数字图像处理第9章-数学形态学原理(1)

1、数字图像处理学数字图像处理学第第9 9章章 数学形态学原理数学形态学原理（第一讲）第一讲）9.1 数学形态学的发展数学形态学的发展 “数学形态学（数学形态学（Mathematical MorphologyMathematical Morphology）是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。形态学是生物学的一个分支法。形态学是生物学的一个分支, ,常用它来处理动常用它来处理动物和植物的形状和结构。物和植物的形状和结构。 “数学形态学数学形态学”的历史可追溯到十九世纪的的历史可追溯到十九世纪的Eular.steiner.CroftonEular.s

2、teiner.Crofton和本世纪的和本世纪的 MinkowskMinkowski i。 1964 1964年，法国学者年，法国学者J.SerraJ.Serra对铁矿石的岩对铁矿石的岩相进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。几相进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。几乎在同时，乎在同时，G.MatheronG.Matheron研究了多孔介质的几何结研究了多孔介质的几何结构、渗透性及两者的关系，他们的研究成果直接构、渗透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致导致“数学形态学数学形态学”雏形的形成。雏形的形成。 随后，随后，J.SerraJ.Serra和和 G.MatheronG.Mathero

3、n在法国共同建立了在法国共同建立了枫枫丹白露丹白露（FontainebleauFontainebleau）数学形态学研究中心。在）数学形态学研究中心。在以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善了了“数学形态学数学形态学”的理论体系，此后，又研究了基的理论体系，此后，又研究了基于数学形态学的图像处理系统。于数学形态学的图像处理系统。 “数学形态学数学形态学”是一门是一门建立在严格的数学理论建立在严格的数学理论基础上的科学基础上的科学。G.Matheron G.Matheron 于于19731973年出版的年出版的EnEnsembles aleato

4、ireset geometrie integratesembles aleatoireset geometrie integrate一书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为一书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为数学形态学奠定了理论基础。数学形态学奠定了理论基础。19821982年，年，J.SerraJ.Serra出出版的专著版的专著Image Analysis and Mathematical MImage Analysis and Mathematical Morphologyorphology是数学形态学发展的里程碑，它表明是数学形态学发展的里程碑，它表明数学形态学在理论上已趋于

5、完备，在实际应用中不数学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断深入。断深入。 此后，经过科学工作者的不断努力，此后，经过科学工作者的不断努力，J.SerraJ.Serra主编的主编的Image Analysis and Mathematical MorImage Analysis and Mathematical MorphologyphologyVolume2Volume2、 Volume3Volume3相继出版，相继出版，19861986年，年，CVGIPCVGIP（Computer Vision Graphics and Image PComputer Vision Graphics

6、 and Image Processingrocessing）发表了数学形态学专辑，从而使得数）发表了数学形态学专辑，从而使得数学形态学的研究呈现了新的景象。同时，枫丹白学形态学的研究呈现了新的景象。同时，枫丹白露研究中心的学者们又相继提出了基于数学形态露研究中心的学者们又相继提出了基于数学形态学方法的纹理分析模型系列，从而使数学形态学学方法的纹理分析模型系列，从而使数学形态学的研究前景更加光明。的研究前景更加光明。 随着数学形态学逻辑基础的发展，其应用开始随着数学形态学逻辑基础的发展，其应用开始向边缘学科和工业技术方面发展。数学形态学的向边缘学科和工业技术方面发展。数学形态学的应用领域已不限

7、于传统的微生物学和材料学领域，应用领域已不限于传统的微生物学和材料学领域，8080年代初又出现了几种新的应用领域，年代初又出现了几种新的应用领域， 如：工业控制、放射医学、运动场景分析等。数学如：工业控制、放射医学、运动场景分析等。数学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出一些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，如：一些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，如：中国科学院生物物理研究所和计算机技术研究所负中国科学院生物物理研究所和计算机技术研究所负责，由软件研究所、电子研究所和自动化所参加研责，由软件研究所、电子研究所和自动化所参加研究的癌细

8、胞自动识别系统等。究的癌细胞自动识别系统等。 数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论是其赖以生存的基石。总之，数学形态

9、学是建立在是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立在严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。 用于描述数学形态学的语言是用于描述数学形态学的语言是集合论集合论, ,因此因此, ,它它可以提供一个统一而强大的工具来处理图像处理可以提供一个统一而强大的工具来处理图像处理中所遇到的问题。利用数学形态学对物体几何结中所遇到的问题。利用数学形态学对物体几何结构的分析过程就是主客体相互逼近的过程。利用构的分析过程就是主客体相互逼近的过程。利用数学形态学的几个基本概念和运算，将结构元灵数学形态学的几个基本概念和运算，将结构元灵活地组合、分解，应用形态变换序列

10、达到分析的活地组合、分解，应用形态变换序列达到分析的目的。目的。 利用数学形态学进行图像分析的基本步骤利用数学形态学进行图像分析的基本步骤有如下几步：有如下几步： 1 1）提出所要描述的物体几何结构模式，即）提出所要描述的物体几何结构模式，即提取物体的几何结构特征；提取物体的几何结构特征； 2 2）根据该模式选择相应的结构元素，结构）根据该模式选择相应的结构元素，结构元素应该简单而对模式具有最强的表现力；元素应该简单而对模式具有最强的表现力； 3 3）用选定的结构元对图像进行击中与否（）用选定的结构元对图像进行击中与否（HMTHMT）变换，）变换，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。

