第四章(机器人学动力学)概要

1、机器人动力学静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者

2、追求的目标。4. 1机器人静力学一、杆件之间的静力传递在操作机中，任取两连杆4,乙川。设在杆4+上的0+1点 作用有力矩 和力再H在杆4上作用有自重力压（过质 心G）； E和W分别为由Q到0小和G的向径。按静力学方法，把这些力、力矩简化到乙,的固联坐标系 弓一天号，可得：工石4f 1 =6m+G'M i = M ,+i + ri x Fi+i + ra x G,中 式耳=略尸2吟而i=尺+而+ *X % F：1 +添X总57_=_2g （ mi 为杆 4 求出瓦和而,在z,轴上的分二的质量）。,就得到了关节力和扭矩,它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使建作机保持静力平 衡所应提供的关节力

3、或关节力矩，记作r ,其大小为4=邛'号当忽略杆件自重时G,，上式可简记为：若以三。表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节 则有：一 一 , 一一»Ti = Tio +xG/）J=i式中rg 是自Q到杆Lj的质心Cj的向径。4-2机器人动力学概述一、研究目的:1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。二、机器人动力学研究的问题可分为两类：1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程

4、求解机器 人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知7,求，招和功 称为动力学正问题。）。2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力 （矩）（即已知夕上和含，求称为动力学逆问题）。9三、动力学研究方法:1 .拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程。代表人物R.P.Paul. JJ.Uicker.J.M.Hollerbach等。计算:经优化O（3）,递推0（"）。2 .牛顿一欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动 表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿欧拉方程 的动力学方程。代表人物Orin, Luh（陆养生）等。计算量0（）。3 .高

5、斯原理法：利用力学中的高斯最小约束原理，把机罂人动 力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫（苏）用以解决第 二类问题。计算量。（加）。4 .凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学 方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进 行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必 求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计4.3.1刚体系统拉格朗日方程应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。定义：L（%，勿）=7一。LLagrange函数；T系统动能之和；U系统势能之和。系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐 标系等）中表示，不是一定在直角坐标系

6、中。动力学方程为：八 d dL dLQ：=dt dqi dqi/ / 广义力广义速度广义坐标（力或力矩）（8或U）（。或d ）设机器人的手臂，质心在基础坐标系中的平移速度向量为为 角速度为例，则杆/的动能为：1 T 1 TT： = m：vri vri+ co； Leo： C- V tI n手臂总能量为：T=z=i杆/在基础坐标系中的速度与第/杆及其之前各杆关节速度 的关系为：，Li AJ J_ 一.，”.第J J其中，*=?1q,T,雅克比矩阵子块j£）,j华为咐二任7J划o -当杆j为转动关节时了叫 Jb-XL”：- 8t其中JPci为在基础坐标系中第，-1号坐标原点至杆i质心的向

7、量。T =母反（人尸比）丁比1+ qTj£m%） = iqTMq/，二 Iz式中,M为 x n阶惯性矩阵，为M =+，）”我）r = 110如果用表示惯性矩阵M的元素，:机器人手臂的势能为U = N DPc,广义力为江.为在基础坐标系中由坐标原点到杆f质心的向量。Q = tr +Lf其中，和F分别表示关节力向量和手端与环境的接触力向量。由于是*3 = 1,2,"）的函数，所以对时间的导数为 dyo _ S、aM?j dq_ yi OM".展一白3伏七 一士为，第二项含对动能了求对q的偏导数，所以J1 _ 丹 IJL x？1 hA * r 1 xS 弋、am软,.势

8、能对4的偏导数为重力项G =盟=E "'居T舞=上次比？动力学方程为：Fn »Z 乂方q$ + Z?人/4期十GjQ,J = 1,- 1 由=1_ 3M*1 dMjkhi* _ 一）妥 2 %解油于1一0o roo ,J1= o0J LIO-0 ,Jl=0-o 0172m虑 +，i + 初，2（"，舄 + 2，iGcz）+ h 加2（/+，|/）氏）+ 1W2（ 12 +，Jc2c2）+ 12m2%+ I?代人M= E （k+ J户YjP）中得到 I - iM-2M. 1 0Mb应用公式人=福-5-笳令i = 12 j = 1,2/= 1,2可求出A UI

