第四节可用变量代换法求解的一阶微分方程

1、第四节第四节 可用变量代换法求解的一可用变量代换法求解的一阶微分方程阶微分方程一、齐次方程一、齐次方程二、可化为齐次型的方程二、可化为齐次型的方程三、伯努利方程三、伯努利方程一、齐次方程一、齐次方程)(ddxyfxy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 令令,xuy 即即代入原方程代入原方程,得得,ddddxuxuxy ),(ddufxuxu .)(ddxuufxu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.定义定义xxuufud)(d 两边积分两边积分, , 得得 积分后再用积分后再用 代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解. .xy分离变量

2、，分离变量， ,ln)(d1xcuufu 得得,)(ucex 即即 ）（uufuu)(d)( ,代入代入将将xyu ,)(xycex 得通解得通解例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解.0dd)2(22 yxxyxy,)(22xyxyy 方程变形为方程变形为,xyu 令令,22uuuxu ,uxuy 则则代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量, ,dd2xxuuu 两边积分两边积分, ,得得 ,dd111 xxuuu即即,lnln1lncxuu ,)1(cuux 即即故原方程的通解为故原方程的通解为.)(ycxyx 说明说明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方

3、程的解也是原方程的解, 但在但在 求解过程中丢失了求解过程中丢失了. . 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxduxy ,cosxdxudu sinln |,uxc sinln |.yxcx 微分方程的解为微分方程的解为解解1 1dy1dy1如如：.=.=dxx + ydxx + y解解,uyx 令令, 1dddd xuxy则则代入原式代入原式,11dduxu 分离变量法解得分离变量法解得,)1ln(cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(cyxy 11 yecxy或或另解另解.ddyxyx 方程

4、变形为方程变形为利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2cxxyxy 伯努利伯努利(bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式 yxqyxpdxdy)()( )1 , 0( 方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.三、伯努利方程时时，当当1 , 0 时时，当当1 , 0 解法解法: : 需

5、经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 yz令令，则则dxdyydxdz )1(),()(1xqyxpdxdyy ),()1()()1(xqzxpdxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得 1yz，得，得两端除以两端除以 y代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 cdxexqezydxxpdxxp .4dd2的通解的通解求方程求方程yxyxxy ,yz 令令,4dd22xzxxz ,22 cxxz解得解得.224 cxxy即即解解例例1五、小结五、小结1、齐次方程、齐次方程).(ddxyfxy 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令2、可

6、化为齐次方程的方程、可化为齐次方程的方程.,kyyhxx 令令), 1 , 0()()(ddryxqyxpxy 1yz令令3、伯努利方程、伯努利方程伯努利方程的解法伯努利方程的解法六、几点说明六、几点说明:1、一阶微分方程的类型较多、一阶微分方程的类型较多 , 不同类型有不同不同类型有不同的解法的解法 , 因此首先要识别方程的类型因此首先要识别方程的类型 , 然后应用然后应用相应的解法相应的解法 . 2、有时所给的方程并非标准型、有时所给的方程并非标准型 , 应把方程转化应把方程转化为标准形式再求解为标准形式再求解 .思考题思考题方程方程)(d )()(2022xxyttyttyx 是否为齐次

7、方程是否为齐次方程?解解 方程两边同时对方程两边同时对 x 求导求导:,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.)ln(dd2的通解的通解求方程求方程yxaxyxy 解解例1.令令,1 yz则方程变形为则方程变形为,lnddxaxzxz 其通解为其通解为 cxexaezxxxx d)ln(dd11将将1 yz . 1)ln(22 xacxy ,)ln(22xacx 代入代入, , 得原方程通解得原方程通解: : .0d)(d)(的通解的通解求微分方程求微分方程例例 yxxygxyxyf,xyu 令令,dddxyyxu 则则, 0dd)(d)(

8、xxyuxugxyuf, 0d)(d)()( uugxxuuguf, 0d)()()(d uugufuugxx.d)()()(|lncuugufuugx 通解为通解为解解一一、 求求下下列列齐齐次次方方程程的的通通解解: : 1 1、0dd)(22 yxyxyx； 2 2、0d)1(2d)21( yyxexeyxyx. . 二二、 求求下下列列齐齐次次方方程程满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解: : 1 1、1, 0d2d)3(022 xyxxyyxy； 2 2、,0d)2(d)2(2222 yxxyyxyxyx 11 xy . . 三三、化化下下列列方方程程为为齐齐次次方方程程, ,并并求求出出通通解解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0d)642(d)352( yyxxyx. . 练练 习习 题题练习题答案练习题