11、便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的定量如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的定量描述；描述；4 4）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息，）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息，此时，就可以方便地提取信息；此时，就可以方便地提取信息； 数学形态学方法比其他空域或频域图像处理数学形态学方法比其他空域或频域图像处理和分析方法具有一些明显的优势。如：在图像和分析方法具有一些明显的优势。如：在图像恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可借助于先验的几何特征信息利用形态学算子有借助于先验的几何特征信息利

12、用形态学算子有效地滤除噪声，又可以保留图像中的原有信息；效地滤除噪声，又可以保留图像中的原有信息； 另外，数学形态学算法易于用并行处理方法有效的另外，数学形态学算法易于用并行处理方法有效的实现，而且硬件实现容易；基于数学形态学的边缘实现，而且硬件实现容易；基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，提取的边它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，提取的边缘也比较光滑；利用数学形态学方法提取的图像骨缘也比较光滑；利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。架也比较连续，断点少。 数学形态学的核

13、心运算是击中与否变换（数学形态学的核心运算是击中与否变换（HMHMT T），在定义了），在定义了HMTHMT及其基本运算膨胀（及其基本运算膨胀（DilationDilation）和腐蚀和腐蚀(Erosion)(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植后，再从积分几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分形态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息重要，其形

14、状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的关键。的关键。 一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进行：行： 1 1）结构元必须在几何上比原图像简单，且有）结构元必须在几何上比原图像简单，且有界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极限情况为益；限情况为益； 2 2）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用非凸子集作为结构元将得不到什么信息。非凸子集作为结构元将得不到什么信息。 总之，数学形态学的

15、基本思想和基本研究方总之，数学形态学的基本思想和基本研究方法具有一些特殊性，掌握和运用好这些特性法具有一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得良好结果的关键。是取得良好结果的关键。 9.29.2 数学形态学的基本概念和运算数学形态学的基本概念和运算 在数学意义上，我们用形态学来处理一些图像在数学意义上，我们用形态学来处理一些图像, ,用以描述某些区域的形状如用以描述某些区域的形状如边界曲线、骨架结构和边界曲线、骨架结构和凸形外壳凸形外壳等。另外等。另外, ,我们也用形态学技术来进行预我们也用形态学技术来进行预测和快速处理如测和快速处理如形态过滤，形态细化，形态修饰形态过滤，形态细化，形态修饰等。

16、等。而这些处理都是基于一些基本运算实现的。而这些处理都是基于一些基本运算实现的。 用于描述数学形态学的语言是集合论。数用于描述数学形态学的语言是集合论。数学形态学最初是建立在集合论基础上的代数系学形态学最初是建立在集合论基础上的代数系统。它提出了一套独特的变换和概念用于描述统。它提出了一套独特的变换和概念用于描述图像的基本特征。这些数学工具是建立在积分图像的基本特征。这些数学工具是建立在积分几何和随机集论的基础之上。这决定了它可以几何和随机集论的基础之上。这决定了它可以得到几何常数的测量和反映图像的体视性质。得到几何常数的测量和反映图像的体视性质。 集合代表图像中物体的形状，例如：在二进集合代

17、表图像中物体的形状，例如：在二进制图像中所有黑色像素点的集合就是对这幅图像制图像中所有黑色像素点的集合就是对这幅图像的完整描述。在二进制图像中，当前集合指二维的完整描述。在二进制图像中，当前集合指二维整形空间的成员，集合中的每个元素都是一个二整形空间的成员，集合中的每个元素都是一个二维变量，用维变量，用( (x，y) )表示。表示。 按规则代表图像中的一个黑色像素点。灰度数字图按规则代表图像中的一个黑色像素点。灰度数字图像可以用三维集合来表示。在这种情况下，集合中像可以用三维集合来表示。在这种情况下，集合中每个元素的前两个变量用来表示像素点的坐标，第每个元素的前两个变量用来表示像素点的坐标，第

18、三个变量代表离散的灰度值。在更高维数的空间集三个变量代表离散的灰度值。在更高维数的空间集合中可以包括其它的图像属性，如颜色和时间。合中可以包括其它的图像属性，如颜色和时间。 形态运算的质量取决于所选取的形态运算的质量取决于所选取的结构元和形结构元和形态变换态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定，。结构元的选择要根据具体情况来确定，而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。这些约束条件称为这些约束条件称为图像定量分析的原则图像定量分析的原则。 9.2.1 9.2.1 数学形态学定量分析原则数学形态学定量分析原则 9.2.2 9.2.2 数学形态学的基本

