希尔伯特空间

1、一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪 前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间， 也就是无穷序列空间的性质。大家知道，在一个欧几里得空间 RAn ±,所有的点可以写成为： X= （x1, x2, x3, ., xn）。 那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x

2、1, x2, x3, .xn, .）, 一个点的序列。欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），|凶|人2=汇*门人2,可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn,汇xn2可以不存在（为无穷大）。于是希尔伯特将所有汇 xnA2为有限的点做成一个子空间，并赋以 X*X'=汇xn*xn'作为两点的内积。这个空间我们现在叫做1人2 ,平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。注意到我只提了内积没有提范数， 这是因为范数可以由点与自身的内积推出， 所以内积是一 个更加强的条件，有内积必有范数， 反之不然。只有范数的空间叫做 Ba

3、nach空间，（以后有 时间再慢慢讲：-）。如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上汇 xnA2为有限的点。这个最早的Hilbert space叫做1人2 （小写的l上标2,又叫小12空间），非常类似于有限维的 欧氏空间。数学的发展可以说是一部抽象史。最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space 理论发展就正是如此：“内积+线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也 成为了 Hilb

4、ert space。单位闭区间上所有平方可积的实函数（就是说f （x）的平方在0, 1上的积分存在且有限）按照函数的加法和数乘成为一个线性空间，然后我们定义内积如下：<f, g>= /|f*g|dx,范数II f II =根号<f, f>=根号/ （ f） A2dxo容易验证它们满足内积和范数的几个公理（有兴趣 的同学可以随便翻翻任何一本泛函书） 。这样把（平方可积）函数看作一个个的点，由函数 线性运算和以上定义的内积就构成一个函数空间，叫做LA2 （大L2空间）。经过一些推理以后，可以证明（约化后的）LA2空间等价于小1人2空间（这个等价是指一种完全保留线性运算和内积

5、的一一映射，我在这里就不具体讲了）。由于这个性质证起来简单，所以一般的泛函教科书都没有怎么重点提这个定理。可是对我而言，它却是最有启发性的定理之一。这个定理我认为是继笛卡尔发明了坐标系把几何和代数 联系起来以后这方面最伟大的成就，因为有了这个定理，我们就可以真正把一个函数也看作是某个空间里的一个点，而且在这个空间里也有距离：p （ f, g） = II f-g II ,有内积用来定 出基，也就是坐标系（LA2的坐标系有很多种，最出名和常用的是三角函数系），换一句话说，我们可以用几何的工具来研究一族函数的性质了。说了这么半天，恐怕很多人还不知道为什么这们学科叫做*泛函*分析。什么是函数？最狭义的

6、函数恐怕就是从实数（ RA1）到实数的映射了。现在我们把定义域扩展为所有Hilbert space上的点（经常本身就是一个函数了，象 1人2 ）,值域不变仍然为实数， 这样的映射就是所谓的泛函数简称泛函了。就像函数在实数理论里面占的地位一样，泛函在整个泛函分析里面也起到举足轻重的作用。最简单而又不太trivial的实函数大概就是线性函数了，同样的，泛函分析也从线性泛函讲起（球星是个例外，我当时被迫从非线性泛函课开始，那个飞机坐的.）实数上有多少线性函数呢？无穷多？当然是：-）,那么有多么无穷多 ？我们知道所有线性实函数都具有这种形 式：f （x） =kx , k是一个实数。而且反过来说，不同的

7、k都对应着一个不同的线性实函数。这样我们就有了一个从 RA1上所有线性实函数到RA1自身的一一对应。也就是说，这个函数空间和RA1自身等价。对于Hilbert space也有类似的结论：一个 Hilbert space的对偶空间(就是所有它的线性连续 泛函组成的空间)等价于它自身，进一步，所有的线性连续泛函I (f) : H-> R 可以表示成为内积的形式:I (f) =<f, g*> for some g* in H 。(对了在这里再重新提一下，常用的平方 可积函数空间LA2的内积是积分的形式：/f*g, f, gCLA2,所以所有的线性连续泛函就都 是带一个因子 g的积分