9、卜112,，*222。其中:力12= 一2m 2/1/c2s2,力 121 =°，阳 22二 一 "4人，c2s2 ,力211 二叽6!冽应用G = 士:外屋昭”L2可得J 73 = 8丁（7町儿+a2兄）=叫城遥1 +帆2g（八门+，£2c12）G? 二 g1（ m Ju + lJu）=加2gQ，2由 Q=* +J%,得 Q产门，Qz = qT - Mu 0 + M2«2 +（力 112 + 九 121）% 方 十 万22 卷+ GT2 M21 9 i +* M22 6 2 + 方 2U+ G?4.4机器人的牛顿欧拉方程机器人的拉格朗日动力学模型为非线

10、性二阶常微分方程, 利用这些方程，由已知的每一轨迹设定点的关节位置、速度 和加速度，可以计算各关节的标称力矩，但拉格朗日方程利 用4X4齐次变换矩阵，使得计算效率太低。为了实现实时控制，曾用过略去哥氏力和向心力的简化模 型，但当操作机快速运动时，哥氏力和向心力在计算关节力 矩中是相当重要的。因而这种简化只能用于机器人的低速运 动，在典型的制造业环境中，这是不合乎要求的。此外，这 种简化所引起的关节力矩误差，不能用反馈控制校正。牛顿一欧位法采用迭代形式方程，计算速度快，可用于实 时控制，因而成为一种常用的建模方法。4.4.4牛顿欧拉法基本运动方程(E =刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转

11、动。借助于 杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机 器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质 上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为：牛顿定理：欧拉方程：M = I"+*（4）（凡= ' （4八J）dt式中：m杆i质量；F,杆i上所有外力合力；N,杆i上所有外力对质心的合力矩；/ 杆i绕其质心惯性矩阵。根据力（矩）平衡原理，在质心处有:E =£-一£卬+机启(24)20瓦=瓦-L Ng + （一 G”）X（一工"1）- n-i.ci x fi-u则有- -九二"+肛月-g匕二。阕W*/ （ W x（一&#

12、163;卬）-3心 x Z-1./ -1 启一电 x （ /=o方程（24）即为牛顿欧拉法的基本方程。4.4.5递推形式的牛顿欧拉方程上面推导的牛顿欧拉法（也简称NE法）方程式含关节 联接的约束力（矩），没有显示地表示输入一输出关系，不适 合进行动力学分析和控制器设计。如果变换成由一组完备且独 立的位置变量（质心位置变量通常不是相互独立的）和输入力 来描述，这些变量都显式地出现在动力学方程中，即得到显式 的输入输出形式表示的动力学方程，称为封闭形式的动力 学方程（拉格朗日方程即是封闭的）。关节变量“是一组完备且独立的变量，关节力（矩）r是一组从约束力（矩）中分解出来的独立的输入，所以用4和汇

13、来描述方程，可以得到封闭形式的动力学方程。寻求转动坐标系和固定惯性坐标系之间必要的数学关系，再推广到运动坐标系（转动和平移）和惯性坐标系之间的美系。坐标系Oo.r（>vnz0为基础坐标系，设 坐标系Oqz的原点不既在基础坐标系中以角速度 9旋转。任意向廿S固定在坐标系。八2中,随旋转 坐标系运动。为了确定£在基础坐标系中的速度，可 考虑经微小时间间隔入动坐标系旋转的角度为 6 = 向量$从点八运动至点8,由图中的几何关系可知向量$的变化最为= AC I - AOsinp | cu Af = s j <i）由于向量都在垂直于旋转轴和向量S,所以福平行/向量积g X $ 在旋

14、转坐标系中向量S的速度为与坐标系°0工2。之0，。声区和0, + 1q3乂7当一分别为基础坐标系，固定在杆3和杆£ + 1的坐标系。由图可知在基础坐标系中对上式求导，可得0°n + JPi + 1 - Pi + Pf + 125d'p, 11匕 + 1 = Vf + , + /XR + 1，若分别用风十1和4表示，并进一步利用微分算子可得十足X"+1+25 X止%1 U。十叱 x(®, X'p?”)运动学的递推关系求角速度电»及角加速度质-1(1)当关节i +1是平移关节时.杆i +1的角速度和角加速度和前面的杆相同,