19、定义及数学形态学的基本定义及基本算法基本算法 平移兼容性：平移兼容性： 设待分析图像为设待分析图像为 X，表示某种图像变换或运算，表示某种图像变换或运算，(X) 表示表示 X 经变换或运算后的新图像。设经变换或运算后的新图像。设 Xh 为一矢量，表示将图像为一矢量，表示将图像X 平移一个位移矢量平移一个位移矢量 h 后后的结果，那末，平移兼容性原则可表示为：的结果，那末，平移兼容性原则可表示为： hhX)()(91)(91) 此式说明此式说明图像图像 X 先平移然后变换的结果与图先平移然后变换的结果与图像先变换后平移的结果是一样的像先变换后平移的结果是一样的。 尺度变换兼容性：尺度变换兼容性：

20、 设缩放因子设缩放因子 是一个正的实常数，是一个正的实常数， X 表示对图像表示对图像 X 所做的相似变换，则尺度变换所做的相似变换，则尺度变换兼容性原则可表示如下：兼容性原则可表示如下： )()1(92) (92) 如果设图像运算如果设图像运算 为结构元为结构元 B 对对X 的腐蚀的腐蚀 ，则则 为结构元为结构元 B 对对X 的腐蚀，则上式可具体化为：的腐蚀，则上式可具体化为： )(BXBXBX )1(93)(93) 局部知识原理：局部知识原理： 如果如果 Z 是一个图形（是一个图形（“闭集闭集”），则相对于），则相对于 Z 存在另一个闭集存在另一个闭集 Z ，使得对于图形，使得对于图形 X

21、 有下式成有下式成立：立： ZXZZX)()(94) (94) 在物理上，可以将在物理上，可以将 Z 理解为一个理解为一个“掩模掩模”。在实际中，观察某一个对象时，每次只能观察在实际中，观察某一个对象时，每次只能观察一个局部，即某一掩模覆盖的部分一个局部，即某一掩模覆盖的部分 XZ 。 该原则要求对每种确定的变换或运算该原则要求对每种确定的变换或运算 ，当掩模，当掩模 Z 选定以后，都能找到一个相应的模板选定以后，都能找到一个相应的模板Z ，使得，使得通过通过 Z 所观察到的局部性质，即所观察到的局部性质，即 与整体性质与整体性质 相一致。相一致。 ZZX)(ZX)( 半连续原理：半连续原理：

22、 在研究一幅图像时，常采用逐步逼近的方法，在研究一幅图像时，常采用逐步逼近的方法，即对图像即对图像 X 的研究往往需的研究往往需 要要 通通 过过 一一 系系 列列 图图 像像 的研究实现，其中诸个的研究实现，其中诸个Xn 逐步逼近逐步逼近 X 。半连续原理要求各种图像变换后应。半连续原理要求各种图像变换后应满足这样的性质：对真实图像满足这样的性质：对真实图像 X 的处理结果应包的处理结果应包含在对一系列图像含在对一系列图像 Xn 的处理结果内。的处理结果内。 ,21nXXX 形态运算的基本性质：形态运算的基本性质： 除了一些特殊情况外，除了一些特殊情况外，数学形态学处理一般都数学形态学处理一

23、般都是不可逆的。是不可逆的。实际上，对图像进行重构的思想在该实际上，对图像进行重构的思想在该情况下是不恰当的。任何形态处理的目的都是通过情况下是不恰当的。任何形态处理的目的都是通过变换去除不感兴趣的信息，保留感兴趣的信息。在变换去除不感兴趣的信息，保留感兴趣的信息。在形态运算中的几个关键性质如下：形态运算中的几个关键性质如下： 递增性：递增性： 反扩展性：反扩展性： 幂等性：幂等性： )(,),()(EYXYXYX)(,)(EXXX)(),()(EXXX(95)(95) (96)(96) (97)(97) )(EE其中其中： 表示形态变换，表示形态变换， 表示表示EuclideanEuclid

24、ean空空间间 的幂集。的幂集。 9.2.1 9.2.1 数学形态学定量分析原则数学形态学定量分析原则 9.2.2 9.2.2 数学形态学的基本定义及数学形态学的基本定义及基本算法基本算法 集合论是数学形态学的基础，在这里我们首集合论是数学形态学的基础，在这里我们首先对集合论的一些基本概念作一总结性的概括介先对集合论的一些基本概念作一总结性的概括介绍。对于形态处理的讨论绍。对于形态处理的讨论, ,我们将从两个最基本我们将从两个最基本的的模加处理和模减处理模加处理和模减处理开始。它们是以后大多数开始。它们是以后大多数形态处理的基础。形态处理的基础。 一些基本的定义一些基本的定义 （1 1）集合：

25、具有某种性质的确定的有区别）集合：具有某种性质的确定的有区别的事物的全体。如果某种事物不存在，称为的事物的全体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常用大写字母空集。集合常用大写字母 A,B,C, 表示，空集用表示，空集用 表示。表示。 设设 为一自由空间，为一自由空间， 是由集合是由集合空间空间 所构成的幂集，集合所构成的幂集，集合 ，则集合则集合 和和 之间的关系只能有以下三种之间的关系只能有以下三种形式：形式： E)(EE)(,EBXXB、集合、集合B包含于包含于X（表示为（表示为 ）、集合、集合B击中击中X（表示为（表示为 ），即：），即：、集合、集合B相离于相离于X（表示为（表示为 ）

