式u 取研究对象取研究对象34l 用平衡条件导出切应力公式用平衡条件导出切应力公式u 取研究对象取研究对象35u 由切应力互等

15、由切应力互等定理定理u 右截面上的右截面上的N21d2AANA1为右截面为右截面 pn1的的面积。面积。zIyMM1)d(右截面正应力为右截面正应力为:36u 右截面上的右截面上的N21d2AANzIydMM1)(其中其中:1d)d(12AzAIyMMN1d)d(1AzAyIMM*)d(zzSIMM 1d1*AzAyS y以下以下的面积对中性轴的静矩。的面积对中性轴的静矩。37u 右截面上的右截面上的N2其中其中:*2)d(zzSIMMN1d1*AzAySu 左截面上的左截面上的N1同理可得同理可得:*1zzSIMN u 上表面上的上表面上的dQxbQdddQu x方向平衡条件方向平衡条件0X

16、0d12QNN38*2)d(zzSIMMN*1zzSIMN xbQdddQu x方向平衡条件方向平衡条件0X0d12QNN*)d(zzSIMM *zzSIM0dxb*dzzSIM0dxbbISxMzz*dd39dQu 由微分关系由微分关系*dzzSIM0dxbbISxMzz*ddQxMddbIQSzz*u 由切应力互等定理，得由切应力互等定理，得bIQSzz*u 计算计算Sz*40u 由切应力互等定理，得由切应力互等定理，得bIQSzz*u 计算计算Sz*可用公式可用公式11*yASz*zS)2(yhb)2(21yhy)4(222*yhbSz)2(yhb)2(21yh所以：所以：)4(222y

17、hIQz41)4(222*yhbSz所以：所以：)4(222yhIQz 距中性层距中性层 y处处的切应力公式的切应力公式u 切应力分布切应力分布切应力沿截面高度按抛物切应力沿截面高度按抛物线规律变化。线规律变化。0在上下边缘处在上下边缘处max在中性层处在中性层处zIQh82因为因为123bhIzbhQ23max42max在中性层处在中性层处zIQh82因为因为123bhIzbhQ23max即：最大切应力是平均剪应即：最大切应力是平均剪应力的力的1.5倍。倍。2 工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁由工字形截面梁由腹板腹板和和翼缘翼缘组成。组成。u 腹板腹板的切应力的切应力腹板是矩形，切应力公

18、式同矩形腹板是矩形，切应力公式同矩形截面梁。截面梁。432 工字形截面梁工字形截面梁l 腹板腹板的切应力的切应力腹板是矩形，切应力公式同腹板是矩形，切应力公式同bIQSzz*矩形截面梁矩形截面梁:u 计算计算Sz*zS)22(hHB)22(212hHh)2(yhb)2(21yhy44u 计算计算Sz*zS)22(hHB)22(212hHh)2(yhb)2(21yhy)4(2)(82222yhbhHB则，距中性层则，距中性层 y处的切应力公式为处的切应力公式为:)4(2)(82222yhbhHBbIQz切应力分布如图。切应力分布如图。45距中性层距中性层 y处的切应力公式为处的切应力公式为:)4

19、(2)(82222yhbhHBbIQz切应力分布如图。切应力分布如图。u 最大切应力发生在最大切应力发生在中性轴中性轴处处8)(822maxhbBBHbIQzu 最小切应力发生在最小切应力发生在 y=h/2 处处)88(22minBhBHbIQz46u 最大切应力发生在最大切应力发生在中性轴中性轴处处8)(822maxhbBBHbIQzu 最小切应力发生在最小切应力发生在 y=h/2 处处)88(22minBhBHbIQzu 腹板切应力的腹板切应力的近似公式近似公式因为因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布腹板切应力近似为均匀分布;(2)腹板负担了绝大部分剪力。腹板负担了绝大部分剪力。近似公式

20、近似公式:hbQ47u 腹板切应力的腹板切应力的近似公式近似公式因为因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布腹板切应力近似为均匀分布;(2)腹板负担了绝大部分剪力。腹板负担了绝大部分剪力。近似公式近似公式:hbQl 翼缘翼缘的切应力的切应力u 特点特点(1) 除了有平行于剪力除了有平行于剪力Q的切应力的切应力分量外，还有与剪力分量外，还有与剪力Q垂直的垂直的切应力分量；切应力分量；(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。切应力数值与腹板的切应力相比较小。483 圆形截面梁圆形截面梁l 切应力分布的切应力分布的特点特点(1) 边缘各点的切应力与圆周边缘各点的切应力与圆周相切；相切；(2) y轴上

21、各点轴上各点的切应力沿的切应力沿y轴。轴。l 假设假设(1) AB弦上各点的切应力作用弦上各点的切应力作用线通过同一点线通过同一点 p；(2) AB弦上各点的切应力沿弦上各点的切应力沿 y轴的分量轴的分量 y相等。相等。所以，对所以，对y可用矩形截面梁的公式可用矩形截面梁的公式bIQSzzy*49所以，对所以，对y可用矩形截面梁的可用矩形截面梁的bIQSzzy*公式公式式中，式中，b为为AB弦的长度，弦的长度，Sz*为为AB弦以外的面积对弦以外的面积对z轴的静矩。轴的静矩。l 最大切应力最大切应力最大切应力发生在中性轴上。最大切应力发生在中性轴上。中性轴上的切应力的方向？中性轴上的切应力的方向

22、？34212*RRSz中性轴处中性轴处Rb23*32RSz5034212*RRSz最大切应力是平均切应力的最大切应力是平均切应力的1.33倍。倍。中性轴处中性轴处Rb2bIQSzzy*2max34RQ644DIz3*32RSz44R514 弯曲切应力弯曲切应力强度条件强度条件l 强度条件强度条件弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：正应力最大处，切应力为零，是正应力最大处，切应力为零，是单向拉压单向拉压状态；状态；切应力最大处，正应力为零，是切应力最大处，正应力为零，是纯剪切纯剪切状态。状态。52弯曲切应力强度条件为弯曲切应力强度条件为bISQzz*max