15、即9 + 1 =幼(3-45)七+】二例(346)(2)当关节i +1是旋转关节时，坐标系M 1格绕固定于杆i的动坐标系轴以角速 度和角加速度' +也旋转。在基础坐标系中，杆i + 1的角速度为叫+1二电+幻+1仇(3-47)对上式求导得在基础坐标系中杆it 1的角加速度为叫+ i = o, + Gi + i& + 8,x+i“(3-48)求平移速度七.1和平移加速度6i<1)当关节£ + 1是平移关节时，杆1在坐标原点Q.处的平移速度为匕】=,+ q,.瓦+叫x为”(3-49)式右边第2项是由于关节i +1的平移面产生的，第3项是由于关节i的角速度产生 的，其

16、中力”是由坐标系原点。至Q”的向量。而杆i + I在坐标原点。,+1处的平移加 速度可通过对式(3-41)求导得.7 =。，+ 'a + 人x >- +, + 2叫 X q-也 + 0 X(助 X/*)(3-50)(2)当关节3 + 1是旋转关节时，杆i + 1在坐标原点0,”处的平移速度为匕产匕+ %“X%.|(3-51)式右边第2项是由于关节Z + 1的角速度产生的。而杆£十1在坐标原点Q*处的平 移加速度可通过对式(3-51)求导得4，L 4 + 孙 +1 x 'P, 1 + 修 +1 x外 +1 x 如.J26求质心处的加速度1yCi =匕+肛x 3fl

17、cr = a,十 X十 x(8j x lpct)节运动变量之间的关系以及约束力与关节力矩之间的关系，消 去中间变量，可以得到封闭形式的动力学方程。但显然不如用 拉格朗日法简单，特别是当机器人自由度较多时，更是如此。因此，对于ne法，常用的不是它的封闭形式方程，而是它 的递推形式方程。方程（24）可直接写成如下递推形式：(25)九/ =%"1+加历一见京K凡Ti =X Z.1+l + %E 疗+ /向 + 囱 X（ /何）=。而关节力（矩）可写成如下形式：(26)Jf l 丁T C1 凡T, + 2。对于旋转关节|= I Cl-子i'+bm对于移动关节式中，Zt为沿关节轴线ZZ

18、的单位矢量，为关节的粘滞阻尼系数。递推形式的NE法方程与封闭形式方程比较，计算量从OU/）减少到0（）O从而大大加快了计算速度。自由度越多，递推形式的优势越明 显。对于典型n=6的情形，递推形式的计算效率几乎提高10倍。 因此，常用于实时计算。递推形式方程的特点是其计算从机器人操作机的一个杆到另 一杆逐个顺序进行的，它充分利用了操作机的串联链特性，常 用于求解动力学逆问题（即已知夕A。，求工）。求解的大致过程为：根据运动和力的不同传递方向，进行运 动量的向前迭代和力学量的向后迭代。具体步骤如下：1.确定计算NE方程所需的所有运动量，包括每个杆件的（匕,，卬,，立,，山,）由杆1一杆:夕也向“，

19、由夕1，2，2=匕2通2，卬2,以%，。3,43= ,=%，%，也，也2.将上述运动量代入NE方程，确定关节力（矩）。计算顺 序与运动量计算相反，由杆一杆1：fn-,nTV . = N _+1 -rn.x fn + r . . x fn . + La>n + 念 x Ina)n) => jV . TV ?.=>=>41n 4.4.5在杆件自身坐标系中的递推方程前述递推运动方程的明显缺点是所有惯性矩阵和物理几何参数（如等，都是以基础坐系为参照的，因此, 当机器人运动时，它们也随着变化。Luh等人改进了上述NE 方程，将所有杆件的速度、加速度、惯性矩阵、质心位置、 力和力矩等，都表示在各杆的自身坐标系中，从而使计算更加简单。这种改进的最重要的成果是，计算关节驱动力矩的时间不仅与机器人关节数成线性比例，而且与机器人构型无关。这就有可能在关节变量空间实现机器人的实时控制算法。设，状是3X3旋转矩阵，它把矢量由坐标系（七,%U）变换 到坐标系（七_,y_1，4_1）中。32这样，可不计算相对基础坐标系的包,同,名用,口,£和用. 等，而是