26、，即：），即： XB XB XB XB 图图 91 91 击中击中X X， 相离于相离于X X， 包含于包含于X X 1B2B3BcBX （2 2）元素：构成集合的每一个事物称之为元）元素：构成集合的每一个事物称之为元素，元素常用小写字母素，元素常用小写字母 表示，应注意的表示，应注意的是任何事物都不是空集的元素。是任何事物都不是空集的元素。 ,cba （3 3）平移转换：）平移转换： 设设A A和和B B是两个二维集合，是两个二维集合，A A和和B B中的元素分别是中的元素分别是 ),(),(2121bbbaaa定义定义 ，对集合的平移转换为，对集合的平移转换为: : ),(21xxx ,A

27、aforxaccAx(98) (98) （4 4）子集：当且仅当）子集：当且仅当A A集合的所有元素都属于集合的所有元素都属于B B时，称时，称A A为为B B的子集。的子集。 （5 5）补集：定义集合）补集：定义集合A A的补集为的补集为: : AxxAc(99)(99) （6 6）差集：定义集合）差集：定义集合A A和和B B的差集为的差集为 BAcBABxAxxBA,(910)(910) (911)(911) （8 8）并集：由）并集：由A A和和B B的所有元素组成的集合称为的所有元素组成的集合称为A A和和B B的的并集。并集。 （9 9）交集：由）交集：由A A和和B B的公共元素

28、组成的集合称为的公共元素组成的集合称为A A和和B B的的交集。交集。 （7 7）映像：定义集合）映像：定义集合B B的映像为的映像为 B,BbbxxB(912)(912) 图图9292解释了刚才几个定义，图中的黑点为集解释了刚才几个定义，图中的黑点为集合的原点。图合的原点。图92(a)92(a)显示集合显示集合A A；图；图92(b)92(b)表示表示A A被被 平移，注意平移是在平移，注意平移是在A A的每个元素上加的每个元素上加上上 。图。图92(c)92(c)表示集合表示集合B B；图；图92(d)92(d)显显示了示了B B关于原点的反转。最后，图关于原点的反转。最后，图92(e)9

29、2(e)显示了集显示了集合合A A及其补，图及其补，图92(f)92(f)显示了图显示了图92(e)92(e)的集合的集合A A与与图图92(f)92(f)中的集合中的集合B B的差。的差。 ),(21xxx ),(21xxx 图图92 92 (a)(a)集合集合A A；(b)(b)用用x x平移集合平移集合A A后的结后的结果；果；(c)(c)集合集合B B；(d)(d)B B的反转；的反转；(e)(e)集合集合A A和它的补集；和它的补集；(f)(f)两个集合的差集两个集合的差集( (如阴如阴影所示影所示) )。 前四幅图的黑点表示前四幅图的黑点表示了每个集合的起点。了每个集合的起点。 膨

30、胀膨胀 为为 中的集合，中的集合， 为空集，为空集， 被被 的的膨胀，记为膨胀，记为 ， 为膨胀算子，膨胀的定义为：为膨胀算子，膨胀的定义为： BA,2ZABBA= |( ) = |( ) BAxBxA(912) (912) 该式表明的该式表明的膨胀过程是膨胀过程是B首先做关于原点的映射，然后首先做关于原点的映射，然后平移平移x。A被被B的膨胀是的膨胀是 被所有被所有x平移后与平移后与A至少有一至少有一个非零公共元素。个非零公共元素。B根据这个解释，公式根据这个解释，公式(912)(912)可以重写如下：可以重写如下： 同在其他的形态处理中一样，集合同在其他的形态处理中一样，集合B在膨胀操作中

31、通常在膨胀操作中通常被称为结构元素。被称为结构元素。 = |( ) = |( ) BABA(913)(913) xxA 公式公式(912)(912)不是现在形态学文献中膨胀的唯不是现在形态学文献中膨胀的唯一定义。然而，前面这个定义有一个明显的优势，一定义。然而，前面这个定义有一个明显的优势，因为当结构元素因为当结构元素B 被看为卷积模板时有更加直观的被看为卷积模板时有更加直观的概念。尽管膨胀是基于集合的运算，而卷积是基于概念。尽管膨胀是基于集合的运算，而卷积是基于算术运算，但是算术运算，但是B B关于原点的关于原点的“映射映射”及而后连续及而后连续的平移使它可以滑过集合的平移使它可以滑过集合(

32、 (图像图像) )A A 的基本过程类似的基本过程类似于卷积过程。于卷积过程。 图图93(a)93(a)表示一个简单的集合，图表示一个简单的集合，图93(b)93(b)表表示一个结构元素及其示一个结构元素及其“映射映射”。在此图情况下，因。在此图情况下，因为结构元素为结构元素B关于原点对称，所以，结构元素关于原点对称，所以，结构元素B及其及其映射映射 相同。图相同。图93(c)93(c)中的虚线表示作为参考的中的虚线表示作为参考的原始集合，原始集合，实线示出若实线示出若 的原点平移至的原点平移至x点超过此点超过此界限，则界限，则 与与A A的交集为空。的交集为空。BBB 这样实线内的所有点构成