23、maxmaxl 实心截面梁正应力与切应力的比较实心截面梁正应力与切应力的比较zWPlmaxbIPSzz*max正应力最大处，切应力为零，是正应力最大处，切应力为零，是单向拉压单向拉压状态；状态；切应力最大处，正应力为零，是切应力最大处，正应力为零，是纯剪切纯剪切状态。状态。53l 实心截面梁正应力与切应力的比较实心截面梁正应力与切应力的比较,maxzWPlbIPSzz*maxu 对矩形截面梁对矩形截面梁hl4maxmaxu 对圆形截面梁对圆形截面梁dl6maxmax54u 对矩形截面梁对矩形截面梁hl4maxmaxu 对圆形截面梁对圆形截面梁dl6maxmax所以，对所以，对实心截面梁实心截面

24、梁通常不需要校核剪切强度。通常不需要校核剪切强度。u 需要校核剪切强度几种情况需要校核剪切强度几种情况(1) 弯矩较小而剪力很大的情况：短粗梁，或在弯矩较小而剪力很大的情况：短粗梁，或在支座附近作用有较大的集中力；支座附近作用有较大的集中力；(2) 非标准的腹板较高且较薄的工字梁；非标准的腹板较高且较薄的工字梁；(3) 梁上的焊缝、铆钉或胶合面。梁上的焊缝、铆钉或胶合面。55例例 4 ( 书例书例5.4) 已知已知：由木板胶合而成的：由木板胶合而成的梁。梁。解解：求求：胶合面上沿胶合面上沿x方向单位方向单位长度的剪力。长度的剪力。 无法直接用公式。无法直接用公式。取一微段：取一微段：与推导剪应

25、与推导剪应力公式的方力公式的方法相同，有法相同，有56取一微段：取一微段：与推导切应力公式相同，有与推导切应力公式相同，有*2)d(zzSIMMN,*1zzSIMN 0X12NN 0d2xqzzISxMq*dd21zzIQS*2157例例 5 (书例书例5.5) 已知已知：l =2m，a=0.2m, q=10kN/m，P =200kN, =160MPa，=100MPa。解解：求求：选择工字钢型号选择工字钢型号 。 (1) 求剪力图和弯矩图求剪力图和弯矩图u 支反力支反力kN,210ARkN210BRu 作出剪力图和弯矩图作出剪力图和弯矩图58u 作出剪力图和弯矩图作出剪力图和弯矩图最大弯矩最大

26、弯矩mkN45maxM最大剪力最大剪力kN210maxQu 先根据最大弯矩先根据最大弯矩选择工字钢型号选择工字钢型号maxMWz3cm281u 查型钢表查型钢表(p. 416)59u 查型钢表查型钢表(p. 416)3cm281zW单位为单位为: cm60u 查型钢表查型钢表(p. 416)3cm281zWu 选选22a工字钢工字钢,cm3093zWu 校核剪切强度校核剪切强度 查型钢表得，对查型钢表得，对22a工字钢：工字钢：cm9 .18*zzSI 腹板厚度：腹板厚度：cm75. 0 dbbISQzz*maxmaxMPa148MPa100所以，选所以，选22a工字钢，剪切强度不够，需重选。

27、工字钢，剪切强度不够，需重选。61所以，选所以，选22a工字钢，剪切强度不够，需重选。工字钢，剪切强度不够，需重选。62u 查型钢表查型钢表(p. 416), 重选重选25b工字钢工字钢:,cm4233zWcm,3 .21*zzSIcm0 . 1 dbbISQzz*maxmaxMPa6 .98MPa100所以，选所以，选25b工字钢可同时满足正应力和切应力工字钢可同时满足正应力和切应力强度条件。强度条件。注：若选注：若选25a工字钢，则：工字钢，则：MPa5 .121max635. 6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。

28、弯曲正应力强度为：弯曲正应力强度为：1 减小最大弯矩减小最大弯矩从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩弯矩Mmax和提高抗弯截面系数和提高抗弯截面系数W。(1) 合理布置支座的位置合理布置支座的位置WMmaxmax641 减小最大弯矩减小最大弯矩(1) 合理布置支座的位置合理布置支座的位置65u 工程例子工程例子(2) 合理布置载荷合理布置载荷66(2) 合理布置载荷合理布置载荷672 提高抗弯截面系数提高抗弯截面系数在截面积在截面积A相同的条件下，提高抗弯截面系数。相同的条件下，提高抗弯截面系数。u 矩形截面梁的放置矩形截面梁的放置u 几种常

29、用截面的比较几种常用截面的比较用比值用比值来衡量来衡量AW68u 几种常用截面的比较几种常用截面的比较用比值用比值AW来衡量来衡量可看出：材料远离中性轴的截面可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、环形、槽形、工字形等工字形等)比较经济合理。比较经济合理。69可看出：材料远离中性轴的截面可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、环形、槽形、工字形等工字形等)比较经济合理。比较经济合理。u 根据根据材料特性材料特性选择合理截面选择合理截面70u 根据根据材料特性材料特性选择合理截面选择合理截面F 抗拉和抗压强度抗拉和抗压强度相等相等的材料的材料可采用关于中性轴上下对称的截面，如：可采用关于中性轴上下对称的截面，如：矩形、工字形、圆形等。矩形、工字形、圆形等。F 抗拉和抗压强度抗拉和抗压强度不相等不相等的材料的材料可采用中性轴偏于受拉一侧的截面，如：可采用中性轴偏于受拉一侧