8、了 .) 这个Hilbert space上最根本的定理几乎把 Hilbert space和 Euclidean space (欧几里得空间)等同起来了，在那时大家都很高兴，毕竟 Euclidean space 的性质我们了解的最多，也最“好”。狄立克莱(Dirichlet)原理就是在这个背景下提出的：任何连续泛函在有界闭集上达到其极值。这个结论在Euclidean space上是以公理的形式规定下来的(参见数学分析的实数基本定理部分)，具体说来就叫做有界闭集上的连续函数必有极值，而且存在点使得这个函数达到 它。在拓扑学上等价于局部紧性的这个东东，很可惜在一般的 Hilbert space上却是

9、不成立的：闭区间0, 1上的LA2空间有一个很自然的连续泛函：I (f) =/|f (x) |dx。容易证明，它的范数II I II =sup|I (f) |/| f II =1.在这个LA2的单位闭球面(所有范数等于1的f)上存在这么一个子序列：f_n (x) =n,当x 0, 1/门人2; f_n (x) =0,当x>1/nA2。按照1人2上范数 的定义，II f_n II =/fA2 (x) dx =1 , for all n。0< I (f) =>I在这个有界闭集上的最小值w 0,而且I (f_n) =1/n - 0。但是我们看到，当f_n弱收敛到常函数零时，它已经不

10、在单位闭 球面上了(严格的证明可以在一些课本上找到)。、定义线性完备内积空间称为Hilbert space。线性(linearity ):对任意 f, g H, a, bC R, a*f+b*g 仍然C H。完备(completeness):对H上的任意柯西序列必收敛于H上的某一点。相当于闭集的定义。内积(inner product): 一个从H x H->R的双线性映射，记为 <f, g>。它满足:i) <f, f> >0, <f, f>=0 <=> f=0 ;ii) <a*f, g>=a*<f , g>=&

11、lt;f, a*g> for any a in R ;iii) <f+g , h>=<f, h>+<g , h>iv) <f, g>=<g , f> 在复内积里是复数共轲关系内积诱导的范数(norm)： II f II =A/<f, f> ,它满足范数公理:i) II f II > 0, II f II =0<=> f=0 ;ii) II a*f II =a* II f II , for any a in R ；iii) II f+g II > II f II + II g II三角不等式。范

12、数诱导的距离(distance) ： p ( f, g) = II f-g II ,它满足距离公理:i) p ( f, g) n 0, p ( f, g)=0 <=> f=0;ii) p (f, g) = p (g, f)iii) p ( f, g) + p (g, h) > P ( f, h)。一个距离空间称为是紧的，如果每一个有界序列必有收敛子列。Hilbert space上的序列f_n强收敛于g,如果II f_n-g II收敛于零;Hilbert space上的序列f_n称为是一个柯西序列，如果II f_n-f_m II收敛于零当 m, n->°

13、6;；Hilbert space上的序列f_n弱收敛于g,如果对于任何一个线性连续泛函I, |I (f_n) -I (g)畋敛于零。Hilbert space上的泛函I 称为线性，如果它满足：对任意f, gC H, a, bCR, I (a*f+b*g ) =a*I (f) +b*I (g);Hilbert space上的泛函I (f)称为有界，如果II I II有界;Hilbert space上的?函I (f)称为连续，如果对于任意柯西序列f_n, I (f_n)是R上的柯西序列。泛函I (f)的范数定义为 sup|I (f) |/| f II , for all f C Ho它的一个等价定义是sup|I (f) |,for all f C H such that II f II =1 ,也就是单位球面上的极大值。从定义立刻可以看到，|I (f) |w | I (f) | * | f II o、定理1-完备的线性赋范空间上线性泛函的有界性与连续性等价。一一可以推广到算子，并且Hilbert space是完备的线性赋范空间(Banach space)的一个特例。2、Hilbert space上线性连续泛函可以完全由内积表示，并且这种表示是一一对应的。3、Hilbert space上存在一组正