33、了这样实线内的所有点构成了A A被被B B的膨胀。图的膨胀。图93(d)93(d)表示预先设计的一个结构元素，其表示预先设计的一个结构元素，其目的是为了得到一个垂直膨胀比水平膨胀大目的是为了得到一个垂直膨胀比水平膨胀大的结果。图的结果。图93(e)93(e)显示为用此构成元素膨显示为用此构成元素膨胀后得到的结果。胀后得到的结果。 图图 93 93 膨胀操作的例子膨胀操作的例子 腐蚀腐蚀 为为 中的集合，中的集合， 被被 腐蚀，记腐蚀，记为为 ，其定义为：，其定义为： BA,2ZABBA)(ABxBAx(914)(914) 也就是说也就是说 被被 的腐蚀的结果为所有使的腐蚀的结果为所有使 被被x

34、平平移后包含于移后包含于 的点的点x的集合。与膨胀一样，公式的集合。与膨胀一样，公式(914)(914)也可以用相关的概念加以理解。也可以用相关的概念加以理解。 ABBA 图图9494表示了类似于图表示了类似于图9393的一个过程。集合的一个过程。集合A在图在图94(c)94(c)用虚线表示作为参考。用虚线表示作为参考。实线表示若实线表示若B的原点平移至的原点平移至x点超过此界限，则点超过此界限，则A不能完全包含不能完全包含B。这样，在这个实线边界内的点构成了这样，在这个实线边界内的点构成了A被被B的腐蚀。的腐蚀。 图图94(d)94(d)画出了伸长的结构元素，图画出了伸长的结构元素，图94(

35、e)94(e)显示了显示了A A被此元素腐蚀的结果。注意原来的集被此元素腐蚀的结果。注意原来的集合被腐蚀成一条线了。合被腐蚀成一条线了。 图图 94 94 腐蚀操作的例子腐蚀操作的例子 膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶。也就是。也就是, ,BABAcc)(915) (915) 关于上式的正确性可证明于下：关于上式的正确性可证明于下： 从腐蚀的定义可知：从腐蚀的定义可知： cxcABxBA)()(如果集合如果集合( ) ( ) 包含于集合包含于集合 ，那么，那么( )( ) = = ，在这种情况下，上式变为在这种情况下，上式变为 BxABxAcc( ) = |

36、( ) = ( ) = |( ) = BAcxBxAcc但是满足但是满足( ) = ( ) = 的集合的集合 的补集是使的补集是使( )( ) 的的 集合。这样集合。这样 BxAcxBxAcx ( ) = |( ) ( ) = |( ) = = BAcxBxAccAB命题得证。命题得证。 膨胀和腐蚀运算的一些性质对设计形态学算法进膨胀和腐蚀运算的一些性质对设计形态学算法进行图像处理和分析是非常有用的，下面列出几个较重行图像处理和分析是非常有用的，下面列出几个较重要的性质：要的性质： 、交换性：、交换性： (916)(916)、结合性：、结合性： (917)(917)、递增性：、递增性： (91

37、8)(918)ABBACBACBA)()(CBCABACBCABA、分配性：、分配性： (919)(919) (920) (920) (921) (921) (922) (922)()()(CBCACBA)()()(CABACBA)()()(CABACBA)()()(ACABACB 这些性质的重要性是显而易见的。如分配性，这些性质的重要性是显而易见的。如分配性，如果用一个复杂的结构元素对图像作膨胀运算，则如果用一个复杂的结构元素对图像作膨胀运算，则可以把这个复杂结构元分解为几个简单的结构元素可以把这个复杂结构元分解为几个简单的结构元素的并集，然后，用几个简单的结构元素对图像分别的并集，然后，用

38、几个简单的结构元素对图像分别进行膨胀运算，最后将结果再作并集运算，这样一进行膨胀运算，最后将结果再作并集运算，这样一来就可以大大简化运算的复杂性。来就可以大大简化运算的复杂性。 开运算（开运算（OpeningOpening）和闭运算）和闭运算(Closing)(Closing) 如前边所见，如前边所见，膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。开开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，去掉细的突出。去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与闭运算也是平滑图

39、像的轮廓，与开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。 设设 A 是原始图像，是原始图像，B 是结构元素图像，则集是结构元素图像，则集合合A 被结构元素被结构元素 B 作开运算，记为作开运算，记为 AB ，其定义为：其定义为： BBAB)(A(923) (923) A 被被 B 开运算就是开运算就是A 被被 B 腐蚀后的结果再被腐蚀后的结果再被B 膨胀。膨胀。 设设 A是原始图像，是原始图像，B 是结构元素图像，则集是结构元素图像，则集合合 A 被结构元素被结构元素 B 作闭运算，记为作闭运算

40、，记为 ，其，其定义为：定义为： ABBBAB)(AA 被被 B 开运算就是开运算就是 A 被被 B 膨胀后的结膨胀后的结果再被果再被 B 腐蚀。腐蚀。 (924) (924) 图图9595图释了集合图释了集合A 被一个圆盘形结构元素作被一个圆盘形结构元素作开运算和闭运算的情况。图开运算和闭运算的情况。图95(a)95(a)是集合是集合 A ， 95(b)95(b)示出了在腐蚀过程中圆盘结构元素的各个示出了在腐蚀过程中圆盘结构元素的各个位置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示位置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示于图于图95(c)95(c)。 注意，注意，A A 的两个主要部分之间的

41、桥梁被去掉的两个主要部分之间的桥梁被去掉了。了。“桥桥”的宽度小于结构元素的直径；也的宽度小于结构元素的直径；也就是结构元素不能完全包含于集合就是结构元素不能完全包含于集合 A A 的这一的这一部分，这样就违反了公式部分，这样就违反了公式(914)(914)的条件。的条件。由于同样的原因由于同样的原因 A A 的最右边的部分也被切的最右边的部分也被切除掉了。除掉了。 图图95(d)95(d)画出了对腐蚀的结果进行膨胀的画出了对腐蚀的结果进行膨胀的过程，而图过程，而图95(e)95(e)示出了开运算的最后结果。示出了开运算的最后结果。同样地，图同样地，图95(f)-95(i)95(f)-95(i

42、)示出了用同样的结示出了用同样的结构元素对构元素对 A 作闭运算的结果。结果是去掉了作闭运算的结果。结果是去掉了A 的左边对于的左边对于 B 来说较小的弯。注意，用一个圆来说较小的弯。注意，用一个圆形的结构元素对集合形的结构元素对集合 A 作开运算和闭运算均使作开运算和闭运算均使A 的一些部分平滑了。的一些部分平滑了。 图图 95 95 开运算和闭运算的图示开运算和闭运算的图示 开运算和闭运算有一个简单的几何解释。假设开运算和闭运算有一个简单的几何解释。假设我们把圆盘形结构元素我们把圆盘形结构元素 看作一个（平面的）看作一个（平面的）“滚动球滚动球”。 的边界为的边界为 在在 内滚动所能内滚动

43、所能达到的最远处的达到的最远处的 的边界所构成。的边界所构成。这个解释能这个解释能从图从图95(a)95(a)得到图得到图95(e)95(e)。BBABAB 注意所有的朝外的突出角均被圆滑了，而朝注意所有的朝外的突出角均被圆滑了，而朝内的则没有影响。突出的不能容下这球的部内的则没有影响。突出的不能容下这球的部分被去掉。这种开运算的几何拟合性得出了分被去掉。这种开运算的几何拟合性得出了集合论的一个定理：集合论的一个定理： 被被 的开运算就是的开运算就是 在在 内内 的的 平平 移移 ( ( 保保 证证( ) )( ) )所得到的集合的并集。所得到的集合的并集。这样这样开运算可以被描述为拟合过程，

44、即：开运算可以被描述为拟合过程，即： ABBABxA)()(ABBBAxx(925)(925) 图图9696图释了这个概念，为了多样性这里我图释了这个概念，为了多样性这里我们用了一个非圆形的结构元素。们用了一个非圆形的结构元素。 图图 96 96 开运算的拟合特性开运算的拟合特性 闭运算也有类似的几何解释。再次用滚动球的闭运算也有类似的几何解释。再次用滚动球的例子，只不过我们在边界外边滚动该球（开运算和例子，只不过我们在边界外边滚动该球（开运算和闭运算是对偶的，所以让小球在外面滚动是合理闭运算是对偶的，所以让小球在外面滚动是合理的）。有了这种解释，图的）。有了这种解释，图9 95(5(i)i)

45、就很容易从图就很容易从图995(5(a)a)得到。得到。 注意所有的朝内的突出角均被圆滑了，而朝外的则注意所有的朝内的突出角均被圆滑了，而朝外的则保持不变。集合保持不变。集合 的最左边的凹入被大幅度减弱的最左边的凹入被大幅度减弱了。几何上，点了。几何上，点 为为 的一个元素的一个元素 ，当当 且且 仅仅 当当 包包 含含 的的 与与 的交集非的交集非空，即空，即 。图。图9797解释了这一性质。解释了这一性质。 AZBAZxB)(A ABx)(图图 9 97 7 闭运算的几何解释闭运算的几何解释 像膨胀和腐蚀一样，开运算和闭运算是关像膨胀和腐蚀一样，开运算和闭运算是关于集合补和反转的对偶。也就

46、是于集合补和反转的对偶。也就是 )()(BABAcc(926) 开运算有下列性质开运算有下列性质 、 是集合是集合 的子集的子集( (子图子图) )；、如果、如果 C 是是 D 的子集，则的子集，则 是是 的子集；的子集；、 BAABC BD BABBA)( 同样，闭运算有下列性质同样，闭运算有下列性质: : 、 是集合是集合 的子集的子集( (子图子图) )；、如果、如果 C C 是是 D D 的子集，则的子集，则 是是 的的子集；子集；、 ABABC BDBABBA)( 这些性质有助于对用开运算和闭运算构成的形这些性质有助于对用开运算和闭运算构成的形态滤波器时所得到的结果的理解。例如，用开

47、运算态滤波器时所得到的结果的理解。例如，用开运算构造一个滤波器。我们参考上面的性质：构造一个滤波器。我们参考上面的性质： （i i）结果是输入的子集；结果是输入的子集；( (ii)ii)单调性会被保持；单调性会被保持；( (iii)iii)多次同样的开运算对结果没有影响。最后一条多次同样的开运算对结果没有影响。最后一条性质有时称为幂等性。同样的解释适合于闭运算。性质有时称为幂等性。同样的解释适合于闭运算。 图图 98 形态学滤波形态学滤波 考虑图考虑图9 98(8(a)a)的简单的二值图像，它包含一个的简单的二值图像，它包含一个被噪声影响的矩形目标。这里噪声用暗元素被噪声影响的矩形目标。这里噪

48、声用暗元素( (阴影阴影) )在亮的背景表示，而光使暗目标为空的。注意集合在亮的背景表示，而光使暗目标为空的。注意集合 包含目标和背景噪声，而目标中的噪声构成了背景包含目标和背景噪声，而目标中的噪声构成了背景显示的内部边界。目的是去除噪声及其对目标的影显示的内部边界。目的是去除噪声及其对目标的影响，并对目标的响，并对目标的 影影 响响 越越 小小 越越 好好 。A 形形 态态“ 滤滤 波波 器器 ” 可以可以用来达到此目的。图用来达到此目的。图98(98(c)c)显示了用一个比所有显示了用一个比所有噪声成分都大的圆盘形结构元素对噪声成分都大的圆盘形结构元素对 进行开放进行开放运算的结果。注意这

49、步运算考虑了背景噪声但对运算的结果。注意这步运算考虑了背景噪声但对内部边界没有影响。内部边界没有影响。 BBA)(A 因为在这个理想的例子中，所有的背景噪声因为在这个理想的例子中，所有的背景噪声成分的物理大小均小于结构元素，背景噪声在开成分的物理大小均小于结构元素，背景噪声在开运算的腐蚀过程中被消除。（腐蚀要求结构元素运算的腐蚀过程中被消除。（腐蚀要求结构元素完全包含于被腐蚀的集合内。）而目标内的噪声完全包含于被腐蚀的集合内。）而目标内的噪声成分的大小却变大了成分的大小却变大了( (图图98(98(b)b)， 这在意料之中，原因是目标中的空白事实上这在意料之中，原因是目标中的空白事实上是内部边

50、界，在腐蚀中会变大。最后，图是内部边界，在腐蚀中会变大。最后，图998(8(e)e)图图98(98(c)c)示出了形态闭运算的结果。示出了形态闭运算的结果。内部的边界在闭运算后的膨胀运算中被消除内部的边界在闭运算后的膨胀运算中被消除了，如图了，如图98(98(d)d)所示。所示。 击中（击中（Hit）击不中击不中(Miss)变换（变换（HMT） 形态学中击中（形态学中击中（HitHit）击不中击不中( (Miss)Miss)变换是形状变换是形状检测的基本工具。检测的基本工具。我们通过图我们通过图9999引入这个概念。引入这个概念。图中集合图中集合A A包含三个部分（子集），记为包含三个部分（子

51、集），记为 。图图99(99(a)-(c)a)-(c)中的图形为原始集合，而图中的图形为原始集合，而图99(99(d)d)和和( (e)e)中的阴影为形态运算的结果。目标是找到一个中的阴影为形态运算的结果。目标是找到一个图形图形X X的位置。的位置。 ZYX,图图 99 击中（击中（Hit）击不中击不中(Miss)变换图例变换图例 让每个图形的原点位于它的重心。如果用一个让每个图形的原点位于它的重心。如果用一个小窗口小窗口W包含包含X，X关于关于W的本地背景是图的本地背景是图99(b)中中的集合差的集合差(W-X)。图图99(c)为集合为集合A的补。图的补。图99(d)示出示出A被被X腐蚀的结

52、果。腐蚀的结果。A被被X的腐蚀在的腐蚀在X中只有中只有X的的原点，这样原点，这样X才能完全包含于才能完全包含于A。图图99(e)表示集合表示集合A的补被本地背景集合的补被本地背景集合(W-X)的腐蚀；外围阴影区域的腐蚀；外围阴影区域也是腐蚀结果的一部分。也是腐蚀结果的一部分。 从图从图99(99(d)d)和和( (e),e),可以看出集合可以看出集合X X在集合在集合A A中的位置中的位置是是A A被被X X的腐蚀和的腐蚀和 被被( (W-X) )的腐蚀的交集，如的腐蚀的交集，如图图99(99(f)f)所示。这个交集正是我们所要找的。换句所示。这个交集正是我们所要找的。换句话说，话说，如果如果

53、B B记为由记为由X X和其背景构成的集合，和其背景构成的集合，B B在在A A中中的匹配，记为的匹配，记为 ，则，则 cABA)()(XWAXABAc(9-27)(9-27) 可以这样来概括这种表示法可以这样来概括这种表示法, ,让让 , , 其中其中 是由和是由和目标相关目标相关的的 B B 的元素形成的集合，的元素形成的集合，而而 是由和是由和相应的背景相关相应的背景相关的的 B B 的元的元 素素 集集 合。合。根根 据据 前前 面面 的的 讨讨 论论 ， 。用。用这种表示法，公式这种表示法，公式(9(927)27)变为变为 ),(21BBB 1B2B)(,21XWBXB)()(21B

54、ABABAc(928)(928) 用集合差的定义及膨胀和腐蚀的对偶关系，也可以用集合差的定义及膨胀和腐蚀的对偶关系，也可以把公式把公式(928)(928)写为写为 (929) (929) 这样集合这样集合 包括所有的点，同时，包括所有的点，同时， 在在A A中中找到了一个匹配找到了一个匹配“击中击中”， 在在 中找到了匹配中找到了匹配“击中击中”。)()(21BABABABA1B2BcA9.3 一些基本形态学算法一些基本形态学算法 在前面讨论的背景知识基础之上，我们可以探讨在前面讨论的背景知识基础之上，我们可以探讨形态学的一些实际应用。当处理二值图像时，形态形态学的一些实际应用。当处理二值图像

55、时，形态学的主要应用是提取表示和描述图像形状的有用成学的主要应用是提取表示和描述图像形状的有用成分。特别是用形态学方法提取某一区域的边界线、分。特别是用形态学方法提取某一区域的边界线、连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。 此外，区域填充、细化、加粗、裁剪等处理此外，区域填充、细化、加粗、裁剪等处理方法也经常与上述算法相结合在预处理和后方法也经常与上述算法相结合在预处理和后处理中使用。这些算法的讨论大部分采用的处理中使用。这些算法的讨论大部分采用的是二值的图像，即只有黑和白两级灰度，是二值的图像，即只有黑和白两级灰度，1 1表表示黑，示黑，0 0表示白

56、。表示白。 集合集合A A的边界记为的边界记为 ( (A)A)，可以通过下述算法可以通过下述算法提取边缘：设提取边缘：设B B是一个合适的结构元素，首先令是一个合适的结构元素，首先令A A被被B B腐蚀，然后求集合腐蚀，然后求集合A A和它的腐蚀的差。如下式和它的腐蚀的差。如下式所示：所示： (9 (930)30)9.3.19.3.1边缘提取算法边缘提取算法)()(BAAA 图图910910解释了边缘提取的过程。它表示了一个简单解释了边缘提取的过程。它表示了一个简单的二值图像，一个结构元素和用公式的二值图像，一个结构元素和用公式(930)(930)得出的得出的结果。图结果。图910(910(b

57、)b)中的结构元素是最常用的一种，中的结构元素是最常用的一种，但它决不是唯一的。如果采用一个但它决不是唯一的。如果采用一个5 55 5全全“1 1”的结的结构元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。应注构元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。应注意的是，当集合意的是，当集合B B的原点处在集合的边界时，结构元的原点处在集合的边界时，结构元素的一部分位于集合之外。这种条件下的通常的处素的一部分位于集合之外。这种条件下的通常的处理是约定集合边界外的值为理是约定集合边界外的值为0 0。 图图910 边缘提取算法示意图边缘提取算法示意图 9.3.2 区域填充算法区域填充算法 下面讨论的是一种基于下面讨论

58、的是一种基于集合膨胀，取补和集合膨胀，取补和取交的区域填充取交的区域填充的简单的算法。在图的简单的算法。在图9 91111中，中，A A表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为8 8字形的连接边界的区域。从边界内的一点字形的连接边界的区域。从边界内的一点P P开开始，目标是用始，目标是用1 1去填充整个区域。去填充整个区域。 假定所有的非边界元素均标为假定所有的非边界元素均标为0 0，我们把一个，我们把一个值值1 1赋给赋给P P开始这个过程。下述过程将把这个区域开始这个过程。下述过程将把这个区域用用1 1来填充：来填充： (9 (931)31)其中，其

59、中， ，B B为对称结构元素，如图为对称结构元素，如图9 911(11(c)c)所示。当所示。当 k 迭代到迭代到 时，算法时，算法终止。集合终止。集合 和和 A 的并集包括填充的集合和的并集包括填充的集合和边界。边界。 3 , 2 , 1)(1kABXXckkPX01kkXXkX 如果公式如果公式(9(931)31)的膨胀过程一直进行，它将的膨胀过程一直进行，它将填满整个区域。然而，每一步与填满整个区域。然而，每一步与A AC C的交把结果限制的交把结果限制在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为条件膨胀条件膨胀）。图）。图911911剩下的部分解

60、释了公式剩下的部分解释了公式(9(931)31)的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用在任何有限个这样的子集中。在任何有限个这样的子集中。 图图 911 区域填充算法区域填充算法 9.3.3 连接部分提取算法连接部分提取算法 在实际应用中，在二值图像中提取相连接部在实际应用中，在二值图像中提取相连接部分是许多自动图像分析应用所关注的问题。分是许多自动图像分析应用所关注的问题。Y Y表示表示一个包含于集合一个包含于集合A A相连接部分，假设相连接部分，假设Y Y内的一个点